高二数学课件专题二第四讲导数综合应用

第6页，共42页。
(7)若f(x)=logax,则f′(x)= (1 a＞0，且a≠1);
x ln a
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1.
x
提醒：注意区分函数f(x)=ax与f(x)=logax的导数.
第7页，共42页。
2．导数的四则运算 (1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x);
＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，
+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时，g′(x)＜0;当x∈(α,+∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0,+∞)上 的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
所以lnxx+1>ln(x+1)x,
所以xx+1>(x+1)x,
令x=2012,得20122013>20132012.
第18页，共42页。
【拓展提升】
利用导数证明与分式、指数式、对数式、函数等相关的不等式的步骤 第一步：根据待证不等式的结构特征，定义域以及不等式的性质，将 待证不等式化为简单的不等式； 第二步：构造函数； 第三步：利用导数研究该函数的单调性或最值； 第四步：根据单调性或极值得到待证不等式.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最 大值.
第9页，共42页。
【解题指导】(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f′(x)，因a值的符号 不确定，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f′(x)的正负，从 而确立单调区间；
令h'(x)<0,得x>e,所以h(x)在(e,+∞)上单调递减.
所以h(x)max=h(e)=
1 ,所以a 1.
e
e
第17页，共42页。
(3)由(2)知h(x)= l在n x(e,+∞)上单调递减, x
所以当x>e时,h(x)>h(x+1),
即
ln x
lnx1
,
所以(xx+1)lnxx>1xln(x+1),
y=h(x)=x3+x2-x(x≠1)
分别在-1和 处，画出草图2,
1
3
第22页，共42页。
h(-1)=1,h( )=1 - , ……5 …………………………………10分
3
27
当a=h(-1)=1时,y=a与y=h(x)仅有一个公共点(因为(1，1)点不在
y=h(x)曲线上)，
故a=- 5时恰有两个公共点. ………………………………12分 27
【解析】(1)由 fx ablnx
x1
得
fx
bx1abln x
x
x12
.
而点(1,f(1))在直线x+y=2上，所以f(1)=1，
又直线x+y=2的斜率为-1，所以f′(1)=-1.
故有a22b－1,a 4
1,解得：ab
2, －1.
第29页，共42页。
(2)由(1)得 fx2－ lnxx＞ 0,
②把证明不等式问题转化为函数的单调性问题;
③把方程解的问题转化为函数的零点问题.
第27页，共42页。
1.已知函数 fxabln在x点(1,f(1))处的切线方程为x+y=2．
x1
(1)求a，b的值.
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)＜
求实数m的取值范围．
恒m 成立， x
第28页，共42页。
第23页，共42页。
【互动探究】若本例(2)中“公共点个数恰为3个”，则实数a的取值范围如 何？
【解析】由例题中图2知，当- <a5<1时，恰有3个公共点. 27
第24页，共42页。
【拓展提升】 1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一 般思路
(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线 y=k)在该区间上的交点问题； (2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等 性质，进而画出其图象；
【核心自查】
一、主干构建
第3页，共42页。
二、概念理解
1.函数的单调性与导数的关系 若函数y=f(x)在某区间内可导，则 (1)f′(x)＞0⇒f(x)为_______；
增函数 (2)f′(x)＜0⇒f(x)为_______； (3)f′(x)=0⇒f(x)为常数函减数函.数
提醒：f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件,f′(x)≥0是函 数f(x)为增函数的必要不充分条件.
第20页，共42页。
【规范解答】(1)当a=2时，联立
y=f(x)
y=,g(x)
得x2+3x+1= 1 +x，…………… 2分
x 1 整理得x3+x2-x-2=0(x≠1),
即联立 y=0 ,
y=x3+x2-x-2(x≠1)
………………………………………4分
求导得y′=3x2+2x-1=0得x1=-1,x2=
(2)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他
点的函数值都大，而且在点x=b附近的左侧__________，右侧 __________，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f′f((bx))叫＞做0 函
数f′y=f((xx))＜的0极大值.
第5页，共42页。
三、重要公式 1．基本初等函数的导数公式
f′(x)= +2a bx,
x
f′(1)=a+2b=2，
∴
⇒a=4,b=-1.
f(1)=b=-1
∴y=f(x)=4lnx-x2.
x1
由 f x ＜ m 及 x＞0得 2x－ xln x ＜ m.
x
x 1
令 g x 2x－ xln x ,
x 1
则 gx
1－ ln x x 1－ 2 x － x ln x x 12
1－ x － ln
x 12
x
.
令h(x)=1-x-ln x,则 hx11＜ 0x＞ 0，
x
第30页，共42页。
(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k 的最大值转化为求g(x)的最值问题.
【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f′(x)=ex-a,
若a≤0，则f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
第10页，共42页。
若a＞0，则当x∈(-∞,lna)时，f′(x)＜0;当x∈(lna,+∞)时，f′(x)＞0,所以 ，f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增.
(1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0; (2)若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=nxn-1;
(3)若f(x)=sin x，则f′(x)=cos x;
(4)若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x;
(5)若f(x)=ax,则f′(x)=axlna(a＞0);
(6)若f(x)=ex，则f′(x)=ex;
(2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3) [g f( (x x ) )]fx g [x g x f]2 x g (x )g x 0 .
第8页，共42页。
热点考向 一 解决不等式恒成立问题 【典例】 (2012·新课标全国卷)设函数f(x)=ex－ax－2.
高二数学课件专题二第四讲导 数综合应用
第1页，共42页。
【考情快报】 (1)主要考查与不等式恒成立有关的问题、利用导数证明不等式、
利用导数研究与方程的解有关的问题. (2)常与分式、指数式、对数式结合在一起考查，考查学生的函
数与方程的思想，转化与化归的思想及推理论证能力,属中高档题.
第2页，共42页。
(2)函数思想法: 第一步:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值 问题;
第二步:利用导数求该函数的极值(最值);
第三步:构建不等式求解.
第14页，共42页。
热点考向 二 利用导数证明不等式
【典例】(2013·淄博模拟)函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值.
由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第12页，共42页。
【拓展提升】 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法: 第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的 最值问题; 第二步:利用导数求该函数的最值; 第三步:根据要求得所求范围.
第13页，共42页。
，
1
3
第21页，共42页。
得到极值点分别在-1和 处，1 且极大值、极小值都是负值，图 3
象如图1，故交点只有一个. …………………………………6分
(2)联立 y=f(x)， y=g(x)
得x2+3x+1，= a 1+x, 整理得a=x3+xx 2-1x(x≠1) ………8分
即联立 y=a
对h(x)求导可以得到极值点
第4页，共42页。
2.函数的极值 (1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他 点的函数值都小，而且在点a附近的左侧__________，右侧
f′(x)＜0 __________，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函
f′(x)＞0
数y=f(x)的极小值.
(2)由于a=1，所以(x-k)f′(x)+x+1
=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x＞0时，(x-k)f′(x)+x+1＞0等价于
k＜ (x＞0)
①
x ex
1 1
x
第11页，共42页。
令g(x)=
x ex
,1 1
x
则由(g1′)(知x)，= 函数ehxx(exx)1=12ex-1x.-2ex在(ee(xx0,+x1∞22))上单调递增，而h(1)＜0,h(2)
第19页，共42页。
热点考向 三 利用导数解决与方程的解有关的问题 【典例】 (12分)已知f(x)=x2+3x+1,g(x)= a +x1.
x 1 (1)a=2时，求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数；
(2)a为何值时，y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个.
【解题指导】先将两图象公共点问题转化为方程组的解的个数问 题，再转化为关于x的方程的解的个数问题，进而构建函数，利用 导数研究其极值、单调性，进而作出其图象，从而由数形结合求 解.
故h(x)在区间(0,+∞)上单调递减，
故当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)=0，
当x＞1时，h(x)＜h(1)=0；
从而当0＜x＜1时，g′(x)＞0， 当x＞1时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故g(x)max=g(1)=1.
要使
恒成立，只需m＞1，故m的取值范围是(1,+∞).
(2)若函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方,求a的取值范围. (3)求证:20132012<20122013.
第15页，共42页。
【解题探究】(1)函数取得极值的必要条件是什么?
提示:其导数等于零.
(2)函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方用代数式如何表示?
提示:f(x)<-x. (3)20132012<20122013与(1),(2)有何联系? 提示:20132012<20122013两边取对数即可找到联系.
2x－xln x＜m x1
第31页，共42页。
2.已知函数f(x)=alnx+bx2图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x-y-
3=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)函数g(x)=f(x)+m-ln4,若方程g(x)=0在［ ，21 ］上恰有两
解，求实数m的取值范围.
e
【解析】(1)当x=1时，f(1)=2x-3=-1.
(3)结合图象求解.
第25页，共42页。
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调； 第二步：证明端点值异号.
第26页，共42页。
【思想诠释】
导数在综合应用中的转化与化归思想 (1)本题中的转化与化归思想:
①把求两函数图象的公共点问题转化为求方程解的个数问题； ②把方程的解的问题转化为函数零点问题. (2)导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型: ①把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题;
第16页，共42页。
【解析】(1)函数定义域为(0,+∞),
f'(x)=lnx-2ax,
因为f(x)在x=1处取得极值,
所以f'(1)=0,即-2a=0,所以a=0.检验,a=0符合条件.
(2)由题意,得xlnx-ax2-x<-x,所以xlnx-ax2<0.
因为x∈(0,+∞),所以
令h'(x)>0,得0<x<e,所以a h (xln )x 在x . (设 0,h e)上x 单 调ln x 递x ,增则 ;h x 1 x ln 2x .