微积分专科

《微积分》教学大纲
（经济、管理类专科各专业）
函数
函数的概念;函数的几何性质; 反函数;基本初等函数;复合函数;初等函数。

极限与连续
数列的极限;函数的极限;无穷小与无穷大;极限的运算。

极限存在准则,两个重要极限;无穷小的比较,等价无穷小。

函数连续的概念,间断点。

基本初等函数和初等函数的连续性。

闭区间上连续函数的最大值最小值定理及介值定理.曲线的渐近线。

导数与微分
导数的概念及几何意义;基本初等函数的导数公式;函数的和、差、积、商的求导法则;复合函数的导数;隐函数的导数;对数求导法;高阶导数。

微分的概念;微分的运算法则。

微分中值定理导数的应用
微分中值定理;洛必达法则。

函数的单调性;函数的极值;最大值、最小值及其应用问题。

曲线的凹向与拐点;函数作图。

边际概念与函数的弹性;极值的经济应用问题.
不定积分
原函数与不定积分的概念;基本积分公式与运算性质;换元积分法;分部积分法。

一阶微分方程.
定积分及其应用
定积分的概念及性质;变上限的定积分;微积分基本定理;牛顿—莱布尼兹公式。

定积分的换元积分法与分部积分法。

无限区间的广义积分;定积分在几何、经济中的应用。

多元函数微分学
空间直角坐标系,曲面与方程,平面区域。

多元函数的基本概念;二元函数的极限与连续。

偏导数与全微分方程的概念;复合函数的微分法;隐函数的微分法。

二元函数的极值。

参考教材：
高等教育出版社出版的《微积分》(刘书田冯翠莲编)
中国人民大学出版社出版的《微积分》及其学习指导书
大纲说明
一、课程的性质、目的和任务
本课程是经济管理类学生必修的基础理论课。

通过学习，使学生获得一元函数学微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能以及多元函数微分学的初步知识。

为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生的自学能力，逐步学会用科学的方法解决问题。

二、课程的内容和基本要求
理解下列基本概念以及它们之间的内在联系：函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、微分方程、定积分、偏导数、全微分。

1．正确理解并牢固掌握下列基本定理和公式：拉格朗日中值定理、牛顿—莱布尼兹公式、基本初等函数的导数公式、基本积分公式。

2．熟练运用下列法则和方法：函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则、第一换元积分法、分部积分法、可分离变量的一阶微分方程的解法，一阶线性
微分方程的解法。

3．会运用微积分和常微分方程的知识和方法，解决一些简单的实际问题和经济问题。

二、课程内容说明（重点、难点）
1．函数
重点：函数的定义。

初等函数。

对于复合函数，要求学生能看出一个复合函数是由哪几个基本初等函数复合而成的。

2． 极限与函数
重点：函数极限的概念。

极限的四则运算。

连续函数的概念。

初等函数的连续性。

难点：极限的定义。

关于无穷小的运算性质，极限的四则运算法则，不要求证明。

未定式求极限，主要放在洛必达法则中进行，在此可不做过难的习题。

要会求函数（包括分段函数分界点）的左、右极限。

会用简单例子说明函数在一点连续和该点有极限之间的联系与区别。

对于函数的间断点，要求注意那种可补充或修改函数在该点的定义，使之连续的间断点。

会判断分段函数在分界点的连续性。

会利用函数的连续性求函数的极限。

3． 导数与微分
重点：导数的概念。

导数的几何意义。

微分的概念。

基本初等函数的求导公式。

初等函数的求导原则。

复合函数的求导法则。

难点：复合函数的求导法则。

初等函数的导数运算要求熟练、正确。

会求已知平面曲线的切线方程。

对微分的概念要求掌握函数的微分是函数局部线性化的思想实质. 4． 微分中值定理 导数的应用
重点：拉格朗日定理。

洛必达法则。

函数单调性的判定。

函数的极值。

最大值、最小值及其应用问题。

难点：最大值、最小值应用问题。

函数图形的描绘。

广度与深度：拉格朗日定理要求理解。

求最大值、最小值的应用问题，侧重于已学过的知识范围。

边际分析与弹性分析也局限于一些比较简单的经济问题。

5． 不定积分
重点：不定积分的概念。

基本积分公式。

第一换元法（凑微分法）。

分部积分法。

可分离变量的方程。

一阶线性微分方程。

难点：换元法中代换函数的选择。

广度与深度：要求明确原函数与不定积分的联系与区别，不定积分法与微分法的互为逆运算的关系。

换元积分法中，侧重第一换元法（凑微分法）。

第二换元法主要掌握三角代换法。

分部积分法。

重点掌握
xdx x n sin ⎰（n=1，2），d
x x n ln ⎰（n=1，2），d x
e x
s i n
⎰
这几种类型的不定积分。

对不定积分的基本运算要求熟练、正确，但技巧性方面不作过高的要求。

要求掌握微分方程的通解与特解的联系与区别，以及根据初始条件确定特解。

6． 定积分
重点：定积分的概念。

牛顿—莱布尼兹公式。

难点：变上限的定积分函数及其求导定理。

广度与深度：会用定积分计算简单的平面图形的面积及简单的经济问题。

变上限积分的函数要求会求导数，但不作太难的要求。

会计算简单的无限区间的广义积分。

7．多元函数微分学
重点：偏导数与全微分概念。

多元复合函数的微分法。

难点：多元复合函数的微分法。

广度与深度：多元函数（实际上只讨论二元函数）。

极值问题中的最大值、最小值问题只要求按实际意义来判断。

《微积分》课程自学进度与作业
微积分复习题
第一章 函数与极限
一、单项选择题
1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( C )
A. (0，5)
B. (1，5)
C. (1，5)
D. (1，+∞) 2.函数f(x)=
2
1x
x -的定义域是（ D ）
A.（-∞，+∞）
B.（0，1）
C.（-1，0）
D.（-1，1）
3.函数45)(2+-=
x x x f 的定义域为 （ D ）
A. (]1,∞-
B. [)+∞,4
C. (][)+∞⋃∞-,41,
D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中，表示同一个函数的是（ D ） A.f(x)=1
x 1
x 2+-与g(x)=x-1
B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgx
C.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinx
D.f(x)=|x|与g(x)=2x
5.下列函数中为奇函数的是（ D ）
A.y=cos 3x
B.y=x 2+sinx
C.y=ln(x 2+x 4
) D.y=1e 1e x x +-
6.函数f(x)=1+xsin2x 是（ B ） A.奇函数
B.偶函数
C.有界函数
D.非奇非偶函数
7.下列极限正确的是( A )
A.11sin
lim =∞→x x x B.11
sin lim 0=→x x x ；
C.1sin lim
=∞→x x x ； D.12sin lim 0=→x
x
x ； 8.=+∞→x
x x
)21(lim （ A ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 9.=→2x
tan3x
lim
x （ B ） A.∞
B.
2
3
C.0
D.1
10.=-+-→x
x x x x 3211
2lim
（ B ） A.
2
1 B. 0 C. 1 D. ∞
11.x
mx
x sin lim
0→ (m 为常数) 等于 ( D)
A.0
B. 1
C.
m
1
D. m 12. h
x h x 2
20h )(lim -+→ =( A )。

A. 2x
B. h
C. 0
D. 不存在 13.=+→)
2x (x x
2sin lim
0x （A ）
A.1
B.0
C.∞
D.2
14.设函数⎩
⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21
x 0,1x )x (f 在x=1处不连续是因为( D )
A.f(x)在x=1处无定义
B.)x (f lim 1
x -
→不存在 C. )x (f lim 1
x +
→不存在 D. )x (f lim 1
x →不存在 15.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0x ,
a 0
x ,)x 1(x
1要使f(x)在x=0处连续，则a=（ D ）
A.0
B.1
C.
e
1
D.e
16.设⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0
0sin )(x a
x x
x x f 在x=0处连续，则常数a=（ B ）
A.0
B.1
C.2
D.3
17.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0
011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于（B ） A.0； B.1； C. 21
； D. 2；
18.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0
024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( B )
A. 0
B. 4
1 C. 2
1 D. 2
二、填空题
1.=-∞→x
x
x x sin lim
_________1___．
2. =→x x
x 3sin lim
0 3
1 . 3.x x x
)21(lim +∞→＝ e -2
. 4.设函数f(x)=⎩⎨
⎧>+≤0
x ,
1x 20
x ,x 2则f(1)= 3 . 5.设函数f(x)=x 2-3x+2，则f(x+1)=___ x 2-x ________.
6.设f(x)=⎩
⎨⎧>-≤+010sin x e x a
x x 在x=0处连续，则常数a=________0_____.
三、解答题 1. 求函数)
4()
2ln(-+=
x x x y 的定义域：
Ln （2+x ）≥0 2+x ≥1 x ≥-1 ： x （x-4）≠0 x ≠0且x ≠4
401和且≠-≥x x
2. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
(1) x x x f -+=22)(； 定义域（-∞，+∞） 且f （x ）=f(-x) 所以为偶函数
(2) )1ln()(2++=x x x f ；定义域（-∞，+∞） 且-f （x ）=f(-x) 所以为寄函数
(3) 1)
1()(+-=x x e e x x f ；定义域（-∞，+∞） 且f （x ）=f(-x) 所以为偶函数
(5) )0(sin )(3
≠+=x x
x x x f ．定义域（-∞，+∞） 且f （x ）≠f(-x) -f （x ）≠f(-x) 所以为非奇非偶函数 3. 求下列各极限： (1) 1
1lim
22-++∞
→n n n n =2
1 上下都除以
2n (2) n n n
)2
1(lim +∞→ = e -2
(3) 64lim 222-+-→x x x x = 54 通分 (4) 11lim 21--→x x x =4
1
分母展开
(5) x x x x cos 1sin lim 0-→ (6) x x x
x +++∞
→1lim 2 =2
1 上下都除以 2x
(7) )1312(
lim 321
---→x x x
2
1 通分 (8) x x )x 1x 1(lim -+∞→ 第二章 导数及其应用
一、
单项选择题:
1.如果f(x 0)=0且f '(x 0)存在，则=-→0
x x x x )
x (f lim 0
( ) A.f '(x 0)
B. 0
C. 不存在
D. ∞
2.设y=log a x （a>0，a ≠1），则dy=（ ） A.
x
1
dx B.
x 1 C.a
x ln 1 D.
a
x ln 1
dx 3.设函数u(x),v(x)可导，且u(x)≠0,若)
()
(x v x u y =
，则y '等于（ ） A ．
)()()()()(2x v x v x u x v x u ''+' B ．)
()
()()()(2x v x v x u x v x u '-'
C ．
)()()()()(2x v x v x u x v x u +'' D ．)
()
()(2
x v x v x u '' 4.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2x B.2sinx C.cos2x
D.cos 2x
5.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx)
B.2e x sinx
C.2e x cosx
D.e x sinx
6.设y=2x +e 2,则y ′=（ ）
Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 7.设y=sin(7x+2),则
=dx
dy
( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2)
8.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 9.曲线y=x 3-3x 上切线平行x 轴的点是( ). A.(0，0)
B.(1，2)
C.(-1，2)
D.(-1，-2)
10.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0
B.x-y-1=0
C.x-y+1=0
D.x-y+2=0
11.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ）
A.)0,(-∞
B. ),(+∞-∞
C.),0(+∞
D.（－1，1） 12.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞
B.)1,(-∞
C.),(+∞-∞
D.),2(+∞
13.在区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的函数是（ ）
A.y=x x sin
B.y=(x+1)2
C.y=x
D.y=x 2+1
14.在区间［－1，1］上满足罗尔定理条件的函数是( ) A.2x-1 B.
x
1
C.x 2
D.x 2/3
15.函数x e y x
arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B. 单调增加 C.无最小值 D.无最大值
16.若0x 为函数)(x f y =的极值点，则下列命题中正确的是 ( ) A. 0)(0='x f B. 0)(0≠'x f
C. 0)(0='x f 或)(0x f '不存在
D.)(0x f '不存在 二、填空题
1.设)(x f 在0=x 处可导, 且0)0(=f ,则x
x f x )
(lim
→=__________. 2.曲线2x x y +=上点________________处的切线平行于直线13-=x y . 3.曲线y=lnx 在点(1,0)处的法线斜率为_____________ 4.设y=xlnx+x 2，则dy=______.
5.d xdx =sin ___________________.
6.函数2
x 11
y +=的单调递减区间是___________.
7.如果函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ, 使
()='ξf .
8.若函数)(x f 在0x 点取得极小值，且)(x f 在0x 点可导，则)(0x f '必为___________． 9.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a _______，=c _______． 10.设)(),(x g x f 可导，0)0()0(==g f ，当0≠x 时0)(≠'x g ，且A x g x f x =''→)
()
(lim
，则=→)
()
(lim
x g x f x __________________． 11.若c )x (f lim x =+∞
→，则曲线y=f(x)有渐近线___________. 三、解答题： 1.求下列函数的导数: (1) x
x
y sin 1cos += ；
(2) x
x
y -+=11ln
(3) +
=x
xe y x
x
sin (4) ()1ln +=x x y （5）2sin )32cos(x x y +-= （6）222
a x x
y +=
2.方程0=+-y
x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．
3.求曲线1322
2=-y x 上在1=y 的点处的切线方程.
4.验证拉格朗日定理对函数x
e x
f =)(在区间]1,0[上的正确性． 5.求下列极限：
（１）x
e x x 1lim 20-→； （２）x x
e x x sin cos lim 0-→；
（3）1
x 2
1x 3lim 1x --+→ （4） x e e x x x -→-0lim
(5) 201lim x
e x x x +-→ (6) 30sin lim x x x x -→ (7) )1
e 1
x 1(
lim x 0
x --→ 6.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x+5在[-2，4]上的最大值与最小值。

7.以直的河岸为一边用篱笆围出一矩形场地，现有36米长的篱笆，问所能围出的最大场地面积是多少？
8.某商店以每条100元的进价购进一批牛仔裤，设此种商品的需求函数为P Q 2400-=（其中Q 为需求量，单位为条；P 为销售价格，单位为元），问应将售价定为多少时，才可获得最大利润？最大利润是多少？
9.设工厂生产某种产品x 件的费用为2005)(+=x x C （元），得到的收益是201.010)(x x x R -=（元）。

试求生产的利润函数、边际收益函数、边际成本函数以及工厂获得最大利润时的产量和利润。

四、证明题
1.证明：当x>0时，e x >1+x.
第三章 不定积分
一、单项选择题
1.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5x
B. 5e 5x
C.
x
5e 5
1
D. –e 5x
2.
1
x 31
+的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1)
B.2
)1x 3(1+-
C.
2)1x 3(2
1
+
D.)1x 3ln(3
1
+ 3.若⎰⎰
=++=dx )1x 2(f ,C )x (F dx )x (f 则（ ） A. 2F(2x+1)+C
B.
C )1x 2(F 2
1
++
C.C )x (F 2
1
+ D.2F(x)+C
4.设)()(x f x F ='，则下列正确的表达式是（ ） A.⎰+=C x f x dF )()( B.⎰+=C x F dx x f )()(
C.
⎰+=C x f dx x F dx d
)()( D. ⎰+='C x f dx x F )()( 5.⎰3x 1
dx=（ ）
Ａ.C x 414+ B.－2x 21＋C C.－2
x
21 D. 4
x 41 6.设⎰+=C x
x
dx x f ln )(，则=)(x f （ ） A.21ln x x - B.2
)(ln 21x C.x ln ln D.2
ln 1x x -
7.若C e 2dx )x (f 2
x +=
⎰
，则f(x)=( ).
A.2
x e
B.22
x
e C.2
1
2x
e
D.4
8.设0≠a ，则=+⎰
dx b ax 9)(（ ）
A.
C b ax ++10)(101
B.C b ax ++8)(9
C.C b ax a ++8
)(9 D.
C b ax a
++10)(101 9.⎰
=xdx 3sin （ ） A.
C x 3cos 3
1
+
B. -C x 3cos 3
1
+
C. –cos3x+C
D. cos3x+C
10.下列等式计算正确的是（ ）
A.⎰+-=C x xdx cos sin
B.⎰
+=---C x dx x 4
3)4(
C.⎰+=C x dx x
3
2
D.⎰+=C dx x x
33
11.微分方程2ydy -3dx=0的通解是( ). A.y -3x=C B.y 2-3x=C C.2y+3x=C
D.2y=3x+C
12.微分方程dy-2xdx=0的解为（ ） A.y=2x C.y=-x 2 C.y=-2x
D.y=x 2
13．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. x
x y x y sin 1'=+
D. x y y ='+''2 二、填空题
1.设)(x f 是连续函数，则
=⎰
x d x f dx d
)(___________． 2.⎰
=-dx x )12sin(___________．
3.不定积分⎰
=dx x
3 .
4.⎰
=+_________dx )x
1
x (
5.)1(________2
x d xdx -=．
6.微分方程0y dx dy =-的通解为___________.
7.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是_____ _.
三、解答题 1.求下列不定积分：
（1）⎰--dx x x x sin cos 1； （2）⎰++dx x x x )
1(212
22
； （3）⎰-4
2x x dx
； （4）⎰+-1042x x dx ；
（5）
⎰
+1
x e dx ； （6）⎰
+dx x )1ln(2
；
2.设函数f(x)的一个原函数为x
x
sin ，求⎰
'.dx )x (f x 3.求解下列微分方程：
（1） 0)1(32
=++x dx dy y （2）2
2x e xy dx dy -=+ （3） 5tan =-y dx
dy
x （4）y ′+ycosx=e -sinx （5）x y '+y=xe x ， y(1)=1 （6）
dx dy =2
x 1xy 4+ ，2y 0x == 第四章 定积分及其应用
一、单项选择题
1.设)(x f 在区间],[b a 上连续，)()()(b x a dt t f x x
a
≤≤=
Φ⎰
，则)(x Φ是)(x f 的
（ ）
A. 不定积分
B.一个原函数
C.全体原函数
D.在],[b a 上的定积分 2.=⎰
→3
20
sin lim
x
dt t x
x （ ）
A.
41 B.31 C.2
1
D.1 3.
=⎰-
2
2
cos π
πxdx x （ ）
A. π3
2
B.
3
4 C. 0 D.
3
2 4.
⎰-
=π
π
xdx x sin 2（ ）
A.2
B.1
C.-2
D.0
5.⎰π
π-=+dx x
cos 21x
sin 3（ ） A.0 B.1 C.-1 D.2 6.设常数0>a ，则=-⎰
dx x a a
220
（ ）
A.2
a π B.
2
4
a π C.π D.a arcsin 7.⎰
=-2
1
dx )1x 3(（ ）
A.
2
9
B.3
C.4
D.
2
7 8.设⎰
==+1
a ,2dx )a x 2(则常数（ ）
A.-1
B.0
C.2
1
D.1
9.广义积分⎰
+∞
1
x
dx （ ） A.收敛
B.发散
C.敛散性不能确定
D.收敛于1
13.下列广义积分中，收敛的是（ ） A.
⎰
∞
1
dx x B.⎰
∞
1
1dx x
C.⎰
∞
1
1
dx x
D.⎰∞121dx x
二、填空题
1.
=-⎰
2
1
|1|dx x ___________．
2.比较积分大小：⎰
π
xdx ________⎰0
sin π
xdx ．
3.
=+⎰-
π
π
dx x x
x 2
21sin __________．
4.
⎰
-=++1
1
3.______________________dx )1x cos x x 3(
5.已知函数f(x)=⎰
-=⎩⎨
⎧>+≤-2
1
dx )x (f 0
x ,x 10x ,x 1则
___________.
6.函数⎰
=
=x
x tdt y 0
2
sin π
在处的导数值为 .
7.设==-⎰x dt t x
则,6)12(1
.
三、解答题 1.设⎩⎨
⎧≤<≤≤=,
21,5;
10,2)(x x x x f 求⎰20
)(dx x f ．
2.设⎩⎨
⎧≤<-≤≤-=3
0,
10
2,
)(2x x x x x f 当当，求：⎰-32)(dx x f ．
3.求下列定积分 （1）⎰
-+1
02
)3(dx x x （2）⎰+4
1
1x
dx
（3）
⎰1
0.2
dx xe
x （4）θθ-θ⎰
π
d sin sin 0
53
4.计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

5.求由曲线y=
x
1
与直线y=x 及x=2所围图形的面积. 6.求由曲线y=x 2与直线y=2x+3所围成图形的面积 四、证明题
1.设函数f(x)是[0，1]上的连续函数，证明：⎰
⎰
ππ=
20
20
.dx )x (cos f dx )x (sin f
2.证明：⎰
⎰
ππ=
2
2
n n ,xdx cos xdx sin 其中n 为正整数.
第五章 多元函数微分学
一、单项选择题
1.设z=x 2sin3y,则
y
z
∂∂=( ) A.-3x 2cos3y B.-x 2cos3y C.x 2cos3y D.3x 2cos3y 2.函数z=x y (x>0,x ≠1)，则dz|(2,2) =（ ） A.4(dx+dy)
B.4(dx-dy)
C.4(dx+ln2dy)
D.4(dx-ln2dy)
3.设函数f(x,y)=xy+x
y
,则)1,1(f x '=（ ） A. 0
B. 1
C. –1
D. 2
4.设2
2ln y x z +=则=)1,1(|dz （ ）
A.
dy dx 21
21+ B.dy dx 22+ C. dy dx 3
1
31+ D.dy dx 33+
5.设函数f(x,y)=3x 2+2xy-y 2, 则dz|(1,-1)=（ ） A.(6x+2y)dx+(2x-2y)dy B.4dx+4dy
C.8dx
D.(6x-2y)dx+(2x-2y)dy
6.设u=x 2
+3xy -y 2
，则y
x u 2∂∂∂=( ).
A.-2
B.2
C.3
D.6
二、填空题 1.f(x,y)=
x
2y 12
-的定义域是______.
2.已知 x
y
e z =，则dz ＝ .
3.设函数z=x 2+xy -y 2，则dz= .
4.设z=f(x 2+y 2
)满足y z y x z x ∂∂+∂∂=1，其中f 可微，则f '(t)=______. 5.设y
x z =，则=∂∂x z ，=∂∂y
z . 三、解答题
1.设y
y x z )1(2
+=，求
y
z x z
∂∂∂∂, 2.函数),(y x f z =由方程
y
z
z x ln =所确定，求：x z ∂∂
3.设),(y x f z =是由方程03=+-xy z e z 确定的隐函数，求z 的全微分dz 。

四、证明题
1.证明)(x y F z =满足方程 0=∂∂+∂∂y
z y x z x 。

2.设z=)y x ln(+，证明2
1y z y x z x
=∂∂+∂∂ 30.设z=f(x 2
+y 2
),其中f(u)为可导函数，求证y
z
x x z y
∂∂-∂∂=0.。