2012年北京大学医学院入学考试模拟试题一

2011年北京大学医学部外国留学生本科入学考试
数学试题（一）
满分：100分，时限：120分钟
一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分） 1、如果{}3P x x =≤，那么（ ）
A.1P ⊆－
B.{}1P ∈－
C.P ∈∅
D.{}1P ⊆－ 2、函数2()lg(31)
f x x ++的定义域是 （ ）
A ．1
(,)3-+∞
B ．1(,1)3
-
C ．11(,)33
-
D ．1(,)3
-∞-
3、函数1
() (1)1
f x x x =
≠-的反函数1()f x -必经过（ ） (A)（1，2） (B)（2，1） (C)（0，1） (D) （2，3）
4、若向量,a b 满足1== a b ，且 a 与 b 的夹角为60°，则()a a b ⋅+
＝（ ）
Ａ．
12
Ｂ．
32
Ｃ．1 Ｄ．2
5、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )
（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种
6、设a 、b 是实数，且3=+b a ，则b
a 22+的最小值是（ ）
A ．6
B ．24
C ．62
D ．8
7、不等式5
14
32+>
+x x 的解集是( )
A ．)2,3(--
B ．)0,2(-
C ．)2,0(
D ．),2()3,(+∞⋃--∞
8、某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位．若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ）
A ．101
B ．201
C ．401
D ．1201
9、若函数2
1
()sin ()2
f x x x =-
∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为
π
2
的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
10、在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．0
30 B ．0
60 C ．0
120 D ．0
150 11、 已知3sin 5α=
，且(,)2
π
απ∈，那么tan 2α等于（ ） （A ）247 （B ）247- （C ）247± （D ）32
-
12、计算：2221
lim 1
n n n →∞-+=（ ）
（A ）1 （B ）－１ （C ）２ （D ）－２ 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13、在复平面内，复数21i
i
-对应的点的坐标为 . 14、函数cos 1()2
x
y =，x R ∈的单调递增区间是 。

15、抛物线y x 4
1
2
=
上到直线54-=x y 的距离最短的点的坐标为 16．直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点到直线3410x y ++=的距离是_______.
17、过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点2F 构成的△2ABF 的周长是___________。

18、方程22lg lg lg10000x x --=的解是
19、2
2
11sin 47arctan(1)cos 133sin()6
π
+-++-
= . 20、已知数列2{log (1)}n a -（n ∈N*）为等差数列，且13a =，39a =，则数列}{n a 的通
项公式是 .
三、解答题：（本大题共5小题，每小题8分，共40分）
21、已知sin()cos(2)tan(3)
2()tan()sin()
2
f π
απααπαπ
παα---+=++
（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31
cos()25
πα-=，求()f α的值；
22、函数2
2log 1
x
x -+的定义域是A 2<的解集是B ，求A B 。

23、已知函数2()2f x ax x =-+，
（1）当a=2时，求函数()f x 在[－２，３]上的最大值和最小值； （2）若()f x 在区间 1(,1)3
-上单调递减，求ａ的值。

24、已知数列{}n a 中，39a =，13n n a a +=-，当n S 取最大值时，求n 的值。

25、已知圆C ：222430x y x y ++-+=，直线:210l x y -+=
（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；
（2）若圆C 的切线l '在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程。

（3）求直线l 与直线l '之间的夹角。

2011年北京大学医学部外国留学生本科入学考试
数学试题（一）
答案
一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分） 1、如果{}3P x x =≤，那么（ D ）
A.1P ⊆－
B.{}1P ∈－
C.P ∈∅
D.{}1P ⊆－ 2、函数2()lg(31)
f x x ++的定义域是 （ B ）
A ．1
(,)3-+∞
B ．1(,1)3
-
C ．11(,)33
-
D ．1(,)3
-∞-
3、函数1
() (1)1
f x x x =
≠-的反函数1()f x -必经过（ A ） (A)（1，2） (B)（2，1） (C)（0，1） (D) （2，3）
4、若向量,a b 满足1== a b ，且 a 与 b 的夹角为60°，则()a a b ⋅+
＝（ B ）
Ａ．
12
Ｂ．
32
Ｃ．12
+
Ｄ．2
5、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( C )
（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种
6、设a 、b 是实数，且3=+b a ，则b
a 22+的最小值是（ B ）
A ．6
B ．24
C ．62
D ．8
7、不等式5
14
32+>
+x x 的解集是( D ) A ．)2,3(-- B ．)0,2(- C ．)2,0(
D ．),2()3,(+∞⋃--∞
8、某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位．若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ B ）
A ．101
B ．201
C ．401
D ．1201
9、若函数2
1
()sin ()2
f x x x =-
∈R ，则()f x 是（ D ） A ．最小正周期为
π
2
的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数
10、在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ B ）
A ．0
30 B ．0
60 C ．0120 D ．0
150
11、 已知3sin 5α=
，且(,)2
π
απ∈，那么tan 2α等于（ B ） （A ）247 （B ）247- （C ）247± （D ）32
-
12、计算：2221
lim 1
n n n →∞-+=（ C ）
（A ）1 （B ）－１ （C ）２ （D ）－２
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13、在复平面内，复数21i
i
-对应的点的坐标为 (-1,1 _) . 14、函数cos 1()2
x
y =，x R ∈的单调递增区间是 [2k π, (2k+1)π] 。

15、抛物线y x 412
=
上到直线54-=x y 的距离最短的点的坐标为 )1,2
1
( 16．直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点到直线3410x y ++=的距离是__4__.
17、过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点2F 构成的△2ABF 的周长是___2__。

18、方程22lg lg lg10000x x --=的解是 1000 和10
1
. 19、2
2
11sin 47arctan(1)cos 133sin()6π+-++-
= 4
6π
- . 20、已知数列2{log (1)}n a -（n ∈N*）为等差数列，且13a =，39a =，则数列}{n a 的通
项公式是 12+=n n a .
三、解答题：（本大题共5小题，每小题8分，共40分）
21、已知sin()cos(2)tan(3)
2()tan()sin()
2
f π
απααπαπ
παα---+=++
（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31
cos()25
πα-=，求()f α的值； 解： αα
αααααcos cos tan )
tan (cos cos )(-=-⋅=
f ， 5
1
sin 51sin )2cos()23cos(-=⇒=-=+=-ααπαπα
因为：α是第三象限的角，所以5
62sin 1cos )(2
=-=-=αααf
22、函数22log 1
x
x -+的定义域是A
2<的解集是B ，求A B 。

解：
}11|{}13|{}21|{}23|{}01
2|
{<<-=<≤-<<-=<+>+-=x x x x x x x x x x
x B A
23、已知函数2()2f x ax x =-+，
（1）当a=2时，求函数()f x 在[－２，３]上的最大值和最小值； （2）若()f x 在区间 1(,1)3
-上单调递减，求ａ的值。

解：当a=2时，8
15)4
1(222)(2
2
+-=+-=x x x x f 对称轴是41=
x ，]3,2[41
-∈，所以 =+-⨯====8
15)413(2)3()(,815)41()(2max min
f x f f x f 17
（2）
①当0=a 时，2)(+-=x x f 是一次函数，在Ｒ上单调递减，所以在1
(,1)-也单调递减，
所以0=a 满足题意。

②当0≠a 时，)41
2()21()(2a
a x a x f -+-=对称轴是a
x 21
=
， （I ）若a<0,如图，抛物线开口向下，只需要 对称轴
3121-≤a 即可，这时02
3
<≤-x
(II) 若a>0,如图，抛物线开口向上，只需要
对称轴121≥a 即可，这时2
10≤<x
综上所述：2
1
23≤<-
a
24、已知数列{}n a 中，39a =，13n n a a +=-，当n S 取最大值时，求n 的值。

解：
1133n n n n a a a a ++=-⇒-=-，所以{}n a 是以－３为公差的等差数列。

由于39a =，所以311122(3)915a a d a a =+=+⨯-=⇒= 所以通项公式为：183n a n =-
221()(15183)3311363(11)()222228
n n n a a n n S n n n ++-===--=--+
由于n N +∈，所以当5n =或6时，n S 取最大值。

25、已知圆C ：222430x y x y ++-+=，直线:210l x y -+=
（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；
（2）若圆C 的切线l '在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程。

（3）求直线l 与直线l '之间的夹角。

解：（1）圆C ：222430x y x y ++-+=可化为：22(1)(2)2x y ++-= 所以：圆C 的圆心C 的坐标为（－１，２）
，半径r =
圆心C 到直线:210l x y -+=的距离
5d =
= 因为：22r =，295
d =，所以22
d r d r <⇒<，所以直线与圆相交。

（2）若圆C 的切线l '在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程。

因为：切线l '在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，所以切线l '的斜率为1± 设直线方程为y x b =±+，
222430
x y x y y x b ⎧++-+=⎨
=+⎩
消去y 得到： 222(22)430x b x b b +-+-+= 221(22)8(43)0b b b ∆=---+= 解得1b =或5b =。

同理：
222430
x y x y y x b
⎧++-+=⎨
=-+⎩消去y 得到： 222(62)430x b x b b +-+-+= 222(62)8(43)0b b b ∆=---+= 解得1b =-或3b =。

所以直线l '的方程为：1y x =+，5y x =+，
y x =-直线:210l x y -+=的斜率为12k = 直线l '的斜率为21k =或21k =-
设直线直线l 与直线l '的夹角为θ，则
1212211
tan 11213
k k k k θ--=
==++⨯，所以：1tan 3arc θ=
或12122(1)
tan 3112(1)
k k k k θ---===-++⨯-，所以：tan 3arc θ=（两直线的夹角是锐角）。