2020年上海市闵行区莘松中学高二数学文期末试题含解析

2020年上海市闵行区莘松中学高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（）
A．12πB．9πC．4πD．π
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】PC的中点为O，连接OA，OB，运用线面垂直的判断和性质，证得BC⊥PB，可得O为球心，求出半径，即可得到体积．
【解答】解：一个高为2的三棱锥P﹣ABC，如图所示，
PC的中点为O，连接OA，OB，
由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，
AB⊥BC，
可得BC⊥平面PAB，
即有BC⊥PB，
可得OA=OB=OC=OP，
即O为球心，半径为，
则球的体积为V=π?（）3=4π．
故选：C．2. 一个盒子里有7只好晶体管，3只坏晶体管，从盒子里先取一个晶体管，然后不放回的再从盒子里取出一个晶体管，若已知第1只是好的，则第2只是坏的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】设事件A表示“第1只是好的”，事件B表示“第2只是坏的”，则P（A）=，P
（AB）==，由此利用条件概率能求出已知第1只是好的，则第2只是坏的概率．
【解答】解：一个盒子里有7只好晶体管，3只坏晶体管，从盒子里先取一个晶体管，然后不放回的再从盒子里取出一个晶体管，
设事件A表示“第1只是好的”，事件B表示“第2只是坏的”，
则P（A）=，P（AB）==，
∴已知第1只是好的，则第2只是坏的概率P（B|A）===．
故选：B．
3. 若函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），则a的值是（）
D
解答：
解：对函数y=lnx ﹣ax 求导，得，y ′=﹣
a ，
令y ′＞0，﹣a ＞0，化简得
∵函数y=lnx ﹣ax的增区间为（0，1），∴当x∈（0，1）上y′＞0
即的解集为（0，1），
∵分式不等式的解集的区间端点是x（1﹣ax）=0的根
∴当x=1时，1×（1﹣a×1）=0，∴1﹣a=0，a=1
故选D
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
本题选用“插空法”，先让8名学生排列，再2位教师教师再8名学生之间的9个位置排列.
【详解】先将8名学生排成一排的排法有种，
再把2位教师插入8名学生之间的9个位置（包含头尾的位置），
共有种排法，
故2位教师不相邻的排法种数为种.
故选A.
【点睛】本题考查排列组合和计数原理，此题也可用间接法.特殊排列组合常用的方法有：1、插空法，2、捆绑法.
5. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）
A. B.中学 yjw
C. D.
参考答案：
D
略
6. 直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于( ) A．或B．或C．或D．或
参考答案：
C
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可．
【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径
或者
故选C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．
7. 三条平行线所确定的平面个数为
A.1个
B.2个
C.3个 D。

3个或1个
参考答案：
D
略
8. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（）A． 4 B． 2 C． -2
D． -4
参考答案：
D
9. 向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）
A．∥ B．⊥
C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°
参考答案：
B
【考点】平面向量的坐标运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（2，1），
∴=1×2+（﹣2）×1=0，
∴夹角的余弦为0，
∴⊥．
故选B．
10. 已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于]
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
，所以位于第一象限。

故选A。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为_____________．参考答案：
略
12. 如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ．
参考答案：
2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．
【解答】解：由题意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1
∴f（5）+f′（5）=2
故答案为：2
13. 已知，则的值为_________。

参考答案：
14. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）= ．
参考答案：
120
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3项的系数，求和即可．
【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式展开式中，含x3y0的系数是： =20，故f（3，0）=20；
含x2y1的系数是=60，故f（2，1）=60；
含x1y2的系数是=36，故f（1，2）=36；
含x0y3的系数是=4，故f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故答案为：120．
15. 已知||=3，||=4， =+， =+λ，＜，＞=135°，若⊥，则λ= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积公式以及向量的垂直的条件即可求出．
【解答】解：||=3，||=4，＜，＞=135°，
∴=||?||cos135°=3×4×（﹣）=﹣12，
∵⊥， =+， =+λ，
∴?=
（+）（+λ）=||2+λ||2
+（1+λ）=18+16λ﹣12（1+λ）=0，
解得λ=，
故答案为：
16. 如果复数是实数，则实数_________。

参考答案：
-1
17. 曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
（1）曲线C过坐标原点；
（2）曲线C关于坐标原点对称；
（3）若点p在曲线C上，则三角形F1PF2的面积不大于。

其中所有正确结论的序号是______
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.
⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
参考答案：
⑴，其中，，
∴ ，得，由，得∴； --------------------6分
⑵得∵∴腰长的范围是 ------10分
⑶，当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。

------13分
19. （13分）已知集合， ,且,求实数的值。

参考答案：
M={-3，-2}
1）a=0时，N=
2）a=时,N={-3}
3）a=时，N={2}
综上所述，a=0或a=或a=
略
20. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，. （Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）若为中点，求二面角的余弦值.
参考答案：
解：（Ⅰ）设，连，∵是菱形，∴是中点.
又是中点，∴，又，∴，
而面，面，∴面.
（Ⅱ）过作，垂足为，连，
∵面，，∴面.
∴是二面角的平面角.
∵，，∴，.
故二面角的余弦值为.
21. 已知点M是曲线上任意一点，曲线在M处的切线为，求：（1）斜率最小的切线方程（2）切线的倾斜角的的取值范围。

参考答案：
略
22. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC，侧面A1B1BA和B1C1CB都是边长为2的正方形，D为AC的中点．
（1）求证：AB1∥平面DBC1；
（2）求证：A1C1⊥平面BDC1；
（3）求三棱锥C﹣BDC1的体积．
参考答案：
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理证明即可；（3）根据三棱锥的体积公式计算即可．
解答：（1）证明：如图示：连接B1、C交BC1与点O，连接OD，在△CAB1中，
O、D分别是B1C和AC的中点，OD∥AB1，
而AB1不在平面BDC1，OD?平面BDC，
∴AB1∥平面BDC1；
（2）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA和B1C1CB都是正方形，BB1⊥平面ABC，
∴AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC，
则AA1⊥BD，
∵AB=BC=2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，BD⊥平面AA1C1C，
∴BD⊥A1C，A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1，
A1B1⊥平面B1C1CB，A1B1⊥BC1，
在正方形B1C1CB中，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，
BC1⊥平面A1B1C，
A1C?平面A1B1C，A1C⊥BC1，
又BD∩BC1=B，
故A1⊥平面BDC1，
（3）解：==h，
∵D是AC的中点，易知AB⊥平面BCC1B1，
故h=AB=1，
∴==h=××2×2×1=．
点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查空间几何体的体积公式，是一道中档题．。