【典型题】九年级数学上期中模拟试卷(带答案)

【典型题】九年级数学上期中模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）
A ．2(3)17x -=
B ．2(3)14-=x
C ．2(6)44x -=
D ．2(3)1x -=
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．三角形的外心到三边的距离相等
B ．某射击运动员射击一次，命中靶心
C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°
D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上
3．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）
A ．32×
20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570
D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝570 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >
B ．5x <-
C ．3x ≥-
D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3
B ．﹣3或1
C ．3
D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x +=
B ．2(2)5x +=
C ．2(2)3x -=
D ．2(2)5x -= 7．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ）
A ．m ＝3，n ＝2
B ．m ＝﹣3，n ＝2
C ．m ＝2，n ＝3
D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 8．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )
A ．12
B ．1∶2
C 32
D ．13
9．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交
于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．②④⑤
D ．②③④⑤
10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）
A ．30πcm 2
B ．48πcm 2
C ．60πcm 2
D ．80πcm 2 11．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=
D ．()247x += 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）
A ．30º
B ．35º
C ．25º
D ．60º
二、填空题
13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.
14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：
①ab ＜0；
②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；
③4a+2b+c ＜0；
④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；
⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；
⑥3a+2c ＜0．
其中不正确的有_____．
15．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．
16．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．
17．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.
18．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．
19．如图，O e 是ABC V 的外接圆，30C ∠=o ，2AB cm =，则O e 的半径为________cm ．
20．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点
O 为圆心，OC 的长为半径作»CD
交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
21．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点C 和点D 的坐标；
（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．
22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .
（1）求证：DE 是O e 的切线.
（2）若3DE =，30C ∠=︒，求»AD 的长.
23．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=o ，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?
24．关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣3）x+（m ﹣1）＝0有两个实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若m 为正整数，求此方程的根．
25．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).
(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于210cm ？
(2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用配方法把方程2680x x --=变形即可.
【详解】
用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，
故选A ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
详解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选C ．
点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【详解】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．
【详解】
∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．
故选D．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
【点睛】
此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容
易，计算更简单.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据移项，配方，即可得出选项．
【详解】
解：x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．
【详解】
∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠
ABP′=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C，
∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，
则△PBP ′是等腰直角三角形，
∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，
∴△APP ′是直角三角形，
设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．
故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
试题解析：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b ＜0且b=-2a ．
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c ＞0．
∴①abc ＞0错误；
∵b=-2a ，
∴3a+b=3a-2a=a ＞0，
∴②3a+b ＞0正确；
∵b=-2a ，
∴4a+2b+c=4a-4a+c=c ＞0，
∴④4a+2b+c ＜0错误；
∵直线y=kx+c 经过一、二、四象限，
∴k ＜0．
∵OA=OD ，
∴点A 的坐标为（c ，0）．
直线y=kx+c 当x=c 时，y ＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2=k b a -
由图象知x2＞1，
∴k b
a
-
＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正确，
即正确命题的是②③⑤．
故选B．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】
∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝1
2
×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】
2890
x x
++=，
289
x x
+=-，
222
8494
x x
++=-+，
所以()247
x+=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，
AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】
连OA ，OB ，如图，
∵OA=OB=AB ，
∴△OAB 为等边三角形，
60AOB ∴∠=o ，
又12
C AOB ∠=∠Q ， 16030.2
C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．
二、填空题
13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l 根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π
解析：15π
【解析】
【分析】设圆锥母线长为l ，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.
【详解】设圆锥母线长为l ，∵r=3，h=4，
∴母线225r h +=，
∴S 侧=
12×2πr×5=12
×2π×3×5=15π， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.
14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值
解析：⑤
【解析】
【分析】
①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，
∴a ＞0，﹣
2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，
∴ab ＜0，说法①正确；
②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，
∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；
③∵当x ＝2时，函数y ＜0，
∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；
④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，
∵图象开口向上，
∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；
⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，
∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；
⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，
∴a ﹣b+c ＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣
2b a
， ∴b ＝﹣2a ，
∴3a+c ＝0，
∵c ＜0，
∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．
故答案为⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．
15．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB
解析：70°
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】
因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°
因为∠D＝20°
所以∠A=∠D＝20°
所以∠CBA=90°-20°=70°
故答案为：70°
【点睛】
考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．
16．【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数可得∠AOB的度数再根据△AOD中AO=DO可得∠A的度数进而得出△ABO中∠B的度数可得∠C的度数【详解】解：∵∠AOC的度数为105°由旋转可
解析：45
【解析】
【分析】
先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，
AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【详解】
解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，
∴∠AOB=105°-40°=65°，
∵△AOD中，AO=DO，
∴∠A=1
2
（180°-40°）=70°，
∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，
故答案为：45°．
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
17．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二
解析：x1=1, x2=2.
【解析】
【分析】
整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.
【详解】
x(x-2)-(x-2)=0，
()()
120
x x
--=，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1，x2=2，
故答案为x1=1，x2=2.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.
18．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概
解析：1 4
【解析】
【分析】
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】
如下图所示，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，
∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是
41 164
=，
故答案为：1
4
．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
19．2【解析】【分析】作直径AD连接BD得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB发现等边△AOB）【详解】作直径AD连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A
解析：2
【解析】
【分析】
作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，则AD=4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）
【详解】
作直径AD，连接BD，得：∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，∴AD=4，即圆的半径是2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．
20．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-
S△COE）===
解析：3
12
π+.
【解析】
试题解析：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，
∴S 扇形AOE =260223603
ππ⨯=， ∴S 阴影=S 扇形AOB -S 扇形COD -（S 扇形AOE -S △COE ）
=2290290121136036032
πππ⨯⨯---⨯（
=32432ππ-
+
=122
π+ 三、解答题
21．（1）y=﹣x 2+2x +3；（2）C （0，3），D （1，4）；（3）P （2，3）．
【解析】
【分析】
（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b 、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；（3）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．
【详解】
（1）由点A （﹣1，0）和点B （3，0）得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩
， 解得：23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x +3；
（2）令x=0，则y=3，∴C （0，3）
∵y=﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，
∴D （1，4）；
（3）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），
S △COE =
12×1×3=32，S △ABP =12
×4y=2y ， ∵S △ABP =4S △COE ，∴2y=4×32
，∴y=3，∴﹣x 2+2x +3=3， 解得：x 1=0（不合题意，舍去），x 2=2，
∴P （2，3）．
【点睛】 本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S △ABP =4S △COE 列出方程是解决问题的关键．
22．（1）见解析；（2）»AD 23π=
【解析】
【分析】 （1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.
【详解】
（1）证明：如图，连结OD ．
∵OC OD =，AB AC =，
∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，
∴1B ∠=∠，
∴DE AB ⊥， ∴290B ∠+∠=︒，
∴2190∠+∠=︒，
∴90ODE ∠=︒，
∴DE 为O e 的切线．
（2）解：连结AD ，∵AC 为O e 的直径．
∴90ADC ∠=︒．
∵AB AC =，
∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，
∴60AOD ∠=︒．
∵3DE =
∴3BD CD ==
∴2OC =，
∴60221803
AD ππ=
⨯= 【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm
【解析】
【分析】
首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.
【详解】
过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：
30ABC ∠=︒Q ，
2QE QB ∴=
12
PQB S PB QE ∆∴=g g 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ，
则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=g g （
） 212 680,24t t t t -+===，．
当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =．
答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .
【点睛】
此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.
24．（1）98
m £
且0m ≠；（2）10x =，21x =-． 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且()()2
2341m m m =----⎡⎤⎣⎦V ≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m 的范围可确定m=1，则原方程化为x 2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆---- =89m -+． 解得98
m ≤且0m ≠．
（2）∵m 为正整数，
∴1m =．
∴原方程为20x x +=．
解得10x =，21x =-．
【点睛】
考查一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.
当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.
当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.
25．(1)3秒后，PQ 的长度等于；(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .
【解析】
【分析】
（1）由题意根据PQ=，利用勾股定理BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；
（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；
【详解】
解：(1)设x 秒后，PQ =，5BP x =-，2BQ x =，
∵222BP BQ PQ +=
∴()()(2
2252x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)
∴3秒后，PQ 的长度等于
(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =， 又∵172
PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，
25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，
∴方程没有实数根，
∴PQB ∆的面积不能等于27cm .
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．。