枣庄市台儿庄区2017届九年级上期中数学试卷含答案解析(初中数学试卷)

2016-2017 学年山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）期中数学试
卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．1．下列一元二次方程无解的是（）
A. x2-2x+1=0
B. 2X2+X+3=0
C. /+3X-2=0
D. 2X2- 3x- 1=0 2．已知，则的值是（
）
A. B. C. D.
3. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
4. 下列关于矩形的说法中正确的是（）
A.对角线相等的四边形是矩形
B•矩形的对角线相等且互相平分
C•对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
5. 如图，△ ABC中，AD是中线，BC=8 / B=Z DAC,则线段AC的长为（）
A. 4
B. 6
C. 4
D. 4
6. 圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影. 已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）
A. 0.324 n m
B. 0.288 n m
C. 1.08 n n
D. 0.72 n m
7 .如图，在周长为12的菱形ABCD中, AE=1, AF=2,若P为对角线BD上一动点，贝U EF+FP的最小值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8•—个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）
A. B. C. D.
9 .若关于x的一元二次方程x2- 3x+p=0 （p M 0）的两个不相等的实数根分别为
a和b，且a2- ab+b2=18,则+的值是（）
A. 3
B.- 3
C. 5
D.- 5
10. 在?ABCD中，AB=3, BC=4当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）
①AC=5 ②/ A+Z C=180;③AC丄BD;④AC=BD
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
11. 如图，在△ ABC中，BF平分Z ABC, AF丄BF于点F, D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=10, BC=16则线段EF的长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. 如图，正方形纸片ABCD中,对角线ACBD交于点O,折叠正方形纸片ABCD, 使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB AC 于点E、G,连结GF,给出下列结论：①Z ADG=22.5；②=2；
③S AGD=S OGD;④ 四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG⑥若OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4, 其中正确的结论个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分.只要求填最后结果.
13. 将方程x2+4x=5 化为（x+m）2=9,则m= __ .
14. _____________________________________________________________ 设*、X2是方程x2-4x+m=0 的两个根，且X1+X2 -x〔x2=1，贝U X1+X2 ______________ ,
m= ___.
15 .已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AQ连接CE交BD 于点F,则EF: FC的值是_________ .
16•如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若/ D=60, BC=2则点D的坐标是
17•如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是
18. ___________________________________________________________ 已知
a i =，a2=，a3=，…，a n+i= （n 为正整数，且t工0，1），则a20i6= ________ （用含有t的代数式表示）.
三.解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤.
19. 解方程
（1）2X2- 7x+3=0
（2）（x- 2）2=2X- 4.
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点坐标系分别为A （- 2，1），
B （- 1，4），
C （- 3，- 2）.
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2,在y轴的左侧，画出△ ABC放大后的图形△ A1B1C1，并直接写出G点坐标；
（2）如果点D （a，b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标.
21. 甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字
2, 3, 5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上.
(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用
列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5 的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
22．某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元．每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得
510 元的利润，每件应降价多少元？
23•如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点0作EF丄AC,交BC于点E,
交AD于点F,连接AE, CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB=,Z DCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)
24. 如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA
连接AF,Z ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M ,连接E0.
(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长；
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
25. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB 于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若/ CGF=90，求的值.
2016-2017 学年山东省枣庄市台儿庄区九年级(上) 期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．1．下列一元二次方程无解的是( )
A. x2-2x+1=0
B. 2X2+X+3=0
C. X2+3x~ 2=0
D. 2X2- 3x- 1=0
【考点】根的判别式．
【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的正负，由此即可得出结论.
【解答】解：A、•：△ = (-2) 2-4X 1 X 1=5>0,
•••该方程有两个不相等的实数根；
B、・.2 =12- 4X 2X 3=- 23v0,
•••该方程无解；
C>v^ =32- 4 X 1X( -2) =17>0,
•••该方程有两个不相等的实数根；
D、・.d = (- 3) 2-4X 2X( - 1) =17>0,
•••该方程有两个不相等的实数根.
故选B.
2.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
【考点】比例的性质.
【分析】先设出b=5k,得出a=13k,再把a, b的值代入即可求出答案.
【解答】解：令a，b 分别等于13 和5，
・?
二a=13, b=5
故选D．
?
3．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）
A．5 个B．6 个C．7 个D．8 个
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共 2 列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行2 个小正方体，第一列第二行2 个小正方体，第二列第三行1 个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1=5 个．故选A．
4．下列关于矩形的说法中正确的是（）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D•矩形的对角线互相垂直且平分
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．
5•如图，△ ABC中，AD是中线，BC=8, / B=Z DAC,则线段AC的长为（）
A．4 B．6 C．4 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据AD是中线，得出CD=4再根据AA证出△ CBA^A CAD,得出=, 求出AC即可.
【解答】解：：BC=8
••• CD=4
在厶CBA^O^ CAD 中，
vZ B=Z DAC, / C=Z C,
•••△CBA^A CAD,
二A6=CD?BC=4< 8=32 ,
••• AC=4
故选C．
6．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m,若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）
A. 0.324 n m
B. 0.288 n m
C. 1.08 n n
D. 0.72 n m
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【分析】利用中心投影的性质可判定圆环形阴影与桌面相似，则利用相似的性质得到=（）2，然后利用比例性质计算出地面圆环形阴影的面积.
【解答】解：圆桌面的面积=n （0.62- 0.22）=0.32 n（m2）,
v圆环形阴影与桌面相似,
• =（）2，
•••地面圆环形阴影的面积=X 0.32 n =0.72 （cm2）.
故选D.
7•如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2若P为对角线BD上一动点，贝U EF+FP的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题．
【分析】作F点关于BD的对称点F；则PF=PF,由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时，EF+FP有最小值，然后求得EF的长度即可.
【解答】解：作F点关于BD的对称点F；则PF=PF,连接EF交BD于点P.••• EF+FP=EPF，P
由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EF+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F, P=E．F,
•••四边形ABCD为菱形，周长为12，
••• AB=BC=CD=DA=3AB// CD,
••• AF=2 AE=1,
••• DF=AE=1
•••四边形AEF I是平行四边形，
••• EF' =AD=3
•••EP F FP的最小值为3.
故选：C．
8. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法. 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：画树状图得：
•••共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有 •••取到的是一个红球、一个白球的概率为: 故选C .
9. 若关于x 的一元二次方程x 2-3x+p=0 （p M 0）的两个不相等的实数根分别为 a 和b ，且a 2 - ab+b 2=18,则+的值是（
）
A . 3 B.- 3 C. 5 D .- 5 【考点】根与系数的关系.
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出 a+b=3、ab=p ，利用完全平 方公式将a 2 - ab+b 2=18变形成（a+b ） 2 - 3ab=18,代入数据即可得出关于p 的一 元一次方程，解方程即可得出p 的值，经验证p=- 3符合题意，再将+变形成-2, 代入数据即可得出结论.
【解答】解：：a 、b 为方程x 2 - 3x+p=0 （p 丰0）的两个不相等的实数根， a+b=3，ab=p ，
T a 2- ab+b 2= （a+b ） 2- 3ab=^ - 3p=18,
•• p= - 3.
当 p=- 3 时，△ =（ - 3） 2-4p=9+12=21>0，
• p=- 3符合题意.
+===- 2= - 2=- 5.
故选D .
10. 在
？ABCD 中，AB=3, BC=4当？ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有（
） ①AC=5 ②/ A+Z C=180;③AC 丄 BD ;④AC=BD
红 红 白 白
仆 z/Vx 仆 //V 纤白白白红白白白红红白白红红白白红红白白
12种情况,
开娼
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
【考点】平行四边形的性质.
【分析】当?ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出Z A=Z B=Z C=Z D=90°, AC=BD根据勾股定理求出AC,即可得出结论.
【解答】解：根据题意得：当?ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，.•./ A=Z B=Z C=Z D=90 , AC=BD
AC==5
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选：B.
11. 如图，在△ ABC中，BF平分/ ABC, AF丄BF于点F，D为AB的中点，连接
DF延长交AC于点E.若AB=10, BC=16则线段EF的长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且/ ABF=Z BFD,结合角平分线可得/ CBF玄DFB即DE// BC,进而可得DE=8,由
EF=DE-DF可得答案.
【解答】解：：AF丄BF,
•/ AFB=90 ,
••• AB=10, D 为AB 中点,
. DF=AB=AD=BD=5
•/ ABF=Z BFD,
又••• BF平分/ ABC,
•/ ABF=Z CBF,
•/ CBF玄DFB
. DE/ BC
•△ADE^A ABC,
.= 即
解得：DE=8
. EF=DE- DF=3
故选：B.
12•如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点0,折叠正方形纸片ABCD 使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB AC 于点E、G，连结GF,给出下列结论：①/ ADG=22.5;②=2;③Sx AGD=S OGD;④ 四边形AEFG是菱形；⑤BE=20G⑥若S OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4, 其中正确的结论个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】四边形综合题．
【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得/ GAD=Z ADO=45，又由折叠的性质，可求得/ ADG的度数；
②由AE=E R BE,可得AD>2AE;
③由AG=G>0G,可得△ AGD的面积>△OGD的面积；
④由折叠的性质与平行线的性质，易得△ EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF
⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=20G
⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB// GF, AB=GF再由/ BAO=45,Z GOF=90 可得出△ OGF时等腰直角三角形，由S x OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE 的长，利用正方形的面积公式可得出结论
【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，
•••/ GAD=Z ADO=45 ,
由折叠的性质可得：/ ADG=Z ADO=22.5,故①正确.
•••由折叠的性质可得：AE=EF / EFD=/ EAD=90,
••• AE=E R BE,
••• AE V AB,
•••> 2,故②错误.
•••/ AOB=90,
AG=FG> OG, △ AGD与厶OGD同高，
二S\AGD> S\OGD,故③错误.
VZ EFD=/ AOF=90,
••• EF/ AC,
•••/ FEG W AGE
vZ AGE2 FGE
•••/ FEG=Z FGE
••• EF=GF
v AE=EF
••• AE=GF
v AE=EF=GF AG=GF
••• AE=EF=GF=AG
•••四边形AEFG是菱形,故④正确. •••Z OGF=Z OAB=45 ,
EF=GF=OG
•BE=EF X OG=2OG 故⑤正确.
v四边形AEFG是菱形，
•AB// GF, AB=GF
vZ BAO=45, Z GOF=90,
•△ OGF时等腰直角三角形.
v S\OGF=1 ,
•06=1，解得OG二，
•BE=2OG=2 GF»2,
•AE=GF=2
•AB=B^AE=2^2,
•S正方形ABCD=A B2= (2+2) 2=12+8，故⑥错误. •其中正确结论的序号是：①④⑤共三个.
故选B.
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分.只要求填最后结果.
13. 将方程X2+4X=5化为(x+m) 2=9,则m二 2 .
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先配方，再根据完全平方公式变形，即可得出答案.
【解答】解：x2+4x=5,
2
x+4x+4=5+4,
(x+2) 2=9,
所以m=2,
故答案为：2.
14. 设X i、X2 是方程x2- 4x+m=0 的两个根，且X1+X2 - X〔X2=1，则x i +x2= 4 , m= 3 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系找出X i +X2= - =4, X l X2==m,将其代入等式X1+X2 -
X1X2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解.
【解答】解：•••为、X2是方程x2- 4x+m=0的两个根，
二X1 +X2= - =4，X1X2==m.
T x1 +x2- x1x2=4 - m=1，
••• m=3.
故答案为：4；3.
15. 已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD 上, AE=AD，连接CE交BD
于点F,则EF: FC的值是或 .
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.
【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△ EF»A CFB求出DE: BC=2 3,即可求得EF: FC的值；
②当点E在射线DA上时，同①得：△ EF»A CFB求出DE: BC=4 3,即可求
得EF: FC的值.
【解答】解：：AE=AD
•分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图1所示
•••四边形ABCD是平行四边形，
• AD// BC, AD=BC
•••△ EF»A CFB
••• EF: FC=DE BC,
••• AE=AD
••• DE=2AE=AD=B,
••• DE: BC=2 3,
••• EF： FC=2 3 ；
②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示:
同①得：△ EFD^^ CFB
••• EF： FC=DE BC,
••• AE=AD
••• DE=4AE=AD=B,
••• DE: BC=4 3,
••• EF: FC=4 3;
综上所述：EF: FC的值是或；
故答案为：或.
16•如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若/ D=60, BC=2则点D的坐标是（2+, 1）.
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质.
【分析】过点D作DG丄BC于点G,根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD,再由
BC=2 / D=60°可得出△ BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG 的长即可得出结论.
【解答】解：过点D作DG丄BC于点G,
•••四边形BDCE是菱形，
••• BD=CD
••• BC=2 / D=60 ,
•••△ BCD是等边三角形，
••• BD=BC=CD=2
••• CG=1 GD=CD?si n60 =Z=,
•-D (2+, 1).
故答案为：(2+, 1).
17•如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是________ .
【考点】矩形的性质；点到直线的距离.
【分析】首先连接0P,由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得
OA=OD=5 △ AOD 的面积，然后由压AOD=S X AOP+S^DOF=OA?PE+OD?PF求得答案. 【解答】解：解：连接0P,
•••矩形的两条边AB BC的长分别为6和8,
S矩形ABCD=AB?BC=48 0A=0C 0B=0D AC=BD=10
0A=0D=5
•- S\ACC F S矩形ABCC F24 ,
• S\ AOD=S\ACD=12,
T S\AOC F S X AOP+S A DOF=OA?PE+OD?PF=X 5X PE^X 5X PF= (PE+PF) =12,
解得：PE+PF=
故答案为
18 .已知a1 = , a2=, a3=,…，a n+1= (n 为正整数，且t 工0 , 1),则a2016= _(用
含有t的代数式表示).
【考点】规律型：数字的变化类.
【分析】把a1代入确定出a2,把a2代入确定出a3,依此类推，得到一般性规律，
即可确定出a2016的值.
【解答】解：根据题意得：a i=, a2=, a3=,…，
2016- 3=672,
二02016的值为，
故答案为三．解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤．
19．解方程
(1)2X2- 7x+3=0
(2)(x-2) 2=2X- 4.
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】( 1 )本题可以运用因式分解法解方程.因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解. ( 2)通过移项，提公因式分解因数，使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0 即可求解.
【解答】解：( 1 ) 2x2- 7x+3=0
原方程可变形为( 2x- 1 )( x- 3) =0
2x- 1=0 或x - 3=0,
X1=, x2=3.
( 2)( x- 2) 2=2x- 4.
原方程可变形为( x- 2) 2=2( x- 2)，移项得，( x- 2) 2- 2( x- 2) =0，提公因式得( x- 2)(x- 2- 2) =0，
. x- 2=0 或x- 4=0，
. x1=2，x2=4.
20.如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点坐标系分别为A (- 2, 1), B(- 1，4)，C(- 3，- 2).
(1)以原点O为位似中心，位似比为1: 2,在y轴的左侧，画出△ ABC放大后
的图形△ A i B i C i，并直接与出C i点坐标；
（2）如果点D （a, b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D i的坐标.
【分析】（i）利用位似比为i：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案；
（2）利用（i）中位似比得出对应点坐标关系.
【解答】解：（i）如图所示：△ A i B i C i即为所求，
C i点坐标为（-6, 4）;
（2）如果点D （a，b）在线段AB上，经过（i）的变化后点D的对应点D i的坐标为；（2a, 2b）.
21 •甲、乙两人进行摸牌游戏•现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字
2, 3, 5•将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上.
(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张•请用
列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜•这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释.
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法.
【分析】(1)利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
(2)分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可.
【解答】解：(1)所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；
(2)不公平.
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍
件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得
510 元的利润，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．
【分析】(1 )设每次降价的百分率为x, (1-x) 2为两次降价的百分率，40降至
32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
( 2)设每天要想获得510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：(1)设每次降价的百分率为x．
40X( 1 - x) 2=32.4
x=10%或190%
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，两次下降的百分率啊10%；
( 2)设每天要想获得510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价
y 元，由题意，得
( 40- 30- y)( 4X +48) =510，
解得：y1=1.5，y2=2.5，
•••有利于减少库存，
二y=2.5.
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5元.
23. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF丄AC,交BC于点E, 交AD于点F,连接AE, CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB=,Z DCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)
【考点】矩形的性质；菱形的判定．
【分析】(1)由过AC的中点O作EF丄AC,根据线段垂直平分线的性质，可得
AF=CF AE=CE OA=OC然后由四边形ABCD是矩形，易证得厶AOF^A COE 则可得AF=CE继而证得结论；
(2)由四边形ABCD是矩形,易求得CD的长,然后利用三角函数求得CF的长, 继而求得答案．
【解答】(1)证明：：O是AC的中点，且EF丄AC,
••• AF=CF AE=CE OA=OC
•••四边形ABCD是矩形，
••• AD// BC,
•••/ AFO=/ CEO
在△AOF和△ COE中,
•••△AOF^A COE( AAS ,
••• AF=CE
••• AF=CF=CE=AE
•••四边形AECF是菱形；
(2)解：•••四边形ABCD是矩形,
••• CD=AB=
在Rt A CDF中,cos/ DCF= / DCF=30 ,
••• CF==2
•••四边形AECF是菱形,
••• CE=CF=2
•••四边形AECF是的面积为：EC?AB=2
24. 如图,正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点O ,延长CB至点F ,使CF=CA 连接AF , / ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N , M,连接EO.
(1)已知BD=求正方形ABCD的边长；
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】(1)利用正方形的性质和勾股定理计算即可；
(2)先判断出EO为厶AFC的中位线，再由EO// BC得出，进而利用直角三角形得出CM=EM,再判断出厶CBN^A COM得出比例式，进而得出CN=CM,即可得出结论．【解答】解：(1)v四边形ABCD是正方形，
•••△ABD是等腰直角三角形，
••• 2AB2=BD2，
••• BD=,
••• AB=1,
•••正方形ABCD的边长为1;
( 2) CN=2EM
理由：•••四边形ABCD是正方形，
••• AC丄BD，OA=OC
v CF=CA AF 是/ ACF的平分线，
••• CE1 AF，AE=FE
••• EO%A AFC的中位线
••• EO// BC
•••在Rt A AEN中，OA=OC
••• EO=OC=AC
•CM=EM
v AF 平分/ ACF，
•/ OCM=Z BCN,
vZ NBC=/ COM=90，
•△CBN^A COM,
••• CN=CM
即CN=2EM．
25. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB 于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若/ CGF=90，求的值.
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.
【分析】(1)根据相似三角形判定的方法，判断出厶CEH^A GBH,即可推得.
(2) 作EM丄AB 于M，贝U EM=BC=AD AM=DE,设DE=CE=3a 贝U AB=CD=6a 由(1)得：=3,得出BG=CE=a AG=5a证明△ DEF^A GEC由相似三角形的性质得出EG?EF=DE?EC由平行线证出，得出EF=EG求出EG=a在Rt A EMG 中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a即可得出结果.
【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，
••• CD// AB，AD=BC AB=CD AD// BC,
•••△CEH^A GBH,
(2)解：作EM丄AB于M，如图所示：
贝EM=BC=AD，AM=DE，
••• E为CD的中点，
••• DE=CE
设DE=CE=3，a 贝AB=CD=6a，
由( 1 )得：=3，
BG=CE=a
AG=5q
vZ EDF=9°Z CGF / DEF=/ GEC DEF^A GEC
••• EG?EF=D E?EC
•••CD// AB,
* ?
••• EF=EG
••• EG?EG=3a?3a
解得：EG=a，
在Rt A EMG 中，GM=2a,
EM==a
--BC=a
. ==3．
2017年2月27日。