2019-2020学年人教版高中数学必修四培优新方案浙江专用课件：第二章 2.2 2.2.3 向量数

线，又
―→ AB
与
―→ AC
有公共点A，从而A，B，C三点共线，这
是证明三点共线的重要方法．
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四十三分。
[针对训练] 如图所示，正三角形 ABC 的边长为 15，―A→P ＝13―A→B ＋25 ―AC→，―B→Q ＝15―A→B ＋25―AC→. 求证：四边形 APQB 为梯形．
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[方法技巧]
向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量 可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的 “同类项”“公因式”指的是向量．
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[针对训练] (1)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)． (2)已知 a 与 b，且 5x＋2y＝a,3x－y＝b，求 x，y. 解：(1)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b ＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－53i－5j.
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的
是( )
A．b＝2a
B．b＝－2a
C．a＝2b
D．a＝－2b
3．在答四案边：形AABCD中，若―A→B ＝－12―C→D ，则此四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
答案：C
4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.
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题型三 共线向量定理的应用 [典例] (1)已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若―A→B ＝2e1 －8e2，―C→B ＝e1＋3e2，―C→D ＝2e1－e2，求证：A，B，D 三点 共线． (2)设两个不共线的向量 e1，e2，若 a＝2e1－3e2，b＝2e1 ＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数 λ，μ，使 d＝λa＋μb 与 c 共线？
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证明：因为―PQ→＝―PA→＋―A→B ＋―B→Q ＝－13―A→B －25―AC→＋ ―A→B ＋15―A→B ＋25―AC→＝1135―A→B ，所以―PQ→∥―A→B . 又|―A→B |＝15，所以|―PQ→|＝13，故|―PQ→|≠|―A→B |，于是四边 形 APQB 为梯形．
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[方法技巧] 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所 求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反 复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量 的线性运算的反复应用．
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2．向量共线的条件 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa . [点睛] (1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以 是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. (2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实 数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不 共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0. 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向 量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1a±λμ2b .
答案：－a＋8b
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题型一 向量的线性运算
[典例] 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
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[解] (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b) ＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四十三分。[方法技巧]用向量共线的件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这
两条直线平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这
两条直线重合．例如，若向量―A→B ＝λ―A→C ，则―A→B ，―A→C 共
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(2)[解] d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ －3λ)e2，
要使 d 与 c 共线，则存在实数 k，使得 d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2. 由－2λ＋3λ＋2μ3＝μ＝2k－，9k， 得 λ＝－2μ. 故存在实数 λ 和 μ，使得 d 与 c 共线，此时 λ＝－2μ.
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二、基本小题检验
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．
(×)
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．
(×)
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b. ( × )
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第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四十三 分。
“多练悟·提升素养”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)
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第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四十三 分。
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？ (2)向量数乘运算满足哪三条运算律？ (3)向量共线定理是怎样表述的？ (4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
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一、教材知识梳理
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 . (2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ；
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特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb .
[点睛] (1)λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实 数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有 意义． (2)对于非零向量 a，当 λ＝|a1|时，λa 表示 a 方向上的单位向 量． (3)注意向量数乘的特殊情况： ①若 λ＝0，则 λa＝0； ②若 a＝0，则 λa＝0. 应该特别注意的是结果是零向量，而非实数 0.
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(2)联立方程组53xx＋ －2y＝y＝ba，，
解得x＝111a＋121b， y＝131a－151b.
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题型二 用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯 形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已 知―A→B ＝a，―A→D ＝b，―D→C ＝c，试用a，b，c表示 ―[B解→C]，――MB→→ NC .＝―B→A ＋―A→D ＋―D→C ＝－a＋b＋c. ∵―M→N ＝―M→D ＋―D→A ＋―A→N ， 又―M→D ＝－12―D→C ，―D→A ＝－―A→D ，―A→N ＝12―A→B ， ∴―M→N ＝12a－b－12c.
[针对训练] 如图所示，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点， M，N 分别是 DE，BC 的中点，已知―B→C ＝a，―B→D ＝ b，试用 a，b 分别表示―D→E ，―C→E ，―M→N .
第十四页，编辑于星期六：二十三点 四十三分。
解：由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故―D→E ＝12―B→C ， 即―D→E ＝12a. ―C→E ＝―C→B ＋―B→D ＋―D→E ＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. ―M→N ＝―M→D ＋―D→B ＋―B→N ＝12―E→D ＋―D→B ＋12―B→C ＝－14a－b＋12a＝14a－b.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十三分。
(1)[证明] ∵―C→B ＝e1＋3e2，―C→D ＝2e1－e2， ∴―B→D ＝―C→D －―C→B ＝e1－4e2. 又―A→B ＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴―A→B ＝2―B→D ，∴―A→B ∥―B→D . ∵AB 与 BD 有交点 B，∴A，B，D 三点共线．