高中数学课时提升作业(一)第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

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课时提升作业(一)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.三棱台
【解析】选B.剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.
2.下列图形不是正方体表面展开图的是( )
【解析】选C.图C不能围成正方体.
3.关于棱台,下列说法正确的是( )
A.两底面可以不相似
B.侧面都是全等的梯形
C.侧棱长一定相等
D.侧棱延长后交于一点
【解析】选D.只有D符合棱台的特征.选项A,B,C均不正确.
4.下列命题中正确的是( )
A.由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B.棱锥的高线可能在几何体之外
C.仅有一组对面平行的六面体是棱台
D.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
【解析】选B.三棱柱是由五个平面围成的多面体,故A不正确.
仅有一组对面平行的六面体可以是四棱柱,故C不正确.
D中,当这些三角形不共用一顶点时,不一定是棱锥,故D不正确,故B正确. 5.(2013·嘉兴高一检测)如图都是正方体的表面展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是( )
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
【解题指南】让其中一个正方形不动,其余各面沿这个正方形的各边折起,进行想象后判断.
【解析】选 B.在图(2)(3)中,⑤不动,把图形折起,则②⑤为对面,①④为对面,③⑥为对面,故图(2)(3)完全一样,而(1)(4)则不同.
【变式训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
【解析】选D.A,B,C中底面多边形的边数与侧面数不相等.
6.(2014·淄博高一检测)下列三种叙述,其中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台.
②两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱台.
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解题指南】利用棱台的定义和结构特征知,棱台的两个底面互相平行,而且侧棱延长线交于一点.
【解析】选A.①不正确,因为根据棱台的定义,要求棱锥底面和截面平行.
②不正确,因为不能保证各侧棱的延长线交于一点.
③不正确,因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交于一点.综上,三种叙述全部不正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(1)图(1)中的几何体叫做__________,AA1,BB1等是它的__________,A,B,C1等是它的__________.
(2)图(2)中的几何体叫做__________,PA,PB为其__________,PBC,PCD叫做它的__________,ABCD是它的__________.
(3)图(3)中的几何体叫做__________,它是由棱锥__________被平行于底面ABCD的平面__________截得的,AA′,BB′为其__________,BCC′B′,DAA′D′为其__________.
【解析】根据棱柱,棱锥,棱台的结构特征,可依次得出答案.
答案:(1)棱柱侧棱顶点
(2)棱锥侧棱侧面底面
(3)棱台O-ABCD A′B′C′D′侧棱侧面
8.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是________.
【解析】三个几何体都是棱柱.
答案:3
【变式训练】如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,P是对角线AC与BD的交点,若P为四棱锥的顶点,棱锥的底面为长方体的一个面,则这样的四棱锥有________个.
【解析】以P为顶点,底面分别是长方体的四个侧面和下底面,共5个.
答案:5
9.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体叫做长方体,棱长都相等的长方体叫做正方体.请根据上述定义,回答下面问题:
①直四棱柱__________是长方体;②正四棱柱__________是正方体.(填“一定”“不一定”“一定不”)
【解析】①不一定,只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体.②不一定,只有侧棱与底面边长相等的正四棱柱才是正方体.
答案:①不一定②不一定
【举一反三】本题条件不变,若记A={直棱柱},B={直平行六面体},C={长方体},D={正四棱柱},E={正方体},则集合A,B,C,D,E之间的关系为__________. 【解析】根据它们的定义可知,它们之间存在的关系为E⊆D⊆C⊆B⊆A.
答案:E⊆D⊆C⊆B⊆A
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.请画出如图所示的几何体的表面展开图.
【解析】展开图如图所示.
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,图(1)中截去的是什么几何体?图(2)中截去一部分,其中HG∥AD∥EF,剩下的几何体是什么?
【解析】由图知,图(1)中截去的是三棱锥B1-BMN;
图(2)中截去阴影部分AEH-DFG后,剩余部分是五棱柱A1B1BEH-D1C1CFG.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·南阳高一检测)下列图形中,不是三棱柱展开图的为( )
【解析】选C.对于C,两个底面的展开图不可能位于同侧.
2.(2013·宁德高一检测)下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展开成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
【解析】选B.棱柱的侧面是平行四边形,不可能是三角形,所以A不正确;球的表面就不能展成平面图形,所以C不正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等,所以D不正确.
【变式训练】下列命题正确的是( )
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D.棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
【解析】选D.棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形,故A,B错;当平面过棱锥顶点时所分成的两部分可能都是棱锥,C错误;D正确.
3.(2014·温州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1=4,AB=3,AD=5,则从A 点沿长方体表面到达C1点的最短距离为( )
A.4
B.3
C.
D.8
【解析】选C.将长方体沿AA1剪开成平面图形,
AC1==4,
沿AB展开,AC1==3,
沿AD展开,则有AC1==.
综上所述,从点A沿表面到C1的最短距离为.
4.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体,正四面体ABCD的棱长为a,M,N分别为棱BC,AD的中点,则MN的长度为( )
A.a
B.
C.
D. a
【解析】选B.如图所示,连接BN,CN,
因为正四面体的四个面都是正三角形,所以BN=CN,所以MN⊥BC,
所以在Rt△NMC中,
MN=
=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在如图①～④4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都填上)
【解析】将①②沿折痕折起,为三棱锥;③④沿折痕折起,构不成空间封闭图形. 答案:①②
【误区警示】本题易得答案①③,①正确,③不正确.错误的原因是思维想象能力较差,可动手制作几何体,观察其展开图,提高识图能力.
6.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:
①点H与点C重合;②点D与点M与点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S 重合.其中正确说法的序号是__________(把你认为正确的命题序号都填上). 【解析】若将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记,不妨记面NPGF为“下”,面PSRN为“后”,则易得面MNFE,PQHG,EFCB,DEBA分别为“左”“右”“前”“上”,按各面的标记折成正方体,则可以得出D,M,R重合;G,C 重合;B,H重合;A,S,Q重合,故②④正确,①③错误,所以答案是②④.
答案:②④
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由8个面围成,其中2个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形.
(2)由5个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有1个公共顶点的三角形. 【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知,该几何体为六棱柱.
(2)根据棱锥的结构特征可知,该几何体为四棱锥.
8.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底面的一个顶点,上面的第(1)问和第(2)问对不对?
【解题指南】本题主要是据各种几何体的特征进行判断,特别是在倾斜的过程中,有一些关系是不变的.
【解析】(1)不对;水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面,将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,根据倾斜程度可以是三棱柱,四棱柱,或五棱柱;但不可能是棱台或棱锥.
(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六
边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形;水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台.
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