人教版高中数学必修二1.2.3 空间几何体的直观图学案+课时训练

人教版高中数学必修二第1章空间几何体
1.2.3空间几何体的直观图学案
【要点梳理夯实基础】
知识点斜二测画法
阅读教材P16～P18的内容，完成下列问题．
1．直观图的概念
(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
3．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．
[思考辨析学练结合]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．()
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()
(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()
(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()
[解析]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二
测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．
[答案](1)√(2)√(3)×(4)√
【合作探究析疑解难】
考点1 画平面图形的直观图
[典例1]按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[点拨]按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
[解答]画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，
O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝1
2OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，
并在相应的平行线上取G′A′＝1
2GA，H′D′＝
1
2HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画
点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个
端点，然后连接成线段．
[跟踪练习]
1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．
【解】画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝1
2OE，
以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
考点2 画空间几何体的直观图
[典例2]画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[点拨]画轴→画底面→画顶点→成图
[解答]画法：(1)画轴：
(1)(2)
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．
(2)画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图(2)．
[解法总结]
1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图
便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
2．由如图1-2-25所示几何体的三视图画出直观图．
图1-2-25
【解】(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．
考点3 直观图的还原和计算问题
探究1如图1-2-26，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
图1-2-26
[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．探究2若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10.
探究3如图1-2-27所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？
图1-2-27
[提示]由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．[典例3]如图1-2-28是四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°，求原四边形的面积.
图1-2-28
[点拨]可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积．
[解答]取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′为y′轴，过D′点作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′
为等腰直角三角形，所以E′C′＝ 2.再建立一个直角坐
标系xBy，如图：
在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋2，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底
BC＝1＋2，高AB＝2，所以四边形ABCD的面积S＝1
2AB·(AD＋BC)＝
1
2×2×(1
＋1＋2)＝2＋ 2.
[解法总结]
1．还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解．
3．原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S′.
[跟踪练习]
3．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()
A.
2
4a
2B．22a2
C．a2D．2a2
[解析]由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积．
所以S＝a·22a＝22a2.
[答案]B
人教版高中数学必修二第1章空间几何体
1.2.3空间几何体的直观图课时训练
1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
[解析]由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．
[答案] D
2．将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该几何体的俯视图为()
[解析]长方体的侧面与底面垂直,所以俯视图是C.
[答案] C
3．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成()
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
[解析]平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
[答案] A
4．若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析]观察三视图,可得直观图如图所示.该三棱锥A-BCD的底面BCD是直角三角形,AB⊥平面BCD,CD⊥BC,侧面ABC,ABD是直角三角
形;由CD⊥BC,CD⊥AB,知CD⊥平面ABC,CD⊥AC,侧面
ACD也是直角三角形,故选D.
[答案] D
5．某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()
A.90 cm2
B.129 cm2
C.132 cm2
D.138 cm2
[解析]由题干中的三视图可得原几何体如图所示.
故该几何体的表面积
S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2××3×4=138(cm2).故选D.
[答案] D
6．如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
[解析]如图,几何体为三棱柱.
[答案] B
7．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[解析]画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
故顶点B′到x′轴的距离为
2 2.
[答案]
2 2
8．如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形OABC的面积为.
[解析]由题意知原图形OABC是平行四边形,且OA=BC=6,
设平行四边形OABC的高为OE,则OE×=O'C',
∵O'C'=2,∴OE=4,
∴S
▱OABC
=6×4=24.
[答案]24
9．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.
[解析]由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，
∴S
△AOB ＝
1
2OA·OB＝6.
[答案] 6
10．如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD 中,最长的线段是.
[解析]△ABC是角B为直角顶点的直角三角形,AD是直角边BC上的中线,所以最长的线段为AC.
[答案]AC
11．在如图所示的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形,且边长为2 cm,则在xOy坐标系中,四边形ABCO为,面积为cm2.
[解析]由斜二测画法的特点,知该平面图形的直观图的原图,即在xOy坐标系中,四边形ABCO是一个长为4 cm,宽为2 cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8 cm2.
[答案]矩形8
12．如图,在六面体PABCQ中, QA=QB=QC=AB=CB=CA=PA=PB=PC
=2, 设O
为正三棱锥P-ABC外接球的球心,O2为三棱锥Q-ABC内切球的球心,
1
则O1O2等于.
[解]将该六面体放入一棱长为正方体中,如图.其外接球的球心O1在正方体的体对角线PQ的中点,正四面体Q-ABC的内切球的球心O2也在PQ的中点,所以O1O2=0.
[答案]0
13．某几何体的三视图如图所示,画出该几何体的直观图.
[解]该几何体类似棱台,先画底面矩形,中心轴,然后上底面矩形,连线即成.
画法:如下图,先画轴,依次画x',y',z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,
∠x'O'z'=90°.在z'轴上取O'O″=8 cm,再画x″,y″轴.
在坐标系x'O'y'中作直观图ABCD,使得AD=20 cm,AB=8 cm;在坐标系x″O″y″中作直观图A'B'C'D',使得A'D'=12 cm,A'B'=4 cm.连接AA',BB',CC',DD',即得到所求直观图.
13．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝1
2AO＝
3
4cm，连接A′B′，A′C′，则△
A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．。