七年级数学思维探究(27)图形生长的奥秘(有答案)

七年级数学思维探究(27)图形生长的奥秘(有答案)
陈景润（19331996-），福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．20
世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“12+”，将200多年来
人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”．
27．图形生长的奥秘 解读课标
从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：
（1）分析图形生长的方式、规律；
（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决
例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m =________．（用含n 的代数式表示）
（2）观察下列图形：
①②③④
根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试对于（2），从寻找第n 个图与第1n -个图三角形个数的关系入手．
例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（）． A ．25 B ．66 C ．91 D ．120
（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去：
则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）．
A ．22n n ++，21n +
B ．22n +，21n +
C ．4n ，23n n -+
D ．4n ，21n + 试一试略．
①
m =5n =1时
②m =8n =2时③m =11n =3时④
m =14n =4
时
①
②
……
③
第1
个
第2
个
第3个
例3 操作：
（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1；
（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；
（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．
探究：图○
n 的周长是多少？
试一试每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突
破口．
例4 有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，……，如此继续下去，第9层有多少块？第n 层有多少块？这样共n 层的砖堆总共有多少块砖？
试一试从第2层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．
例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需多少根火柴？
分析当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形． 解将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图：
图中第1个图案需要横向火柴112+=（根），纵向火柴112+=（根），共需4根火柴； 第2个图案需要横向火柴1225++=（根），纵向火柴1225++=（根），共需10根火柴； 第3个图案需要横向火柴12339+++=（根），纵向火柴12339+++=（根），共需18根火柴； ……
第n 个图案需要横向火柴的根数是()31232n n n n ++++++=，纵向火柴的根数也是()
32
n n +，共需
()3n n +根火柴．
故拼搭图中第11个图案需火柴()111133157⨯++=（根）． 图案设计
例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？
①
②
……
③
第1个
第2个
第3个
…
第4
个
第1
个
第2
个
第3
个
第4个
…
由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案． 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．
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1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星．
2．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．
3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根（用含有n 的代数式表示）．
4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为________（用含n 的代数式表示）．
5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．
（1）漩涡
（2）玫瑰花
（4）海螺背影
n =1
★
★
★★n =2
★
★★★★★
★n =3
★★★
★★★★★★★n =4
……
★★★★★★★★★★★★★
图①
★★图②
★★★★★★★★…图③
★★★★★★★★★★★★★★
★★
★★（1
）
（2
）（3
）（4）
……
第一个图案
6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．
（2）试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等．
8
．已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当n k =时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含k 的式子表示）
9．某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺2块，如图①；第二次把第一次铺的完全围起来，如图②；第三次把第二次铺的完全围起来，如图③；……；依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________．
10．如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_______．
（1）
（2）
（3）
①
②
③
④
……
n =3
n =4…
n =5
①
②
③
11．在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③；……；如此继续，如果图①的等边三角形面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为___________．
12．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，……，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥． （1）求5a 的值；
（2）当345
111
1n a a a a +++
+
的结果是197600
时，求n 的值为_________．
13．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一
组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，……，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？
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14．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：
第6行
第
5行第4行第3行第2行第1
行①
②
③
（1
）
（2）
（3）
……
（4
）
A
（2）在边长为的正方形中，设黑色小正方形的个数为1p ，白色小正方形的个数为2p ，问是否存在偶数n ，使215p p =？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由． 15．将棱长为1cm 的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面积．
27．图形生长的奥秘 问题解决
例1（1）32n +
（2）161图①有145+=个，图②有143417++⨯=个，图③有214343453++⨯+⨯=个，图④有2314343434161++⨯+⨯+⨯=个．
例2（1）C 1591317212591++++++=； （2）D
例3 图○
n 中每个小等边三角形的边长为13n
⎛⎫
⎪⎝⎭
，图○n 周长为143n n -． 例4 第9层有99块，第n 层有()2n n +块，这样的n 层砖堆共有
()()()()()31425321212223232n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=+⨯++⨯++⨯+
++⨯
()()()()()()222211
1232123121112766
n n n n n n n n n n =+++
+++++
+=++++=++（块）．
数学冲浪
1．25 2．72 3．62n - 4．22n +
5．()53132n n +-=+（个） 6．()2
210101181+-=（个） 7．（1）略；（2）由28n n =，得8n =或0n =（舍去）．
8．n k =时，共向外作了()23k -⨯个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为2
1
S k ⨯，这些小等边三角形的面积为()()22
321
23k k S S k k --⨯⨯
⨯=⨯． 9．()()()221232286n n n n n ----=-
10．377各行的实心圆点数组成斐波那契数列
11．1
34n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．（1）()1n a n n =+，530a =；（2）199n =． 13．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯+
+-=+-．
当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +-=>，故最多能完整地铺满26组，
还剩2005195154-=（块）瓷砖． 14．（1）略；（2）n 为偶数时，12p n =，222p n n =-，由题意得2252n n n -=⨯，12n =或0n =（舍去）．故存在偶数12n =，使得215p p =．
15．由图呈现的规律知，第20个几何体有20层，从上往下第1层有1个正方体，第2层有33⨯个正方体，第3层有55⨯个正方体，……，第20层有3939⨯个正方体，所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成： （1）俯视图：边长为39厘米的正方形，面积为39391521⨯=（平方厘米）． （2）底面积：边长为39厘米的正方形，面积为1521平方厘米． （3）侧面积：四个形如
39个正方形的金字塔三角形的面积和，即()139
13539420416002
+++++⨯=
⨯⨯=（平方厘米）．故第20个几何体的表面积为1521216004642⨯+=（平方厘米）．
…………………
……………………。