安徽省六高二下学期第一次段考数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知数列为等比数列，若，，则（ ） {}n a 20a >4816a a =6a =A ．－4 B ．2 C ．4 D ．
4±【答案】C
【分析】运用等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】，∴，又，∴，所以，
264816a a a ==64a =±20a >4
620a a q =>64a =故选：C
2．已知数列满足，且，则（ ）
{}n a 21
4
a =1212n n n a a a +-=2023a =A ．
B ．
C ．
D ．
1
4
1-32
23
【答案】B 【分析】计算，，，，，确定为周期是的数列，计算得到123a =214a =31a =-43
2a =523
a ={}n a 4答案. 【详解】，故，，，， 1212n n n a a a +-=
12121124a a a -=
=12
3a =2322112a a a -==-343
21322a a a -==，，故为周期是的数列，. 454212
23
a a a -==
L {}n a 4202331a a ==-故选：B 3．设，则（ ）
()()
33lim 6x f x f x x
∆→+∆--∆=-∆()3f '=A ． B ．
C ．3
D ．12
12-3-【答案】B
【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，.
()()
()()
()Δ0
Δ0
3Δ3Δ3Δ3Δlim 2lim
236Δ2Δx x f x f x f x f x f x
x
→→'+--+--===-()33f '=-故选：B
4．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A ，B ，C 三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有（ ） A ．6种 B ．12种
C ．15种
D ．18种
【答案】B
【分析】由题意被安排到A 中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可. 【详解】①若甲单独安排到A 中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，
,B C
共有：种方式，
22
32C A 6=②若甲和另一名防疫专家被安排到A 中学，则有：种方式，
1
3C 3=则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，
,B C 2
2A 2=由分步乘法原理有：种方式，
12
32C A 6=又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有：种方式， 6612+=故选：B.
5．若，则曲线在处的切线方程为（ ）
2
()32
(3)x f x xf '=+()f x 2x =A ． B ． 5240x y ++=5240x y +-=C ． D ．
5240x y -+=5240x y --=【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，取，解得，则，求得3x =()332f '=-()2
922
x x
f x =-
，可得切点坐标和切线斜率，利用直线方程的点斜式得答案.
()()5
27,22
f f '=-=-【详解】，，
2
()32
(3)x f x xf '=+()()33f x x f =+''令，解得.
()()3,3333x f f =='+'()3
32
f '=-所以，则.
()()299
,222
x x f x f x x -=-'=()()527,22f f '=-=-所以曲线在处的切线方程为，即.
()f x 2x =()5
722
y x +=--5240x y ++=故选：.
A 6．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A ．72
B ．56
C ．48
D ．36
【答案】C
【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.
【详解】将四个区域标记为，如下图所示： ,,,A B C D 第一步涂：种涂法， A 4第二步涂：种涂法， B 3第三步涂：种涂法， C 2第四步涂：种涂法，
D 2根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，
432248⨯⨯⨯=
故选：.
C 7．已知偶函数在上存在导函数，当时，，且，则不等
()f x R ()f x '0x >()()f x xf x '>-()31f =式的解集为（ ）
()()
22
223x x f x x ++>A ． B ． ()(),13,-∞-⋃+∞()(),31,-∞-⋃+∞C ． D ．
()1,+∞()3,1-【答案】B
【分析】首先通过构造，由条件判断函数的奇偶性和单调性，由条件计算，
()()g x xf x =()33g =不等式转化为，由函数单调性解不等式.
()()2
23g x x g +>【详解】令，
()()g x xf x =由于为偶函数，则， ()f x ()()f x f x -=因为，所以为奇函数，
()()
()()g x xf
x xf
x g x -=--=-=-()g x 所以， ()()()g x f x xf x +''=因为当时，， 0x >()()f x xf x '>-即，即， ()()0f x xf x '+>()0g x '>所以当时，， 0x >()0g x '>所以在上单调递增，
()g x (0,)+∞因为在上为奇函数且在上具有导函数， ()g x R R 所以在内单调递增，
()g x R
因为， (3)1f =所以，
(3)3(3)3g f ==又等价于，
()()
22223x x f x x ++>()2
2(3)g x x g +>所以，解得或， 223x x +>3x <-1x >综上所述，的取值范围为. x (,3)(1,)-∞-+∞ 故选：B.
8．若函数在上的最小值是1，则实数的值是（ ） 32()f x x x a =-+[1,1]-a A ．1 B ．3
C ．
D ．
3127
1-【答案】B
【分析】，先求得极值，再求得端点值比较求解. 2()32(32)0f x x x x x '=-=-=【详解】解：令， 2()32(32)0f x x x x x '=-=-=解得或， 0x =23
x =
当时，，时，，
2
(0,)3x ∈()0f x '<2(,1)(1,0)3x ∈⋃-()0f x '>又，，
24
(327
f a =-(1)2f a -=-显然， 4
227
a a -<-
所以， 21a -=所以， 3a =故选：B
二、多选题
9．下列有关数列的说法正确的是（ ） A ．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列
B ．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 {}n a ()1n a n n =+
C ．在数列中,第8个数是⋅⋅⋅
D ．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
21n
n a =+【答案】BCD
【分析】根据数列概念即可得选项A 正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B
的正误;根据数列的规律,即可得选项C 、D 的正误.
【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4, 所以两个数列不是同一个,故选项A 错误; 当时,解得:或(舍), ()1110n a n n =+=10n =11n =-即110是该数列的第10项,故选项B 正确;
因为数列可写为:, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
所以第8故选项C 正确;
=因为
123
123213,215,219,a a a =+==+==+=所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D 正确.
45452117,2133,a a =+==+=21n n a =+故选：BCD
10．等差数列的前项和记为，若a 1＞0，S 10＝S 20，则成立的是（ ） {}n a n n S A ．d ＜0
B ．a 16＜0
C ．Sn 的最大值是S 15
D ．当且仅当Sn ＜0时，n ＝32
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. n 10a >【详解】设等差数列的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1+45d ＝20a 1+190d ，即2a 1+29d ＝0， {}n a 又a 1＞0，所以d ＜0，故选项正确；
A 由2a 1+29d ＝0，得a 1+14d +a 1+15d ＝0，即a 15+a 16＝0，所以a 15＞0；a 16＜0， 即是递减数列，且n ≤15时，an ＞0；当n ≥16时，an ＜0，所以选项和正确． {}n a
B
C 因为，所以选项错误． 311311631
()3102
S a a a =
+=<D 故选：ABC
11．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为
()3
2f x x x =+-P 41y x =-P （ ） A ． B ．
C ．
D ．
()1,0()2,8()1,4--()1,4【答案】AC
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
P P
【详解】依题意，令，解得
2()314f x x '=+=1x =±，
(1)0,(1)4f f =-=-故点的坐标为和， P ()1,0()1,4--故选：AC 12．函数，以下说法正确的是（ ） ()2
ln f x x x
=
+A ．函数有零点
B ．当时，函数有两个零点 ()f x 1ln 2a >+()y f x a =-
C ．函数有且只有一个零点
D ．函数有且只有两个零点
()()g x f x x =-()()g x f x x =-【答案】BC
【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可. 【详解】，定义域，所以，
()2ln f x x x
=
+()0,x ∈+∞()22212x f x x x x -'=-+=令解得，令解得，
()0f x ¢>2x >()0f x '<02x <<所以在上单调递减，在上单调递增，， ()f x ()0,2()2,+∞
()()min 21ln 20f x f ==+>则的图象如图所示：
()f x
故A 错误；
又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B x →+∞()f x →+∞1ln 2a >+()y f x a =-正确；
恒成立， ()2
2
222172122410
x x x g x x x x x ⎛
⎫-+ ⎪-+-⎝⎭'=-+-==-<所以在上单调递减，
()g x ()0,∞+又，，所以函数有且只有一个零点，C 正确，D 错误； ()110g =>()2ln 210g =-<()()g x f x x =-故选：BC
三、填空题
13．已知函数，则______. ()ln x
f x x
=()e f '=【答案】0
【分析】求出导函数，代入求值即可 【详解】因为，所以， ()ln x f x x =()2
1ln x
f x x -'=所以. ()2
1e 0e lne
f '-=
=故答案为：0
14．若是由正数组成的等比数列，且，则__________. {}n a 5681a a =3132310log log log a a a +++= 【答案】20
【分析】根据等比数列下标和的性质可得，结合对数的运算性质，即可求得答案.
29121303a a a a a = 【详解】因为是由正数组成的等比数列，且， {}n a 5681a a =所以，
3102987561481a a a a a a a a a a =====故，
29152130813a a a a a == 所以，
20
3132312910333100lo log lo log log 3g g 2a a a a a a a a ==+++= 故答案为：20．
15．五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有,,,,A B C D E B C D ___________种.（用数字作答） 【答案】24
【分析】相邻问题捆绑法，特殊元素优先排，用分步计数完成.
【详解】C ，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，
D ,C D B 与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.
,A E CD 3
3A 6=3
322A 24⨯⨯=故答案为：24
16．设函数（m 为实数），若在上单调递减，则实数m 的取值范围()ln 2f x x mx =-()f x [1,)+∞_____________． 【答案】
1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案. [)1,x ∞∈+()0f x '≤1
y x
=【详解】，因为函数在区间上单调递减， ()1
2f x m x
'=
-()ln 2f x x mx =-[)1,+∞
所以，恒成立，
[)1,x ∞∈+1
20m x
-≤即，.
[)1,x ∞∈+max
12m x ⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭又在上单调递减，所以，
1
y x =[)1,+∞max 11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，即， 21m ≥1
2
m ≥
所以m 的取值范围为.
1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
故答案为：.
1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
四、解答题
17．由数字组成无重复数字的五位数. 1,2,3,4,5(1)一共可以组成多少个五位偶数？
(2)在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个？ 【答案】(1)48 (2)65
【分析】（1）先考虑个数，再考虑其他四个数位，分步计数原理进行求解；（2）分万位数是3,4,5三种情况进行求解，最后相加即可.
【详解】（1）先考虑个位数，从2或4中选择1个，有种，再考虑其余4个数位，即余下的4
1
2C 个数字进行全排列，有种，所以一共有=48个五位偶数；
44A 1
2C 44A （2）若万位数是3，千位是4或5，共有个符合要求；
3
31212C A =若万位数是3，千位是2，则百位须是4或5，共有个符合要求；
12
22C A 4=若万位数是4或5，则有个符合要求，32154符合要求；
14
24C A 48=综上：在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有12+4+48+1=65个. 18．已知数列为等差数列． {}n a (1)，，求； 43a =79a =8a (2)若，求． 31012a a +=12S 【答案】(1)11
(2) 72
【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；(2)根据等差数列的性质和前项和公式求解. n 【详解】（1）设公差为，
d 由，解得，所以，
41713369a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩132a d =-⎧⎨=⎩18711a a d =+=（2）因为，所以. 31011212a a a a +=+=1121211212()
6()722
a a S a a +==+=19．（1）已知函数,求解集； ()2
123ln 2
f x x x x =
+-()0f x ¢>（2）设曲线在点（0，e ）处的切线与直线垂直，求的值. 21e ax y +=2e 10x y -+=a 【答案】（1）；（2）.
{}|1x x >1
4
a =-【分析】（1）由题可得，然后解不等式即得；
3
()20)f x x x x
'=+->（（2）根据复合函数的导数可得，然后根据导数的几何意义及直线的位置关系即得. 21()2e ax f x a +'=【详解】（1）由题可得 ，
3
()20)f x x x x
'=+->（由可得或， ()0f x '>2230x x +->3x ⇒<-1x >又因为，
0x >故不等式的解集为； {}|1x x >（2）由题可得 ， 21()2e ax f x a +'=依题意：，
e
(0)2e 2f a '==-所以.
1
4
a =-20．已知数列满足
{}n a ()*
11,21N n n a a a n ==+∈(1)求证：数列是等比数列； {}1n a +(2)设，求的前项和 n b n ={}n n a b n n T 【答案】(1)证明见解析； (2) ()()
112122
n n n n T n ++=-+-
【分析】（1）根据题干条件构造出，结合等比数列定义证明结论；
()()1121n n a a n *
++=+∈N
（2）先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果. {}n n a b 【详解】（1）因为，
()121N n n a a n *
+=+∈所以，又，
()()1121N n n a a n *
++=+∈112a +=所以
， ()11
21
n n a n a *++=∈+N ∴数列是首项为，公比为的等比数列. {}1n a +22（2）由（1）知，，∴，
1
122
2n n n a -+=⋅=21n n a =-∵，∴，
n b n =()
21n
n n a b n ⋅=-∴
112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅ ()()()()12312122132121n n =-+-+-+⋅⋅⋅-
()1231222322(123)n n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+令
1231222322n
n S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅
234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅两式相减，
1231
122222n n n S n +-=⋅+++⋅⋅⋅-⋅所以
1
11222
2n n n S n ++---=-⋅所以，
()1
212n n S n +=-+又，
()1122n n n +++⋅⋅⋅+=
∴ ()()
112122
n n n n T n ++=-+-
21．已知函数. 3()395f x x x =-+(1)求函数的单调区间；
()f x (2)求函数在上的最大值和最小值.
()f x []3,3-【答案】(1)递增区间为，；递减区间为 (),1-∞-()1,+∞()1,1-(2)最大值为59，最小值为-49
【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间； （2）求出极值和端点值，比较后确定最值.
【详解】（1）的定义域为R ，且，
()f x ()()2()99911f x x x x '=-=+-令得，令得， ()0f x '>11x x <->或()0f x '<11x -<<所以递增区间为，，递减区间；
(),1-∞-()1,+∞()1,1-（2） x -3
(-3，-1) -1 (-1，1) 1 (1，3) 3 ()f x ' + 0
- 0 + ()y f x =-49 单调递增
极大值
11 单调递减 极小值-1 单调递增 59
所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49. ()f x []3,3-22．已知函数，讨论函数的单调性；
()ln 2f x a x x =+()f x 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递0a ≥()f x ()0,∞+a<0()f x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭减，在上单调递增. ,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
a 【分析】求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果.
a 【详解】，， ()22a a x f x x x
+'=+=0x >①当时，，函数在上单调递增； 0a ≥()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，令，得，令，得， a<0()0f x '<02a x <<-()0f x ¢>2
a x >-所以函数在上单调递减；在上单调递增. ()f x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭()f x ,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 综上所述，当时，函数在上单调递增；
0a ≥()f x ()0,∞+当时，函数在上单调递减，在上单调递增. a<0()f x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a。