2015高考数学一轮总复习课件：3.6正弦定理、余弦定理

典例精讲 类题通法 变式训练
(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得
1
1
7
7
PA2＝3＋4－2× 3×2cos 30°＝4，故 PA＝ 2 .
(2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α.
3
sin α
在△PBA 中，由正弦定理得sin 150°＝sin（30°－α），化简得 3cos α＝4sin α，
梳理
基础知识系统化
◆以上题目主要考查了以下内容：
正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
a
b
c
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
内 sin A＝sin B＝sin C＝2R b2＝c2＋a2－2cacos__B；
容
(R 为△ABC 外接圆半径)
c2＝a2＋b2－2abcos__C.
第六页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
π ①B＝3； ②若 a、b、c 成等比数列，则△ABC 为等边三角形； ③若 a＝2c，则△ABC 为锐角三角形； ④若A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C＋C→A·C→B，则 3A＝C； ⑤若 tan A＋tan C＋ 3＞0，则△ABC 为钝角三角形．
第二十一页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
第二十二页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
变式训练
1 对于④，c2＝bccos A＋accos B＋abcos C＝2ac＋b(ccos A＋acos C)
1
1
＝2ac＋b2＝2ac＋a2＋c2－ac，
化简得 c＝2a，
π
π
π
又 b2＝a2＋c2－ac＝3a2，∴b＝ 3a，此时有 a2＋b2＝c2，∴C＝2，B＝3，A＝6，∴3A＝C 成立；
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
例题精编
(2014·山东高三模拟)在△ABC 中，角
A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
3A
3A
m＝cos
2 ，sin
2
，
A A
n=cos
2.
(1)求角 A 的大小；
(2)若|A→C|＋|A→B|＝ 3|B→C|，试判断△ABC 的
ππ 故 B＝6或2.
π
π
π
π
当 B＝6时，C＝2； 当 B＝2时，C＝6.
故△ABC 是直角三角形．
第十九页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即 将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之 间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形 得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
3
3
所以 tan α＝ 4 ，即 tan∠PBA＝ 4 .
第十二页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向一 利用正、余弦定理解三角形
典典例精讲讲 类题通法 变变式训练练
1.利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已 知两边和一边的对角，求其他边角． 2．利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三 边求其他边角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1) 由|m＋n|＝ 3，得 m2＋n2＋2m·n＝3，
3A A
3A A
即 1＋12cos
2 cos 2＋sin
2 sin 2＝3，
1
π
∴2＋2cos A＝3. ∴cos A＝2. ∵0＜A＜π，∴A＝3.
(2)∵|A→C|＋|A→B|＝ 3|B→C|，∴b＋c＝ 3a，∴sin B＋sin C＝ 3sin A，
直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意 A、B、C
的范围对三角函数值的影响．
第二十页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
变式训练
2．(2014·安徽省“江南十校”联考)已知△ABC 的内角 A、B、C 成等差数列，且 A、B、C 所 对的边分别为 a、b、c，则下列命题中正确的有________(把所有正确的命题序号都填上)．
A．45°或 135°
B．135°
C．45° D．30°
2．已知△ABC 中，a＝c＝2，A＝30°，则 b＝( B ) A. 3 B．2 3 C．3 3 D. 3＋1
3．在△ABC 中，若 a＝2，c＝4，B＝60°，则 b 等于( A ) A．2 3 B．12 C．2 7 D．28
第四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
梳理
梳理自测
4．(课本精选题)在△ABC 中，若 A＝60°，a＝
3，则sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝___2_____．
6
5．(教材改编)在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝____3____．
第五页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
C 考纲 点击
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角
1
形度量问题．
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一
2
些与测量和几何计算有关的实际问题．
第三页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
梳理
梳理自测
1．(教材改编)在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B 等于( C )
1 (1)若 PB＝2，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
第十页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向一 利用正、余弦定理解三角形
例题精编
(2013· 高 考 全 国 新 课 标 卷 ) 如 图 ， 在 △ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1， P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.
第二十三页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向三 与三角形面积有关的问题
例题精编
(2014·南昌市高三模拟)设角 A，B， C 为△ABC 的三个内角，
A5 已知 cos(B＋C)＋sin22＝4. (1)求角 A 的大小； (2)若A→B·A→C＝－1，求 BC 边上的高 AD 长的 最大值．
而 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
3
3
π
则可得 2 sin C＝cos Asin C，又 sin C≠0，则 cos A＝ 2 ，A＝6.
第十四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向一 利用正、余弦定理解三角形
典例精讲 类题通法 变式训练
1 (1)若 PB＝2，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)在三角形中利用余弦定理求边长；
(2)利用正弦定理得出弦之间的关系， 再利用商数关系化为正切．
第十一页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向一 利用正、余弦定理解三角形
第三章 三角函数、 解三角形
第 6 课时 正弦定理、余弦定理
第一页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
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第二页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
2，sin
2
，且满足|m＋n|＝
3.
(1)求角 A 的大小；
(2)若|A→C|＋|A→B|＝ 3|B→C|，试判断△ABC 的
形状．
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)把|m＋n|＝ 3转化为 A 的等式． (2) 由正弦定理边化为角，判断形状．
第十七页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
2π
3
3
1
3
π 3
∴sin
B＋sin
3
－B＝
3×
2
，
即
2
sin
B＋2cos
B＝
2
，∴sinB＋
6
＝
2
.
第十八页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
2π
π
π 5π
π π 2π
∵0＜B＜ 3 ， ∴6＜B＋6＜ 6 ， ∴B＋6＝3或 3 ，
形状．
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
第十六页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
例题精编
(2014·山东高三模拟)在△ABC 中，角
A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
3A
3A
m＝cos
2 ，sin
2
，
A A
n=cos
4．三种结果：两解、一解、无解
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．
第九页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向一 利用正、余弦定理解三角形
例题精编
(2013· 高 考 全 国 新 课 标 卷 ) 如 图 ， 在 △ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1， P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.
对于⑤，tan A＋tan C＝tan(A＋C)(1－tan Atan C)，
2π ∵A＋C＝ 3 ，∴tan A＋tan C＝－ 3＋ 3tan Atan C，
∵tan A＋tan C＋ 3＝ 3tan Atan C＞0， 又在△ABC 中，A、C 不能同为钝角，∴A、C 都是锐角，∴△ABC 为锐角三角形．
C 基础知识梳理
梳理
基础知识系统化
① a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
变
a
b
c
形 ②sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R；
形 ③a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
式
a＋b＋c
a
b
c
④sin A＋sin B＋sin C＝sin A＝sin B＝sin C .
C 聚焦考向透析 考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状
变式训练 解析：∵内角 A、B、C 成等差数列，∴A＋C＝2B. π 又 A＋B＋C＝π.∴B＝3，故①正确； 对于②，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac. 又 b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c， π 又 B＝3，∴△ABC 为等边三角形； 对于③，∵b2＝a2＋c2－2accos B＝4c2＋c2－2c2＝3c2， ∴b＝ 3c，此时满足 a2＝b2＋c2，说明△ABC 是直角三角形；
面
1
1
1
积
S＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B
Cos B c2＋a2－b2
＝ 2ca ； Cos C
a2＋b2－c2 ＝ 2ab ．
1 S＝2ah
第七页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
指点迷津
1．一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较 大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
(2)由 3c－2b＝1，得 3c－2b＝a，即 3sin C－2sin B＝sin A.
π
5
5
1
又 A＝6，∴C＝6π－B，∴ 3sin(6π－B)－2sin B＝2，
π1 整理得 cos(B＋6)＝2，
5π
π
ππ
π
∵0＜B＜6π，∴6＜B＋6＜π. ∴B＋6＝3，即 B＝6.
第十五页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
第十三页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析 考向一 利用正、余弦定理解三角形
典例精讲 类题通法 变式训练
3 1．已知在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos C＋ 2 c＝b. (1)求角 A；
(2)若 a＝1，且 3c－2b＝1，求角 B.
3
3
解析：(1)由 acos C＋ 2 c＝b，得 sin Acos C＋ 2 sin C＝sin B，
2．两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
第八页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
指点迷津
3．三类问题
①两角及一边，可用正弦定理． ②一角及两边，可用正弦定理或余弦定理． ③三边，可用余弦定理．