2019-2020学年度最新数学高考二轮复习数学思想领航二数形结合思想专题突破讲义-文科

2019-2020学年度最新数学高考二轮复习数学思想领航二数形结合思
想专题突破讲义-文科
方法一 函数图象数形沟通法 模型解法
函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：
①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．
②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．
典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当
x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2
时，⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π2
f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )
－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8
解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.
∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，
∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；
当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数，
∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，
定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝
f (x )的草图如图，
由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C
思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．
跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]
时，f (x )＝－x 3
，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )
A ．－7
B ．－6
C ．－3
D ．－1
答案 A
解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，
由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )
＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法
几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：
①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．
③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．
典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2
＝3，则y
x
的最大值为( ) A.12 B.33 C.3
2
D. 3 解析 方程(x －2)2
＋y 2
＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为
M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0
x －0
则表示圆M 上的点A (x ，y )
与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．
所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．
由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，
此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2
－AM 2
＝1，tan∠AOM ＝AM
OA ＝3，故y x
的最大值为3，故选D. 答案 D
思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有
(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．
跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：
{ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －x
y
的
取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B
解析
作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，
x ≥1，
y ≥1
所表示的可行域，如图
阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y
x
，f (
t
)＝
t －1
t
，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.
方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法
圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：
①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．
②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．
③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．
典例3 已知点P 在抛物线y 2
＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B .⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)
解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2
＝4x 得x 0＝14
，
故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，－1，故选A. 答案 A
思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．
跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2
＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，12
解析 因为(－2)2
<8×4，
所以点A (－2,4)在抛物线x 2
＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，
过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.
因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2
＝8y ，得
y 0＝1
2
，
故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－2，12.。