江西高三高中数学期末考试带答案解析

江西高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知x,y∈R,i为虚数单位，且，则(1＋i)x＋y的值为（）
A．4B．－4C．4＋4i D．2i
2.下列命题中正确的是（）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题
B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件
C．l为直线，α,β为两个不同的平面，若l⊥β,α⊥β,则l∥α
D．命题“"x∈R,2x＞0”的否定是“$x0∈R,≤0”
3.平面α∥平面β，点A,C∈α,B,D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（）
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交D．A,B,C,D四点共面
4.已知向量a,b的夹角为60°，且|a|＝2,|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于（）
A．150°B．90°C．60°D．30°
5.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（）
A．B．＋6C．11πD．＋3
6.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。

若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2
7.已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝。

程序框图如图所示，若输出的结果S＝
，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）
A．n≤2013B．n≤2014C．n＞2013D．n＞2014
8.已知双曲线
的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以
线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．以上情况都有可能
9.已知函数f(x)＝－1的定义域是[a,b](a,b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a,b)共有（ ）
A ．2个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
10.设D ＝{(x,y)|(x －y)(x ＋y)≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t(t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函
数S ＝f(t)的图象的大致形状为（ ）
二、填空题
1.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M(x,y)满足·
＝0，则
＝ 。

2.已知f(n)＝1+(n ∈N*)，经计算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，观察上述结果，则可归
纳出一般结论为 。

3.给出下列四个命题：①函数y ＝2cos 2(x ＋)的图像可由曲线y ＝1＋cos2x 向左平移个单位得到；②函数y ＝
sin(x ＋
)＋cos(x ＋
)是偶函数；③直线x ＝是曲线y ＝sin(2x ＋
)的一条对称轴；④函数y ＝2sin 2(x ＋
)的
最小正周期是2π.
其中不正确命题的序号是 。

4.随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于
的
概率为 。

5.已知两曲线参数方程分别为
（0≤θ＜π）和
(t ∈R)，它们的交点坐标为 。

6.设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x ∈(－2,0)∪(2,4)，则实数a ＝ 。

三、解答题
1.已知函数f(x)＝2cos 2x―sin(2x―).
（Ⅰ）求函数
的最大值，并写出
取最大值时x 的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若f(A)＝,b ＋c ＝2，求实数a 的最小值。

2.某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。

若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。

（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P 1；
（2）求小李10月份参加测试的次数x 的分布列和数学期望。

3.已知函数(为常数，且)，且数列是首项为4，公差为2的等差数列。

（Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）若
，当
时，求数列
的前n 项和。

4.如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，O 1、O 分别为上、下底面的中心，且A 1在底面
ABCD 上的射影是O 。

（Ⅰ）求证：平面O 1DC ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若∠A 1AB ＝60°，求平面BAA 1与平面CAA 1的夹角的余弦值。

5.如图，设F(－c,0)是椭圆
的左焦点，直线l ：x ＝－
与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，
已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P 的直线m 与椭圆相交于不同的两点A,B 。

①证明：∠AFM ＝∠BFN ； ②求△ABF 面积的最大值。

6.已知函数f(x)＝
在x ＝0，x ＝处存在极值。

（Ⅰ）求实数a,b 的值；
（Ⅱ）函数y ＝f(x)的图象上存在两点A,B 使得△AOB 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中
点在y轴上，求实数c的取值范围；
(Ⅲ）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数。

江西高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知x,y∈R,i为虚数单位，且，则(1＋i)x＋y的值为（）
A．4B．－4C．4＋4i D．2i
【答案】B
【解析】∵，∴，解得，∴，，故选Ｂ．【考点】复数相等的充要条件．
2.下列命题中正确的是（）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题
B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件
C．l为直线，α,β为两个不同的平面，若l⊥β,α⊥β,则l∥α
D．命题“"x∈R,2x＞0”的否定是“$x0∈R,≤0”
【答案】D
【解析】若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为假命题，故是错误的；“”是“”的必要不充分条件，故是错误的；l为直线，α,β为两个不同的平面，若l⊥β,α⊥β, 则l∥α，有可能在平面内，故是错
∈R,≤0”，全称命题的否定是特称命题，故Ｄ正确．
误的；命题“"x∈R, 2x＞0”的否定是“$x
【考点】命题真假判断．
3.平面α∥平面β，点A,C∈α,B,D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（）
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交D．A,B,C,D四点共面
【答案】D
【解析】因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．故选D．
【考点】充要条件．
4.已知向量a,b的夹角为60°，且|a|＝2,|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于（）
A．150°B．90°C．60°D．30°
【答案】D
【解析】由题意可得，设向量与向量的夹角等于，则
|，即，故，再由，可
得，故选D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
5.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（）
A．B．＋6C．11πD．＋3
【答案】D
【解析】由三视图可知，此几何体为一个半个圆台，由图中数据可知，上下底面半径分别为，母线长为，高为，故该几何体的表面积为．
【考点】三视图，几何体的表面积．
6.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。

若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为3，∴，即，则，∵，∴∴的面积为
，故答案选Ｃ．
【考点】抛物线的简单性质．
7.已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝。

程序框图如图所示，若输出的结果S＝
，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）
A．n≤2013B．n≤2014C．n＞2013D．n＞2014
【答案】A
【解析】，因为在处取得极大值，所以，即，解得，故，则，，输出的结果
，由，得，，故判断框中可以填入的关于
的判断条件为：．
【考点】函数在某点取得极值的条件；程序框图．
8.已知双曲线
的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以
线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．以上情况都有可能
【答案】B
【解析】设以线段
为直径的两圆的半径分别为
，若
在双曲线左支，如图所示，则
，即圆心距为半径之和，两圆外切．若
在双曲线右支，同理求
得，故此时，两圆相内切．综上，两圆相切，故选B ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；双曲线的简单性质．
9.已知函数f(x)＝－1的定义域是[a,b](a,b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a,b)共有（ ）
A ．2个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
【答案】B 【解析】当时，函数
，令
即
，解得
；令，即
，
解得
，易知函数
在
时为减函数，利用
平移的方法可画出
时
的图象，又由此函数
为偶函数，得到时的图象是由时的图象关于轴对称得来的，所以作出函数的图象，根据图象可知满足整数数对的有（-2，0），（-2，1），（-2，2），（0，2），（-1，2）共5
个．
【考点】函数的定义域及其求法．
10.设D ＝{(x,y)|(x －y)(x ＋y)≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t(t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则
函数S ＝f(t)的图象的大致形状为（ ）
【答案】C 【解析】由题意
，有二次函数图像可得，答案选Ｃ．
【考点】函数的图象与图象变化．
二、填空题
1.设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x,y)满足·＝0，则＝。

【答案】±
【解析】∵，∴，∴是圆的切线，设的方程为，由，得，即．
【考点】直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算．
2.已知f(n)＝1+(n∈N*)，经计算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，观察上述结果，则可归
纳出一般结论为。

【答案】
【解析】由题意可化为，同理可化为，，可化为，可化为，可化为，以此类推，可得，
，故答案为：．
【考点】归纳推理．
3.给出下列四个命题：①函数y＝2cos2(x＋)的图像可由曲线y＝1＋cos2x向左平移个单位得到；②函数y＝
sin(x＋)＋cos(x＋)是偶函数；③直线x＝是曲线y＝sin(2x＋)的一条对称轴；④函数y＝2sin2(x＋)的
最小正周期是2π.
其中不正确命题的序号是。

【答案】①④
【解析】：①函数，故它的图像可由曲线向左平移个单位得到，所以错误；②函数，是偶函数，故正确；③直线代入得，，是函数的一条对称轴，故正确；④函数，它的最小正周期是，所以错误；故其中不正确
命题的序号是①④．
【考点】三角函数图像与性质．
4.随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的
概率为。

【答案】
【解析】不等式组区域表示的平面区域为，即为图中的抛物线在第一象限内部分，，倾斜
角小于的区域为图中阴影部分；区域的面积为，，坐标原点与该点连线的倾斜角小于的面积为，由几何概率的计算公式可得
故答案为：．
【考点】几何概型
5.已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和(t∈R)，它们的交点坐标为。

【答案】（1，）
【解析】由(0≤θ＜π)消去参数后的普通方程为，由 (t∈R)消去参数后的普通方程为，联立两个曲线的普通方程得，∴，所以它们的交点坐标为．【考点】抛物线的参数方程；椭圆的参数方程．
6.设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)，则实数a＝。

【答案】1
【解析】∵，∴，∴或，∴或，∵不等式的解集是，，应同时成立，解得，故答案为．
【考点】绝对值不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．
三、解答题
1.已知函数f(x)＝2cos2x―sin(2x―).
（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求实数a的最小值。

【答案】（Ⅰ）所以函数的最大值为2，取最大值时的取值集合；（Ⅱ）实数的最小值为1．【解析】（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合，首先将化为一个角的一个三角函数，因此利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数得，即可求得函数的最大值为2，从而可得取最大值时的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，故
，可求得角的值为，在中，因为，可考虑利用余弦定理来解，由余弦定理得，，即可求得实数的最小值．
试题解析：（Ⅰ）f(x)=2cos2x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)
=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1 (3分)
所以函数的最大值为2. (4分)
此时sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(k z) 解得x=kπ+(k z)
故x的取值集合为{x| x=kπ+，k z} (6分)
（Ⅱ）由题意f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=，
∵A（0，π）, 2A+(,). A= (8分)
在三角形ＡＢＣ中，根据余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bc·cos=（b+c)2-3bc (10分)
由b+c="2" 知bc()2="1," 即a2 1
当b=c=1时,实数a的最小值为1. (12分)
【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．
2.某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。

若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合
格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。

（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P
；
1
（2）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望。

【答案】（Ⅰ）小李第一次参加测试就合格的概率为；（Ⅱ）则x的分布列为
小李10月份参加测试的次数x的数学期望为.
【解析】（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率，由题意小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，可设第一次参加测试就合格的概率为，则小李四次测试合格的概率依次为，而他直到第二次测试才合格的概率为，即，解得或，又因为他第一次测试合格的概率不超过，可舍去；（Ⅱ）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望，小李10月份参加测试的次数为，则，小李四次考核每次合格的概率依次为，根据相互独立事件同时发生的概率，
得到分布列和期望．
试题解析：（Ⅰ）设小李四次测试合格的概率依次为：
a, a＋, a＋, a＋(a≤)， (2分)
则(1－a)(a＋)＝，即,
解得(舍)， (5分)
所以小李第一次参加测试就合格的概率为； (6分)
（Ⅱ）因为P(x＝1)＝， P(x＝2)=，P(x＝3)＝，
P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝， (8分)
则x的分布列为
) 所以
，
即小李10月份参加测试的次数x 的数学期望为. (12分)
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
3.已知函数(为常数，且)，且数列是首项为4，公差为2的等差数列。

（Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）若
，当
时，求数列
的前n 项和。

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）数列
是等比数列，只需证明
等于一个与无关的常数即可，由已知数列
是首项为4，公差为2的等差数列，故
，即，可求得
，代入
即可数列是等比数列；（Ⅱ）若，当
时，求数列
的前项和
，首先求出数列
的通项公
式，由（Ⅰ）可知
，故
，这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列，可利用错位相减法来求和，可求得
．
试题解析：（Ⅰ）由题意知f(a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2， (2分) 即log k a n ＝2n ＋2，∴a n ＝k 2n ＋2， (3分) ∴
. (5分)
∵常数k ＞0且k≠1，∴k 2为非零常数，
∴数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列。

(6分) （Ⅱ）由（1）知，b n ＝a n f(a n )＝k 2n ＋2·(2n ＋2)，
当k ＝时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1
＝(n ＋1)·2n ＋2. (8分) ∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋＋(n ＋1)·2n ＋2， ① 2S n ＝2·24＋3·25＋＋n·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3， ② (10分) ②－①，得S n ＝―2·23―24―25――2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝―23―(23＋24＋25＋＋2n ＋2)＋(n ＋1)·2n ＋3, ∴S n ＝―23―
＋(n ＋1)·2n ＋3＝n·2n ＋3. (12分)
【考点】等差数列与等比数列的综合，数列求和．
4.如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，O 1、O 分别为上、下底面的中心，且A 1在底面
ABCD 上的射影是O 。

（Ⅰ）求证：平面O 1DC ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若∠A 1AB ＝60°，求平面BAA 1与平面CAA 1的夹角的余弦值。

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面与平面
的夹角的余弦值为
．
【解析】（Ⅰ）求证平面平面
，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，注意到在底面
上的射影是
，即
平面
，由图像可知只需证明即可，因此可连，则
为
的交点，易知四边形
为平行四边形，从而得，这样就得平
面
，由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）平面与平面
的夹角的余弦值，可用传统方法，找
二面角的平面角，过点
作
，垂足为
，连接
，由三垂线定理得
，∴
为二面角
的平面角，在中求出此角即可；也可用空间向量法，如图分别以为轴建立空
间直角坐标系，分别找出两个半平面的法向量，利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）连结AC,BD, A 1C 1,则O 为AC,BD 的交点O 1为A 1C 1,B 1D 1的交点。

由平行六面体的性质知：A 1O 1∥OC 且A 1O 1=OC,四边形A 1OCO 1为平行四边形， (2分) A 1O ∥O 1C. 又∵A 1O ⊥平面ABCD ，O 1C ⊥平面ABCD, (4分)
又∵O 1C 平面O 1DC, 平面O 1DC ⊥平面ABCD 。

(6分)
（Ⅱ）由题意可知Rt A 1OB ≌Rt A 1OA,则A 1A=A 1B ， 又∠A 1AB=600，故A 1AB 是等边三角形。

(7分) 不妨设AB="a," 则在Rt A 1OA 中，OA=
a, AA 1="a," OA 1=
a,
如图分别以OB,OC,OA 1为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系， 则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A 1(0,0,,
a) (8分)
=(
a,
a,0)，
=(-a,0,a)
设平面ABA 1的法向量为=(x,y,z)
则由
·=0得x+y=0,由
·=0得x-z=0
令x=1得
=(1,-1,1) (10分)
又知BD ⊥平面ACC 1A 1，故可得平面CAA 1的一个法向量为=(1,0,0)
cosθ=|
|=
从而平面BAA 1与平面CAA 1的夹角的余弦值为。

(12分)
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
5.如图，设F(－c,0)是椭圆
的左焦点，直线l ：x ＝－
与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，
已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P 的直线m 与椭圆相交于不同的两点A,B 。

①证明：∠AFM ＝∠BFN ； ②求△ABF 面积的最大值。

【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为
；（Ⅱ）①详见解析；②
． 【解析】（Ⅰ）求椭圆的标准方程，只需利用待定系数法来求，由
，知
，由
，得
，将
代入，可求出的值，从而得的值，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）①证明：
，只需证明
即可，这是直线与二次曲线位置关系问题，可采用设而不求的方法，因
此当
的斜率为0时，，满足题意．当的斜率不为０时，可设直线的方程为
，代入椭圆方程得
，设出
，有根与系数关系，及斜率
公式可得，从而得到
．故恒有
；②求△ABF 面积的最大值，由图可
知
，由基本不等式，能求出三角形ABF 面积的最大值．
试题解析：（Ⅰ）∵|MN|＝8, ∴a ＝4， (1分)
又∵|PM|＝2|MF|，∴e ＝， (2分) ∴c ＝2,b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为
(3分)
（Ⅱ）①证明：
当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0，满足题意； (4分) 当AB 的斜率不为0时，设AB 的方程为x ＝my －8，
代入椭圆方程整理得(3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0. (5分) △＝576(m 2－4), y A ＋y B ＝, y A y B ＝
.
则
,
而2my A y B －6(y A ＋y B )＝2m·
－6·
＝0， (7分)
∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN.
综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有∠AFM ＝∠BFN. (8分) ②方法一：
S △ABF ＝S △PBF －S △PAF
(10分)
即S △ABF ＝
， (12分)
当且仅当
，即m ＝±时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。

∴△ABF 面积的最大值是3. (13分)
方法二：
点F 到直线AB 的距离
(10分)
， (12分) 当且仅当
，即m ＝±
时取等号。

(13分)
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
6.已知函数f(x)＝
在x ＝0，x ＝处存在极值。

（Ⅰ）求实数a,b 的值；
（Ⅱ）函数y ＝f(x)的图象上存在两点A,B 使得△AOB 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围；
(Ⅲ）当c ＝e 时，讨论关于x 的方程f(x)＝kx(k ∈R)的实根个数。

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）实数c 的取值范围是(0,＋∞) ；(Ⅲ）当k ＞或k ＜0时，方程f(x)＝kx 有一个
实根；当k ＝或k ＝0时，方程f(x)＝kx 有两个实根；当0＜k ＜时，方程f(x)＝kx 有三个实根。

【解析】（Ⅰ）由于两个极值点都小于零，故对在
求导，，即当
时，
，依
题意，由
可求实数
的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得
，依题意A ，B 的横坐标互
为相反数，不妨设
，分
与
讨论，利用
是直角，
，即可
求得实数的取值范围；(Ⅲ）由方程，知，可知一定是方程的根，，方程等价于，构造函数，分且与两类讨论，即可确定
的实根的个数．
试题解析：（Ⅰ）当x＜1时，.
因为函数f(x)在x＝0,x＝处存在极值，所以
解得a＝1,b＝0. (3分)
（Ⅱ）由（1）得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设A(－t,t3＋t2), B(t,f(t)(t＞0). (4分)
若t＜1，则f(t)＝－t3＋t2,
由∠AOB是直角得·＝0，即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，
即t4－t2＋1＝0.此时无解； (5分)
若t≥1，则f(t)＝c(e t―1―1).由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，
所以B点不可能在x轴上，即t≠1.
同理·＝0，即－t2＋( t3＋t2)·c(e t―1―1)＝0，
整理后得. (7分)
因为函数y＝(t＋1)(e t-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞),
所以实数c的取值范围是(0, ＋∞). (8分)
（3）由方程f(x)＝kx,
知
因为0一定是方程的根， (9分)
所以仅就x≠0时进行研究：
方程等价于
构造函数 (10分)
对于x＜1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝时取得最大值，其值
域是(－∞, 0)∪(0, ]； (11分)
对于x≥1部分，函数，由，
知函数g(x)在(1, ＋∞)上单调递增,则g(x)［0，+) (13分)
所以, ①当k＞或k＜0时，方程f(x)＝kx有一个实根；
②当k＝或k＝0时，方程f(x)＝kx有两个实根；
③当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根。

(14分)
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．。