山东省青岛市高三教学质量3月统一检测数学试卷(理科)

山东省青岛市高三教学质量3月统一检测
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：台体的体积公式为：12121
()3
V S S S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21
i
z i =
-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --
2. 已知全集U R =，集合2
{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U
A B 等于
A .{|20}x x x ><或
B .{|12}x x <<
C . {|12}x x <≤
D .{|12}≤≤x x
3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是
A .2log y x =
B . 1y x =
C .1
()2
x y =- D .1
3y x =
4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的
A .充要条件
B .充分不必要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
5. 二项式62()x x
-的展开式中，2
x 项的系数为
A .15
B .15-
C .30
D .60
6. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆2
2
2690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是
A .2233y x y x ==-或
B .23y x =
C .2293y x y x =-=或
D .22-9y x y x ==或
侧视图
7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为2和42
A .
283π B .73
π
C .28π
D .7π 8. 若00x y x y y a -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是
A .1
B .2
C .3
D .4
9. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线
MP 不过点O )，则20S 等于
A .15
B .10
C .40
D .20
10. 定义运算：
1214233
4
a a a a a a a a =-，将函数sin 3()cos 1
x
f x x -=
向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是
A .
6π B .3
π
C .56π
D .23π
11. 下列四个命题中，正确的是
A .已知函数0()sin a
f a xdx =⎰，则[()]1cos12
f f π
=-；
B .设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；
C .已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=
D .对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>
12. 若1
()1(1)
f x f x +=
+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零
点，则实数m 的取值范围是
A .[0，1)2
B .1[2，)+∞
C .[0，1)3
D .(0，1
]2
第Ⅱ卷 (选择题 共60分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速 频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽 车数量为 y
0.005
0.010
0.018
0.028 0.039
14. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值 为16，图中判断框内?处应填的数为 15. 若不等式1
|21|||a
x
x
对一切非零实数x 恒 成立，则实数a 的取值范围 16. 点P 是曲线2
ln y x x 上任意一点，则点P 到
直线2y
x 的距离的最小值是
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(sin m x ，1)，
向量(3cos n
x ，
1
)2
，函数.()()f x m n m .
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ； (Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，23a ，4c ，且()f A 恰是()
f x 在[0，
]2
上的最大值，求A ，b 和ABC 的面积S .
18. (本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形
，ABCD 为梯形，平面PDCE
平面ABCD ，90BAD ADC ，1
2
AB AD
CD a ，
2PD a . (Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.
19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所休假次数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15
根据上表信息解答以下问题：
(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数2
()1f x x x 在区间(4，6)上有
且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；
开始
11，a b
?a
2b b
1a a
输出b
结束
A B C E
P D M
(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E .
20.(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足1
11
24n n b b ，且17
2
b ，n T 为{}n b 的前n 项和. (Ⅰ)求证：数列1
{}2
n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ)如果对任意*n N ，不等式
1227122n
k n
n T 恒成立，求实数k 的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知函数32
2()233
f x x ax x .
(Ⅰ)当1
4
a
时，求函数()f x 在[2，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x ，若()g x 在1
(2
，
)上单调递增，求实数a 的取值范围.
22.(本小题满分14分)已知圆1C ：22
(1)8x
y ，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交
1QC 于点P .
(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；
(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON
OC ，
O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；
(Ⅲ)过点(0S ，1
)3
且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.
青岛市高三教学质量统一检测 .03
高中数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 38 14. 3 15.13
[,]22
-
16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）
解: (Ⅰ)2
1
()()sin 13cos 2
f x m n m x x x =+⋅=++
…………2分 1cos 2311222x x -=
++31
2cos 222
x x =-+ sin(2)26
x π
=-+…………5分
因为2ω=，所以22
T π
π==…………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26
f A A π
=-
+
[0,]2x π∈时,52666
x πππ
-≤-≤
由正弦函数图象可知,当26
2
x π
π
-=
时()f x 取得最大值3
所以26
2
A π
π
-
=
,3
A π
=
…………8分
由余弦定理，2
2
2
2cos a b c bc A =+-∴2
1
1216242
b b =+-⨯⨯∴2b =………10分 从而11
sin 24sin 602322
S bc A =
=⨯⨯=12分 18．（本小题满分12分）
(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中 点 ∴//MN AC …………2分
因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分
(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则(0,0,2),(,,0),(0,2,0)P a B a a C a
(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-…………6分
设平面PAD 的单位法向量为1n ， 则可设1(0,1,0)n =…………7分 设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有
22(,,1)(,,2)0
(,,1)(,,0)0
n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨
=-=⎪⎩ 即：200ax ay a ax ay ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：2
222
x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩，所以222
(
,,1)22
n =…………10分 ∴12
122
1
2cos 2
||||12n n n n θ⋅===⨯…………11分
所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为1
2
…………12分 19．（本小题满分12分）
解:(Ⅰ) 函数()2
1f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0
(6)0f f <⎧⎨>⎩
即：
1641036610
ηη--<⎧⎨
-->⎩，解得：1535
46η<< 所以，4η=或5η=…………3分
当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11
201522
5012
49
C C P C ==…………5分 4η
=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式
所以126812128
24549245
P P P =+=
+=
…………6分 N
M
E
D
C
B
A
P
x
y
z
(Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是
0,1,2,3，…………7分
于
是
()2222
51020152
502
07
C C C C P C ξ+++===，
111111
510102015202
5022
(1)49
C C C C C C P C ξ++===，
1111520101525010
(2)49C C C C P C ξ+===，11
5152
503(3)49
C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：
ξ 0 1 2 3
P
2
7 2249 1049 349
ξ的数学期望：0123749494949
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分
20．（本小题满分12分） 解: (Ⅰ) 对任意*
N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111
()222n n b b +-=- 则1
{}2
n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为1
2
…………2分 所以1113()22n n b --
=⨯，111
3()22
n n b -=⨯+…………4分 (Ⅱ) 因为1
1
13()
2
2
n n b -=⨯+
所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212
n n n n n n n T --
=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272
n
n k -≥对任意*
N n ∈恒成立…………7分 设272n n n c -=
，则11
12(1)72792222
n n n n n n n n c c ++++----=-=…………8分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列
45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332
…………11分 所以, 要使272n n k -≥对任意*
N n ∈恒成立，332
k ≥…………12分
21．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)14a =
时, 3221()332
f x x x x =-++，2
()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=,得1x =-或3
2
x =…………2分
x (2,1)-- 1-
3(1,)2- 32 3
(,2)2
()f x '
-
+
-
()f x
11
6
-
278
可以看出在1x =-取得极小值,在2
x =取得极大值…………5分 而48(2),(2)33f f -=
=由此, 在[2,2]-上,()f x 在1x =-处取得最小值116-,在32x = 处取得最小值27
8
…………6分
(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2
ln(1)3(243)x x ax =+---++2
ln(1)24x x ax =++-
2'
144(1)14()4411
x a x a
g x x a x x +-+-=+-=
++…………7分
在1(,)2
-+∞上恒有10x +>
考察2
()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为441
82
a a x --=-=
(i)当
11
22
a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立…………9分
(ii)当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402
a a --⨯+->
解得0a <…………11分
综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分 22. （本小题满分14分）
解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =
222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC
所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分
设椭圆的标准方程为122
22=+b
y a x
则22,222==c a ，12
2
2
=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2
212
x y +=……4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222
112222,22a b a b +=+= ①
因为122OM ON OC +=
则121222,20a a b b +=-+= ② 由①②解得1122114514,,2448
a b a b =
==-=-……………7分 所以直线MN 的斜率k 2121314
14b b a a -=
=
-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为1
3
y kx =-
，联立直线和椭圆的方程得: 2
21312
y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22
9(12)12160k x kx +--=…………9分 由题意知：点)3
1
,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点， 设).,(),,(2211y x B y x A 则121222
416
,3(12)9(12)
k x x x x k k +=
=-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点D ,
则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)
因为112211,33
y kx y kx =-=-
则(*)变为2
1212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………11分
21212121111
()()()3333
x x kx kx m kx kx m =+----+-+
221212121
(1)()()339
k x x k m x x m m =+-+++++
22
2216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)
m k m m k -++-=+
由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，
即22
1096150
m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分
因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。