高考物理大一轮复习 第四章 第四节 万有引力与航天教学讲义(2)

第四节 万有引力与航天
[学生用书P 72]
一、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．
2．公式：F ＝G
m 1m 2r
，其中G ＝6.67×10
－11 N·m 2/kg 2
. 3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r 是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离．
1.(单选)关于万有引力公式F ＝G
m 1m 2
r 2
，以下说法中正确的是( ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 答案：C
2.(单选)嫦娥三号的成功登月再次表明我国已具备火星探测能力，假设我
国欲发射一颗探测火星的卫星，其发射速度v 应为( )
A ．7.9 km/s
B ．7.9 km/s ＜v ＜11.2 km/s
C ．11.2 km/s ＜v ＜16.7 km/s
D ．v ≥16.7 km/s 答案：C
三、经典力学的时空观和相对论时空观 1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同． 3．经典力学的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
3.(单选)对相对论的基本认识，下列说法正确的是( )
A ．相对论认为：真空中的光速在不同惯性参考系中都是相同的
B ．爱因斯坦通过质能方程阐明了质量就是能量
C ．在高速运动的飞船中的宇航员会发现飞船中的钟走得比地球上快
D ．我们发现竖直向上高速运动的球在水平方向上变扁了 答案：A
考点一 天体质量和密度的估算 [学生用书P 72]
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2
r ＝m 4π2
r T
2
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R
＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .
由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2
G
，
天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3g
4πGR
.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .
①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r
3
GT
2；
②若已知天体半径R ，则天体的平均密度
ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3πr 3
GT 2R 3
；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，
则天体密度ρ＝3π
GT
2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体
的密度．
(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )
A ．地球的质量m 地＝gR 2
G
B ．太阳的质量m 太＝4π2L 3
2
GT 22
C ．月球的质量m 月＝4π2L 31
GT 21
D ．可求月球、地球及太阳的密度
[解析] 对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2
G ，选
项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 3
2
GT 22
，B 项正确．对月
球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求
出它的质量和密度，C 、D 项错误．
[答案] AB
[总结提升] (1)利用圆周运动模型，只能估算中心天体质量，而不能估算环绕天体质量．
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ：只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天
体密度时，V ＝43πR 3
中的R 只能是中心天体的半径．
1.(单选)(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球
体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )
A.3πGT 2g 0－g g 0
B.3πGT 2g 0g 0－g
C.3πGT 2
D.3πGT 2g 0g
解析：选B.在地球两极重力等于万有引力，即有mg 0＝G Mm R 2＝4
3
πρmGR ，在赤道上重力
等于万有引力与向心力的差值，即mg ＋m 4π2T 2R ＝G Mm R 2＝4
3
πρmGR ，联立解得：ρ＝
3πg 0
GT 2
g 0－g
，B 项正确．
考点二 卫星运行参量的比较与运算 [学生用书P 73]
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．卫星运动中的机械能
(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能．
(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大． 3．极地卫星、近地卫星和同步卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)同步卫星
①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
②周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. ③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：卫星离地面高度h ＝3.6×104
km. ⑤速率一定：运动速度v ＝3.07 km/s(为恒量)． ⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
(单选)(2014·高考天津卷)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自
转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A ．距地面的高度变大
B ．向心加速度变大
C ．线速度变大
D ．角速度变大
[解析] 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G
Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2，得r ＝
3GMT 2
4π2，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A 项正确；由G Mm r 2＝ma 得，a ＝GM r
2，
半径变大，向心加速度变小，B 项错误；由G Mm r 2＝m v 2
r
得，v ＝
GM
r
，半径变大，线速度变小，C 项错误；由ω＝2π
T
分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D 项错误．
[答案] A
2.(多选)(改编题)“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船自动交会
对接的示意图如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道，在实现交会对接前，“神舟十号”要进行多次变轨，则( )
A ．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率
B ．“神舟十号”变轨前比变轨后的机械能要小
C ．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大
D ．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度相同
解析：选BD.“天宫一号”的运行速率小于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率，选项A 错误. “神舟十号”加速才能做离心运动，而使轨道半径变大，即外力要对飞船做正功，选项B 正确，选项C 错误；“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间轨道半径相同，向心加速度也相同，选项D 正确．
考点三 卫星(航天器)的变轨问题 [学生用书P 73] 1．轨道的渐变
做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动．解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r 是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化．
2．轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．
(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r ＜m v 2
r
，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离
心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM
r
可
知其运行速度比原轨道时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2＞m v 2
r
，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做
近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝
GM
r
可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理．
不论是轨道的渐变还是突变，都将涉及功和能量问题，对卫星做正功，卫星机械能增大，由低轨道进入高轨道；对卫星做负功，卫星机械能减小，由高轨道进入低轨道．
(单选)(2014·高考山东卷)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、
“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝
GMmh
R R ＋h
，其中G 为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完
成需要对“玉兔”做的功为( )
A.
mg 月R
R ＋h (h ＋2R ) B.
mg 月R
R ＋h
(h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫h ＋22R D.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫h ＋12R [解析] 根据题意可知，要使“玉兔”和飞船在距离月球表面高为h 的轨道上对接，若不考虑月球的自转影响，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为克服月球的万有引力做的功与在该轨道做圆周运动的动能之和，所以W ＝E p ＋E k ，E p ＝
GMmh
R R ＋h
，再根据
GMm R ＋h 2＝mv 2
R ＋h
，据此可求得需要的动能为E k ＝GMm R ＋h
，再联系GM ＝g 月R 2
，由以上三式可求得，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为W ＝mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
h ＋12R ，所以该题
正确选项为D.
[答案] D
3.(多选)(2015·湖北八校第二次联考)如图为嫦娥三号登月轨迹示意
图．图中M 点为环地球运行的近地点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是( )
A ．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B ．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速
C ．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a 1，在椭圆轨道b 上经过N 点时的加速度为a 2，则a 1＞a 2
D ．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能
解析：选BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v 满足7.9 km/s≤v ＜11.2 km/s ，则A 错误；嫦娥三号要脱离地球需在M 点点火加速让其进入地月转移轨道，则B 正确；由a ＝GM r
2，知嫦娥三号在经过圆轨道a 上的N 点和在椭圆轨道b 上的N 点时的加速度相等，则C 错误；嫦娥三号要从b 轨道转移到a 轨道需要减速，机械能减小，则D 正确．
考点四 宇宙速度的理解与计算 [学生用书P 74]
1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
2．第一宇宙速度的求法：
(1)GMm R 2＝m v 21
R ，所以v 1＝GM R
.
(2)mg ＝mv 21
R
，所以v 1＝gR .
(单选)(2014·高考江苏卷)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半
径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A ．3.5 km/s
B ．5.0 km/s
C ．17.7 km/s
D ．35.2 km/s
[解析] 根据题设条件可知：M 地＝10M 火，R 地＝2R 火，由万有引力提供向心力GMm R 2＝m v 2R
，
可得v ＝GM R ，即v 火v 地＝M 火R 地M 地R 火＝1
5
，因为地球的第一宇宙速度为v 地＝7.9 km/s ，所以
航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v 火≈3.5 km/s，选项A 正确．
[答案] A
4.(单选)一宇航员在某星球上以速率v 0竖直上抛一物体，经t 秒落回原处，
已知该星球半径为R ，那么该星球的第一宇宙速度是( )
A.v 0t R
B. 2v 0R t
C.
v 0R
t
D.
v 0
Rt
解析：选B.由2v 0＝gt 得g ＝2v 0
t
，由v ＝gR 得第一宇宙速度为
2v 0R
t
，B 正确．
[学生用书P 74]
物理模型——双星系统模型
1．模型特点
(1)两颗星彼此相距较近，且间距保持不变．
(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动． 2．模型分析
(1)双星运动的周期和角速度相等，各以一定的速率绕某一点转动，才不至于因万有引力作用而吸在一起．
(2)双星做匀速圆周运动的向心力大小相等，方向相反．
(3)双星绕共同的中心做圆周运动时总是位于旋转中心的两侧，且三者在一条直线上． (4)双星轨道半径之和等于它们之间的距离．
(单选)(2013·高考山东卷) 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的
作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.n 3
k 2T B.n 3k T C.
n 2
k
T D.
n k
T
[解析] 设两恒星中一个恒星的质量为m ，围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半
径为r ，两星总质量为M ，两星之间的距离为R ，由G m M －m R 2＝mr 4π2
T 2，G m M －m
R
2
＝(M －m )(R －r )4π
2
T 2，联立解得：T ＝2π
R 3
GM
.经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k
倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为T ′＝2πnR 3G kM ＝
n 3
k
T .选项B 正确．
[答案] B
[总结提升] (1)解决双星问题时，应注意区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球做圆周运动的轨道半径．
(2)宇宙空间大量存在这样的双星系统，如地月系统就可视为一个双星系统，只不过旋转中心没有出地壳而已，在不是很精确的计算中，可以认为月球绕着地球的中心旋转．
5.(单选)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为
7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )
A ．轨道半径约为卡戎的1
7
B ．角速度大小约为卡戎的1
7
C ．线速度大小约为卡戎的7倍
D ．向心力大小约为卡戎的7倍
解析：选A.做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即F 万＝m 1ω2
r 1＝m 2ω2
r 2，得m 1m 2＝r 2r 1
，故A 正确．双星运动的角速度相同，故B 错．由v ＝ωr 可知冥王星的线速度为卡戎的1
7
，故C 错．两星的向心力为两者间的万有引力且等值反向，故D
错．
[学生用书P 75]
1．(多选)(2015·云南统测)如图所示，两星球相距为L ，质量比为m A ∶m B ＝1∶9，两星球的半径远小于L .从星球A 沿A 、B 连线向B 以某一初速度发射一探测器，只考虑星球A 、B 对探测器的作用，下列说法正确的是( )
A ．探测器的速度一直减小
B ．探测器在距星球A 为L
4
处加速度为零
C ．若探测器能到达星球B ，其速度可能恰好为零
D ．若探测器能到达星球B ，其速度一定大于发射时的初速度 解析：选BD.设在距离星球A 为x 位置时，探测器所受合力为零，即G
m A m x 2＝G m B m L －x
2
，
解得x ＝L 4，B 正确；在距离星球A 的距离小于L
4时，探测器所受合力指向星球A ，在距离大
于L
4
时，所受合力指向星球B ，因此在整个过程中，合力对探测器先做负功，再做正功，由动能定理可知，探测器速度先减小后增大，A 错误；在与两星球距离相等的两点中，距离星球B 的点受合力较大，因此从星球A 运动到星球B 整个过程合力做正功，由动能定理可知，
到达星球B 时探测器的速度大于离开星球A 时的发射速度，不可能速度为零，C 错误，D 正确．
2．(多选)(2015·沈阳质量监测)已知引力常量为G ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g 和地球的自转周期为T ，不考虑地球自转的影响，利用以上条件可求出的物理量是( )
A ．地球的质量
B ．地球与其同步卫星之间的引力
C ．第一宇宙速度
D ．地球同步卫星的高度
解析：选ACD.不考虑地球自转的影响，在地球表面万有引力等于重力，可求得地球质量，选项A 正确；同步卫星的质量不知道，因此无法求出地球与同步卫星之间的引力，选项B 错误；由已知条件可求得第一宇宙速度，选项C 正确；由同步卫星的周期可计算同步卫星的轨道半径，进一步计算得出同步卫星的高度，选项D 正确．
3．(单选)(2015·合肥质检)“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O 沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻它们分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图所示．已知地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．以下判断中正确的是( )
A ．这两颗卫星的向心加速度大小为a ＝r 2
R
2g B ．这两颗卫星的角速度大小为ω＝R
g r
C ．卫星1由位置A 运动至位置B 所需的时间为t ＝
πr
3R
r g
D ．如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星2
解析：选C.卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即G Mm r
2＝ma ，由万有引
力与重力的关系得G Mm R 2＝mg ，解两式得a ＝R 2r
2g ，A 错误；由a ＝ω2
r ，将上式代入得ω＝
gR 2
r 3，B 错误；卫星1由位置A 运动到位置B 所需时间为卫星周期的16，由T ＝2πω，t ＝
πr
3R
r g
，C 正确；卫星1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2，D 错误．
4．(多选)(2015·陕西西安质检)我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T ，若以R 表示月球的半径，则( )
A ．“嫦娥二号”探测卫星运行时的线速度为2πR
T
B ．“嫦娥二号”探测卫星运行时的向心加速度为4π2
R ＋h
T 2
C ．月球的第一宇宙速度为
2π
R R ＋h 3
TR
D ．物体在月球表面自由下落的加速度为4πR
T
2
解析：选BC.根据匀速圆周运动的基本知识可得v ＝
2πR ＋h T ，a ＝4π2
R ＋h
T 2，A 错误，B 正确；由万有引力提供向心力可得GMm R ＋h 2＝m 4π2
T 2(R ＋h )，又g 月＝GM
R
2，解得g 月
＝4π2R ＋h 3T 2R 2，第一宇宙速度v 1＝g 月R ＝2πR R ＋h 3TR
，所以C 正确，D 错误．
5.(单选)如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R,2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B 点，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G ，地球质量为M ，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )
A ．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能
B ．若卫星在1轨道上的速率为v 1，卫星在2轨道A 点的速率为v A ，则v 1＜v A
C ．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a 1、a 3，卫星在2轨道A 点的加速度大小为a A ，则a A ＜a 1＜a 3
D ．若OA ＝0.4R ，则卫星在2轨道B 点的速率v B ＞5GM
8R
解析：选B.2、3轨道在B 点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B 点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A 错误；以OA 为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A 点，则v 4＜v A ，又因v 1＜v 4，所以v 1＜v A ，B 正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是a A ＞a 1＞a 3，C 错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴
为R ，OB ＝1.6R,3轨道上的线速度v 3＝5GM 8R ，又因v B ＜v 3，所以v B ＜ 5GM
8R
，D 错误．
6．(2015·河南三门峡一模)在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L ，质量分别为M 1和M 2，试计算：
(1)双星的轨道半径； (2)双星的运行周期； (3)双星的线速度．
解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，如图所示，所以具有周期、频率和角速度均相同，而轨道半径、线速度不同的特点．
(1)由于两星受到的向心力相等，
则M 1ω2R 1＝M 2ω2
R 2，L ＝R 1＋R 2. 由此得：R 1＝
M 2
M 1＋M 2L ，R 2＝M 1
M 1＋M 2
L . (2)由万有引力提供向心力得
G
M 1M 2L 2＝M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 1＝M 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2R 2.
所以，周期为T ＝2πL
L
G M 1＋M 2
.
(3)线速度v 1＝2πR 1T ＝M 2G
L M 1＋M 2
，
v 2＝2πR 2T ＝M 1G L M 1＋M 2
.
答案：(1)R 1＝M 2M 1＋M 2L R 2＝M 1
M 1＋M 2
L
(2)T ＝2πL L
G M
1＋M 2
(3)v 1＝M 2G L M
1＋M 2 v 2＝M 1G
L M 1＋M 2
一、单项选择题
1．(2014·高考福建卷)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A.pq 倍
B.
q
p
倍 C.
p
q
倍 D.pq 3
倍
解析：选C.卫星绕中心天体做圆周运动时，万有引力充当向心力，即G Mm r ＝m v 2
r
，得v
＝GM r
，可见环绕速度与中心天体质量与半径比值的平方根成正比．题述行星卫星的环绕
速度是地球卫星环绕速度的p
q
倍，C 项正确．
2．(2014·高考浙江卷)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r 1＝19 600 km ，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r 2＝48 000 km ，则它的公转周期T 2最接近于( )
A ．15天
B ．25天
C ．35天
D ．45天
解析：选B.由开普勒第三定律可得r 31T 21＝r 32T 22，解得T 2＝T 1⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 13＝6.39× ⎝ ⎛⎭⎪⎫48 00019 6003＝
24.5(天)，故选B.本题也可利用万有引力定律对“卡戎星”和小卫星分别列方程，联立方程组求解．
3.(2015·河南南阳一中月考)据报道，某国际研究小组借助于智利的望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
A ．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B ．它们做圆周运动的角速度不断变大
C ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
解析：选C.组成双星系统的两颗星的周期T 相同，设两星的质量分别为M 1和M 2，圆周
运动的半径分别为R 1和R 2，两星间距为L ，由万有引力定律有：GM 1M 2L 2＝M 14π2T 2R 1＝M 24π2T 2R 2，可得GM 1＝4π2R 2L 2T 2，GM 2＝4π2R 1L 2T 2，两式相加可得G (M 1＋M 2)T 2＝4π3L 3(①式)，两式相除可得M 1R 1＝M 2R 2(②式)．由①式可知，因两星间的距离不变，则周期T 不变，它们做圆周运动的角速度不变，选项B 错误；由②式可知双星运行半径与质量成反比，体积较大星体的质量逐渐减小，故其轨道半径增大，线速度也变大，体积较小星体的质量逐渐增大，故其轨道半径减小，线速度变小，选项C 正确，D 错误；两星间的距离不变，两星的质量总和不变而两星质量的乘积发生变化，由万有引力定律可知，万有引力一定变化，选项A 错误．
4．(2015·浙江六市六校联考)“嫦娥三号”月球探测器与“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行不同，“嫦娥三号”实现了落月目标．“嫦娥三号”发射升空后，着陆器携带巡视器，经过奔月、环月最后着陆于月球表面，由巡视器(月球车)进行巡视探测．假设月球
的半径为R ，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的16
，“嫦娥三号”月球探测器的总质量为m ，地球表面的重力加速度为g ，“环月”运动过程可近似为匀速圆周运动，那么在“环月”运动过程中它的动能可能为( )
A.16mgR
B.18
mgR C.19mgR D.114
mgR 解析：选D.由题意知，月球表面的重力加速度g ′＝16
g ，当巡视器的轨道半径近似等于月球的半径时，巡视器的速度最大，动能最大，根据G Mm R 2＝m v 2R ，GM ＝g ′R 2，E km ＝12
mv 2，联立解得巡视器的最大动能为E km ＝112mgR ，即动能小于等于112
mgR ，所以A 、B 、C 错误，D 正确． 5．(2015·黑龙江齐齐哈尔模拟)嫦娥工程划为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月．若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为h 的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T .若以R 表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则( )
A ．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为2πR T
B ．物体在月球表面自由下落的加速度大小为4π2R ＋h 3
R 2T 2 C ．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为2πR T R ＋h R D ．月球的平均密度为3πGT
2。