北京四中七年级上册数学一次函数的图象和性质--知识讲解(提高)

一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、函数图象及一次函数的定义
1.函数图象的概念
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.
3.画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；
当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.
2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：
3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：
k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．
4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：
（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；
要点三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的
解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
【典型例题】
类型一、待定系数法求函数的解析式
1、（1）已知直线(0)y kx b k =+≠，与直线2y x =平行，且与y 轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．
（2）若直线(0)y kx b k =+≠与31y x =+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．
【思路点拨】（1）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则比例系数k 相同，再找一个条件求b 即可，而题中给了图象过（0，2-）点，可用待定系数法求b .（2）题同样比例系数k 相同，注意同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差一个单位长度有两种情况，都要考虑到.
【答案】（1）22y x =-；（2）32y x =+或3y x =.
【解析】（1）因为所求直线与2y x =平行，所以2y x b =+，将（0，－2）代入，解得b ＝
－2，所以22y x =-.
（2）由题意得k ＝3，假设点（1，4）在31y x =+上面，那么点（1，5）或
（1，3）在直线3y x b =+上，解得b ＝2或b ＝0.所求直线为32y x =+或
3y x =.
【总结升华】互相平行的直线k 值相同.
举一反三：
【变式1】一次函数交y 轴于点A （0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解
析式.
【答案】
解：()0,3, 3.A OA =Q ∴
()()1,2
1632
4
4,04,0.
AOB S OA OB OB OB B B =⋅=⨯⋅=-Q △∴∴∴或
设一次函数的解析式为3y kx =+.
当过()4,0B 时，34304
k k +==-
∴； 当过()4,0B -时，34304
k k -+==∴； 所以，一次函数的解析式为334y x =-+或334y x =+. 【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(1,0)A -，(2,3)B -，在y 轴上求作一点
P ，使AP ＋BP 最短，并求出点P 的坐标.
【答案】
解：作点A 关于y 轴的对称点为()1,0A '，连接A B '，与y 轴交于点P ，点P 即为所求.
设直线A B '的解析式为y kx b =+，
Q 直线A B '过()()1,0,2,3A B '-，
01231
k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩∴∴ A B '∴的解析式为：1y x =-+，它与y 轴交于P （0，1）.
类型二、一次函数图象的应用
2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：
(1)求李明上坡时所走的路程1s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的
路程2s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式；
(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，
问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?
【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.
【答案与解析】
解：(1)设11s k t =，由已知图象经过点(6，900)，得900＝61k ．解得1k ＝150．
所以1s ＝150t (0≤t ≤6)．
设22s k t b =+，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，
得226900,102100.
k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2300900k b =⎧⎨=-⎩
所以2s ＝300t －900(6<t ≤10)．
(2)李明返回时所用的时间为
(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．
因此，李明返回时所用的时间为11分钟．
【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．
类型三、一次函数的性质
3、已知自变量为x 的一次函数()y a x b =-的图象经过第二、三、四象限，则（ • ）
A ．a ＞0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．a ＜0，b ＜0
D ．a ＞0，b ＞0
【答案】C ；
【解析】原函数为y ax ab =-，因为图象经过二、三、四象限，则a ＜0，ab -＜0，解得
a ＜0，
b ＜0.
【总结升华】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：
①当k ＞0，b ＞0，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；
②当k ＞0，b ＜0，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；
③当k ＜0，b ＞0时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x
的值增大而减小；
④当k ＜0，b ＜0时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．
举一反三：
【变式1】直线1l ：=+y kx b 与直线2l ：=+y bx k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C ；
提示：对于A ，从1l 看 k ＜0，b ＜0，从2l 看b ＜0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉A.对于B ，从1l 看k ＞0，b ＜0，从2l 看b ＞0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉B. D 答案同样是矛盾的，只有C 答案才符合要求.
【变式2】直线1l 和直线2l 在同一直角坐标系中的位置如图所示．点11(,)P x y 在直线1l 上，
点333(,)P x y 在直线2l 上，点222(,)P x y 为直线1l 、2l 的交点．其中21x x <，
23x x <则（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．321y y y <<
D ．213y y y <<
【答案】A ；
提示：由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象．观察直线1l 知，y 随x 的增大而减小，因为21x x <，则有21y y >；观察直线2l 知，y 随x 的增大而增大，因为23x x <，则有23y y <．故123y y y <<．
类型四、一次函数综合
4、已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3OA OB =，求点A 的坐标．
【答案与解析】 解：由题意得，(),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则,.b b OA OB b k k =-== 113333b OA OB b k k k ====±Q ∴
∴∴. Q 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，
1k b +=∴.
∴当13k =时，23
b =，()2,0A -； 当13k =-时，43
b =，()4,0A . 综上所述，点A 的坐标为()2,0-或()4,0.
【总结升华】我们可以把点A 、B 的坐标用k 、b 表示出来，根据OA ＝3OB 可以建立一个关于k 、b 的方程，再根据它的图象过P ，可以再找到一个关于k 、b 的方程，两个方程联立，即可求出k 、b 的值，就可以求出点A 的坐标.。