江苏省常州市溧阳市第三高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

江苏省常州市溧阳市第三高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是
A．e＜B．1＜e＜C．1＜e＜D．e＞
参考答案：
D
2. 数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有( )
A．a3+a9≤b4+b10 B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10 D．a3+a9与b4+b10大小不确定
参考答案：
B
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．
解答：解：∵{b n}是等差数列，
∴b4+b10=2b7，
∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，
∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，
∴a3+a9≥b4+b10．故选：B．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．
3. 若实数，满足不等式组，则的最大值是（▲）
A.10
B.11
C.14
D.15
参考答案：
B
略
4. 下列命题中正确的是( )
A.命题“，”的否定是“”
B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件
C.若“，则”的否命题为真
D.若实数，则满足的概率为.
参考答案：
C
A中命题的否定式，所以错误.为真，则同时为真，若为真，则至少有一个为真，所以是充分不必要条件，所以B错误.C的否命题为“若，则”，若，则有所以成立，选C.
5. 下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”；
B．“m=1”是“直线和直线互相垂直”的充要条件；
C．命题“，使得”的否定是：“，均有x2+x+1＜0”；
D．命题“已知为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题是真命题.
参考答案：
D
试题分析：命题“若,则” 的否命题为：“若,则”；“直线和直线互相垂直” 的充要条件是；命题“,使得” 的否定是﹕“,均有”；命题“已知、B为一个三角形的两内角, 若,则” 的否命题为“已知、B 为一个三角形的两内角, 若,则”为真命题；
选D.
6. 定义集合，，若则称集合A、B为等和集合。

已知以正整数为元素的集合M，N是等和集合，其中集合，则集合N的个数有（）
A．3 B．4 C．5
D．6
参考答案：
B
7. 若均为单位向量，且，则的最小值为（）
A．B．1 C．D．
参考答案：
A
,因为，且，所以，所以，所以
，所以当时，最小为
，所以，即的最小值为。

选A. 8. 设向量的模分别为6和5，夹角为等于
A．B．C．D．
参考答案：
C
9. 设是虚数单位，是复数的共轭复数.若复数满足，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
10. “”是“”的（）
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件
C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：
B
因为“”是“”的逆否命题是“”是“”的必要不充分条件，选B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数是偶函数，则____________．
参考答案：
-2
略
12. 若正数满足，则的最小值为____________ .
参考答案：
3
略
13. 某程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出的结果是．
参考答案：
127 略
14. 14．（5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线与x 轴交点为B ，抛物线上一点A （x 0，2）满足
，则
p= ．
参考答案：
2
∵抛物线y 2
=2px （p ＞
0），
∴它的焦点F
（，0），准线与x 轴交点B （﹣，0）， ∵抛物线上一点A （
x 0，2），
∴2px 0=4，解得x 0=，∴A（，2）， ∵， ∴
=
，
整理，得p 4﹣8p 2+16=0，解得p 2=4． ∵p＞0，∴p=2． 故答案为：2．
15.
，则f(2010)= .
参考答案：
2010
16. 已知向量
，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围
是 .
参考答案：
17. 在
展开式中含
的项的系数
参考答案：
略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）在
中，角A,B,,C 的对边分别为
，且
（1）求 （2）若
的面积为
，求
参考答案：
（1）由已知得（2）
又的面积为，又
19. 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝
.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝求数列{b n}的前n项和S n.
参考答案：
【解】(1)由题设可得f′(x)＝a n－a n＋1＋a n＋2－a n＋1sin x－a n＋2cos x.
略
20. （本题满分12分）已知函数的最小正周期．(Ⅰ) 求实数的值；
(Ⅱ) 若是的最小内角，求函数的值域．
参考答案：
(Ⅰ) 因为，
所以, .
(Ⅱ) 因为是的最小内角，所以,又,所以.
21. 已知向量=（2cos2x，1），=（2cos（2x﹣），﹣1）．令f（x）=?．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间．（2）若f（θ）=，且θ∈（，），求cosθ的值．
（2）当x∈[，]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由f（θ）=，求得sin（θ+）=，结合θ∈（，），求得cos（θ+）的
值．再根据cosθ=cos[（θ+）﹣]计算求得结果．
（3）由x∈[，]时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）取得最小值以及此时x的值．
【解答】（1）f（x）=?=2cos2x?2cos（2x﹣）﹣1=4cos2x（cos2xcos+sin2xsin）﹣1
=2cos22x+2sin2xcos2x﹣1=cos4x+sin4x=2sin（4x+），
故函数f（x）的周期为=．
令2kπ﹣≤4x+≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，可得f（x）的增区间为[得﹣
，+]，k∈Z．
（2）若f（θ）=2sin（θ+）=，可得sin（θ+）=＜，
结合θ∈（，），可得θ+∈（，π），故cos（θ+）=﹣=﹣．
∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin（θ+）sin=﹣
×+×=．
（3）当x∈[，]时，4x+∈[，]，﹣1≤sin（4x+）≤，
故当4x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣2，此时，x=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．
22. 选修4-5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）对任意，不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）不等式为
当时，不等式为，即，此不等式恒成立，故
，…
………… 2分
当时，不等式为，得，故，
∴原不等式的解集为：
…………… 4分
（Ⅱ）不等式为
由于
…………… 7分
作出函数的图象如右，
当时，，
所以对任意，不等式成立，则. …… 10分略。