《同步学案》北师七年级(上册)2.6有理数的加减混合运算

2.6 有理数的加减混合运算
1.能进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算．
2.能根据具体问题，适当运用运算律简化运算．
3.重难点：灵活进行有理数的加减混合运算．
知识导入
现有红白两种带数字的卡片，按下列规则做游戏：
（1）每人每次抽取4张卡片．如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字．
（2）比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者．
小丽抽到的4张卡片的颜色和数字依次为：白色－3，白色7，红色0，白色5．
小彬抽到的4张卡片的颜色和数字依次为：白色－3
2
，红色
1
2
，白色4，红色－5．
获胜的是谁？
知识讲解
知识点一：运用加减法法则进行包括小数或分数的加减混合运算例1 计算：
（1）（－3
5
）+
1
5
－
4
5
；（2）（－5）－（－
1
2
）+7－
7
3
．
分析加减法属于同级运算，可以依从左到右的顺序逐步进行运算．
解析（1）（－3
5
）+
1
5
－
4
5
=（－2
5
）－
4
5
=（－2
5
）+（－
4
5
）
=－6
5
；
（2）（－5）－（－1
2
）+7－
7
3
=(－5)+1
2
+7－
7
3
=（－9
2
）+7－
7
3
=15
6
－
14
6
=1
6
．
点拨第（2）题中的两个减法，处理方法不同．“－（－1
2
）”（读作“减去负
1
2
”化
成了“+1
2
”（读作“加上
1
2
”）来处理，这是运用了把减法转化成加法的法则；而“－
7
3
”
（读作“减去7
3
”）则没有转化成加法，只是与前面的运算结果通分，运用分数的减法相减．这
是因为前面的运算结果是一个正值，且正好“够减”7
3
（意思是两个正数的“大减小”），
此时显然没有必要再化成“+（－7
3
）”（读作“加上负
7
3
”）计算．这是遵从了数学的化简
的思想，避免把简单问题复杂化．
知识点二：加减法统一成加法进行计算例2 计算：
（1）（－1
3
）－15+（－
2
3
）；
（2）（－14.33）+12.25－（－7.75）．
分析这两题都是既有加法又有减法的混合运算，若先把运用有理数的减法法则将减法化成加法，则所有的运算都是加法运算了，这样可以方便我们运用运算律进行简便运算．
解析（1）（－1
3
）－15+（－
2
3
）
=（－1
3
）+（－15）+（－
2
3
）
=（－1
3
）+（－
2
3
）+（－15）
=（－1）+（－15）
=－16；
（2）（－14）+12.25－（－7.75）
=（－14）+12.25+7.75
=（－14）+（12.25+7.75）
=（－14）+20
=6
点拨使用交换律和结合律要预见到后面的运算，容易通分的、或者同分母的分数相结合，互为相反数的两个数相结合，能凑整的两个数相结合等等．
知识点三：把加法运算写成省略括号与前面的加号的形式
例3 计算：
（1）5+（－17）－（－18）－21；
（2）（－12）－（－6
5
）+（－8）－
7
10
．
分析先将加减法统一成加法，就可以写成省略括号与前面的加号的和的形式了．解析（1）5+（－17）－（－18）－21
=5+（－17）+18+（－21）
=5－17+18－21
=5+18－17－21
=23－38
=－15；
（2）（－12）－（－6
5
）+（－8）－
7
10
=－12+6
5
－8－
7
10
=－12－8+6
5
－
7
10
=－20+1 2
=－39
2
．
点拨第（1）题中第二步的“5－17+18－21”可以读作“5，负17，正18，负21的和”，也可以读作“5减去17，加上18，减去21”．原式中的“－21”（读作“减去21”），在第一步中变成了“+（－21）”（读作“加上负21”），在第二步中又化成了“－21”，显得繁琐，所以一般可以将第一步省略，直接把原式写成省略掉括号与加号的形式．
知识探究
1．运用有理数加减混合运算解决与统计图表有关的实际问题
生活中，人们统计了一段时间内水位的变化、股票的涨跌、气温的升降等，可以用表格
的形式来反映这段时间的情况．根据表格中的数据的含义我们可以进行有关的计算以获得需要的信息．
例4右图是流花河的水文资料（单位：m），取河流的警
戒水位作为0点，那么图中的其他数据可以分别记作什么？
下表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的
水位达到警戒水位）
星期一二三四五六日
水位变化/m +0.20 +0.81 －0.35 +0.03 +0.28 －0.36 －0.01 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．
（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？
（2）与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？
（3）完成下面的本周水位记录表：
星期一二三四五六日
水位记录/m 33.6
（4）以警戒水位为0点，用折线统计图表示本周的水位情况．
解析取河流的警戒水位作为0点，那么图中的其他数据可以分别记作：
最高水位：+1.9m，
平均水位：－10.8m，
最低水位：－21.9m．
（1）本周七天的水位（单位/m）分别是
周一：33.6；
周二：33.6+0.81=34.41；
周三：34.41－0.35=34.06；
周四：34.06+0.03=34.09；
周五：34.09+0.28=34.37； 周六：34.37－0.36=34.01； 周日：34.01－0.01=34.00．
所以周二的水位最高，周一的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别为1.01m ，0.2m ．
（2）本周末河流水位上升了． （3）本周水位记录表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录/m
33.6
34.41
34.06
34.09
34.37
34.01
34.00
（4）本周水位折线统计图如下：
点拨 注意：水位变化情况表中的数据是相对于前一天的水位的变化量，不能当作是相对于警戒水位的数据．
2.与绝对值有关的混合运算
绝对值符号有括号的作用，在加减混合运算中如果含有绝对值符号，要先把绝对值符号内的加减运算算出结果，再取绝对值，然后参与其他运算．
例5 计算4－35--的结果是（ ）
A ．6
B ．-4
C ．12
D ．2
解析 4－35--=4－8-=4－8=－4；故选B ．
点拨 绝对值符号有括号的作用，但与括号又有很大的不同．
这里的4－8-化成了4－8，如果是4－（4－8），那么会化成4+8．
易错辨析
题1 用运算律对－13－1+23－4进行简便运算时，可以把____与2
3
结合． 错解 填
1
3
．
辨析错误的原因是没有注意到1
3
前面的符号，运用加法交换律和结合律改变数的位置
时，一定要注意每个数都要带上前面的符号．
正解填－1
3
．
题2 带分数－21
3
=－2____
1
3
(填“+”或“－”)
错解填“+”．
辨析小学阶段带分数总是可以拆开成一个整数与一个真分数的和的形式．在有理数范围内，负的带分数拆开时，整数部分与分数部分都是负数，不要丢了负号．
正解根据同号两数相加的法则，得－2－1
3
=－2
1
3
，
倒过来就是－21
3
=－2－
1
3
．
故本题填“－”．
1.算式-3-（-5）+（-2）写成省略括号和前面的加号的形式，正确的是（）
A．-3+5-2 B．-3+5+2 C．-3-5-2 D．3+5-2
2.算式－2－3不能读作（）
A．－2与3的差 B．－2与－3的和
C．－2与－3的差 D．－2减去3
3.对-2+3-4+5交换加数的位置的变形中，正确的是（）
A．-2+4-3+5 B．-2-4+3+5 C．-2-4-3+5 D．-2+3+5+4
4.计算-5，+8，－6的和是____.
5．要计算气温6℃比－5℃高多少℃，
（1）列出减法算式为__________；
（2）列出加法算式为__________；
6．计算16－3658
=____.
7．计算：
（1）9+（－11）－（－13）；
（2）（－1
2
）+
1
3
－（－
1
6
）；
（3）（－1
4
）－（－19）+（－
3
4
）；
（4）－2
5
+（－
1
3
）－（－
1
5
）－（－
1
3
）；
（5）6.25－7.33+3.75－2.67－9；
（6）－7+8－1
2
－
1
4
+3－1
1
4
．
8.小明的爸爸买了一种股票，每股8元，下表记录了在一周内该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五 股票涨跌/元
0.2
0.35
－0.45
－0.4
0.5
（注：用正数记股票价格比前一日上涨量，用负数记股票价格比前一日下跌量） 该股票这星期中最高价格是多少元？
例 计算－1+2－3+4－5+6－7+……－2011+2012=____.
分析 观察原式的结构，可以发现，从－1开始，两个两个地分组，相邻的两个数的和总是1，而且这些1的个数必然是2012的一半，这样可以
解析 因为－1+2=1，－3+4=1，－5+6=1，…… 所以－1+2－3+4－5+6－7+……－2011+2012
=（－1+2）+（－3+4）+（－5+6）+……+（－2011+2012）
=100611+1+1+
+1相加
个
=1006．
点拨 本题抓住了原式结构上的规律成功运用了加法的结合律进行计算．
练习1．计算2012+2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+……+4+3-2-1=（ ）
A ．2011
B ．2012
C ．0
D ．1
参考答案课堂检测
1．A
2．C
3．B
4．－3
5．（1）6－（－5）；
（2）6+5；
6．－6
7．（1）11；
（2）0；
（3）18；
（4）－1
5
；
（5）－9；（6）2．8．8.55元．综合提升1．B。