2019上海数学初三二模杨浦

杨浦区2018学年度第二学期初三质量调研
数 学 试 卷
(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．如图，已知数轴上的点A 、B 表示的实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是 （A ）a b a b +=-；
（B ）a b a b +=--；
（C ）a b b a +=-； （D ）a b a b +=+． 2．下列关于x 的方程一定有实数解的是 （A ）210x mx --=；
（B ）3ax =； （C
0；
（D ）
111
x
x x =
--． 3．如果00k b <>，，那么一次函数y kx b =+的图像经过 （A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限； （C ）第一、三、四象限； （D ）第一、二、四象限．
4．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析. 在此问题中，样本是指 （A ）80； （B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名初三学生的体重；（D ）该校初三学生的体重． 5．如图，已知△ADE 是△ABC 绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为a ，
直线BC 与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是
（A ）∠BAC =a ； （B ）∠DAE =a ；
（C ）∠CFD =a ； （D ）∠FDC =a . 6．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是 （A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等； （C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线；
（D ）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线. 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：325()y y ÷= ▲ .
（第5题图）
0 A
B
（第1题图）
8．分解因式：2221a ab b -+-= ▲ . 9．
方程1x -=的解为： ▲ .
10．如果正比例函数(2)y k x =-的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数
k
y x =
的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ▲ . 11．
从10
5,,1,0,2,3
π---这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为
▲ .
12．某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 ▲ %.
13．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知
甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为： ▲ .
14．如图，△ABC 中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC 于点E ，如果
设AB a uu u r r =，AC b uuu r r =，用a r ，b r 表示GE uu u r ，那么GE uu u r
= ▲ . 15．正八边形的中心角是 ▲ 度.
16．如图，点M 、N 分别在∠AOB 的边OA 、OB 上，将∠AOB 沿直线MN 翻折，设点O 落在点P
处，如果当4OM =，3ON =时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为 ▲ . 17．如果当0a ≠，0b ≠，且a b ≠时，将直线y ax b =+和直线y bx a =+称为一对“对偶
直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”： ▲ .
18．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，
AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是
▲ .
三、 解答题（本大题共7题，满分78分）
（第18题图）
A
O
N
B
M
（第16题图）
B
（第14题图）
D
19．（本题满分10分）
301()4cos302---︒+.
20．（本题满分10分）
已知关于x ，y 的二元一次方程组22
13
ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩，
的解为11.x y =⎧⎨=-⎩，
求a 、b 的值.
21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 已知在梯形ABCD 中，AD （1）求AB 的长；
（2）当BQ 的长为40
9
时，请通过计算说明
圆P 与直线DC 的位置关系.
22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题2分，第（3）小题3分）
甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与
A B C D Q .
P （第21题图）
甲出发的时间x （分）之间的关系如图中折线OA -AB -BC -CD 所示. （1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度； （3）求乙比甲早几分钟到达终点
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、
G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC .
求证：（1）四边形FBGH 是菱形；
（2）四边形ABCH 是正方形．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD
交于
（第23题图）
D
（第22题图） O
（分）
点N.
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值.
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点.
（1）如图1，联结AC 、OD ，设∠OAC =α，请用α表示∠AOD ；
（2）如图2，当点B 为»
AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离； （3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长.
杨浦区初三质量调研数学试卷答案及评分建议
四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
（第25题图）
O A （图1） B C
D A
O
B
C
D
. （图2） A O
（备用图）
1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．C 五、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． y ； 8． (1)(1)a b a b -+--； 9． 1x =；
10． 02k <<； 11． 2
7
； 12．24； 13． 13518020
x x =
+； 14． 1133a b r r -+； 15． 45； 16．
17． 3y x =+和31y x =+等； 18．
r <
六、 解答题（本大题共7题，满分78分）
19．
解：原式81=+--3 ........................... （7分） 10= .................................................. （3分） 20．解：由题意得2
2
130.
a b a b ab -=⎧⎨
+--=⎩， ............................. （2分）
由1a b -=得1a b =+，将1a b =+代入22+30a b ab --=，
整理得：220b b +-=. ...................................... （4分） 解得：122,1b b =-=. ........................................ （2分） 当12b =-时11a =-；当21b =时，22a =
所以，1112a b =-⎧⎨=-⎩，；22
21.a b =⎧⎨
=⎩， ..................................... （2分） 21．解：（1）作AH ⊥BC 于点H ，
∵DC ⊥BC ，∴AH ∵AD ......................................... （1分）
∴HC =AD =1，AH =DC =3. ∵AB =BC ，∴BH =AB -1.
在Rt △ABH 中，222AB AH BH =+，即229(1)AB AB =+-， .... （1分） ∴AB =5. .................................................... （2分） （2）过点P 作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥DC 于点N ，PN 交AH 于点G ，
∵点P 为圆心，∴BM =QM ，即120
29
BM BQ =
=
. ................. （1分） ∵4cos 5BH B AB ==，又cos BM B BP =
，∴25
9
BP =，即圆P 的半径为259. （1分） ∵PN ⊥DC ， BC ⊥DC ，PM ⊥BC ，∴PMCN 为矩形. ................. （1分）
∴2025
599
PN MC ==-=
................................... （1分） ∴点P 到直线DC 的距离等于圆P 的半径. ....................... （1分） ∴圆P 与直线DC 相切. ...................................... （1分） 22．解：（1）设线段AB 的表达式为y kx b =+， .................... （1分）
∵点A （4,240），点B （16,0），∴2404,
016.k b k b =+⎧⎨=+⎩ ............ （1分）
解得：20,
320.k b =-⎧⎨=⎩
∴线段AB 的表达式为20320y x =-+(416)x
＃.
.......... （2分,1分） （2）B （16,0）表示在甲出发16分钟时，乙赶上了甲，
∵甲的步行速度为
240
=604
米/分，∴乙赶上甲时乙行走的路程为1660=960´米. ∴乙12分中内走了960米. ................................... （1分）
∴乙的速度为960
=8012
米/分.
................................. （1分） （3）∵甲的步行速度为60米/分，∴甲步行全程需要2400
=4060分钟.
乙的步行速度为80米/分，∴乙步行全程需要2400
=3080
分钟. .. （1分）
又∵甲先出法4分钟，∴乙比甲早6分钟到终点. ............... （2分） 23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点，
∵点D 是AB 的中点，∴DF ∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG . ∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. ............................ （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ............................ （1分）
证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，
∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． .......... （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................... （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .......................... （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. .............. （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ....................... （1分）
24．解：（1）∵开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ， ∴0a <，A （0,2），B （1,2-a ），对称轴为直线x =1. ................. （3分）
又∵对称轴交x 轴于点C ，∴C （1,0）. ∵点A 与点D 关于对称轴对称，∴D （2,2）. ........................ （1分） （2）作DH ⊥OM 于点H ， ∵D （2,2），C （1,0）， B （1,2-a ），
∴DH =2，BC =2-a ，CH =1，且BC ⊥OM .∴BC ........................... （1分）
∴
DH MH BC MC =.即221MH a MH =
-+.∴2
MH a
=-. ..................... （1分） ∴22OM a =-. ∴2
(2,0)M a
-. .................................. （2分）
（3）设直线OD 与对称轴交点为G ，
∵点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA ， 又∵D （2,2），∴∠AON =∠DOM=45°，∴△AON ∽△DOM . .............. （1分） ∴
AO ON
DO OM
=
.
∴1)ON a ==-. ........................ （1分） ∵BG BG NG AO ON
=
1
)2112)a a a
---=-.
∴1a =.............. （1分） ∵0a <，且直线AB 与直线OD 的交点N 在第一象限 ，
∴0,23a a <⎧⎨-<⎩
.∴10a -<<.
∴1a =........................... （1分）
25．解：（1）联结CO ，
∵D 为BC 的中点，DO 过圆心，∴OD ⊥BC . .......................... （1分） ∵BC =2，D 为BC 的中点，∴DC =1. ∵CO =2, OD ⊥BC ，∴∠COD =30°. ................................. （1分） ∵AO =CO ，∴∠OAC =∠ACO
∵∠OAC =α，∴∠AOC =1802α︒-. ................................. （1分） ∴∠AOD =1802301502αα︒--︒=︒-. .............................. （1分） （2）联结AB 、OC 、OD ，
由（1）得∠COD =30°.
∴OD =（1分）
∵»»=AB BC ，∴AB =BC . .......................................... （1分）
∵BC =AO ，AO =OC ，∴ABCO 是菱形. ................................ （1分）
∴BC ∴∠BDO +∠AOD =180°.
∵OD ⊥BC ,即∠BDO =90°，∴∠AOD =90°，即OD ⊥AO . ............... （1分）
∴AD ==................................ （1分）
（3）∵圆O 的半径为AD ，圆D 的半径1
12
BC ==
，圆心距OD =， 又∵圆O 与圆D 相切，
∴1OD AD =+或1OD AD =-
1AD =+
1AD =-，
∴1AD
或AD =..................................... （2分） 作OH ⊥AD 于点H ，则AE =2AH . .................................... （1分）
当1AD 时，∵2222()AO AH OD AD AH -=--，
即22431)AH AH -=--，
∴AH =
.
∴AE. ................................................ （1分）
AD时，同上解得AH=.
当1
∴AE=................................................ （1分）
即弦AE.。