第4讲期权定价及应用

st ct？
sT=su=us＝180
q
cT=cu=max(0, Su-112)=68
1-q
sT=sd=ds=60
cT=cd=max(0, Sd-112)=0
25
N (cu cd ) /(su sd ) (68 0) /(180 60) 0.57(股)
B (Nsd cd ) / er (0.57 60 0) /1.08 31.48(元)
若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同 时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS －c必然等于B。
若sT＝su
vu [(cu cd ) /(su sd )]su cu Ber
若sT＝Sd
vd [(cu cd ) /(su sd )]sd cd Ber
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投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是 由二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个 无风险的证券。 组合贴现率的贴现率只能是无风险利率
为期权定价模型为B-S模型提供一种比 较简单和直观的方法
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例：远期汇率与即期汇率
抛补利率平价
抛补利率平价公式
(1+美元利率)= (1+英镑利率) x (美元/ 英镑远期汇率)/(美元/英镑即期汇率)
所以存在平价关系： 即期汇率= 远期汇率x (1+外币利率)/(1+
本币利率)
例：人民币抛补利率平价
欧式看跌期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执 看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利 务）。
美式看跌期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日 格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资 （但不是义务）。
到期日看跌期权的价值
ST ＝到期日T时，相关资产或股票的价值或价格。 PT＝在到期日、执行价格为X的看跌期权的价值是ST的
(dcu ucd ) /[(u d )er ]
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由此得到的组合NS B 称为合成期权（synthetic
option），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值
为
ct NS B
cu cd (u d )S
S
dcu (u
d
ucd )er
cu
cd
dcuer ud
ucd er
如果ST <X，则成为“实值期权”。 如果ST >X，则成为“虚值期权”。 如果ST =X，则成为“两平期权”。
Black-Scholes公式 欧式看涨期权的公式计算是：
这儿： S＝相关资产或股票的现价 T-t＝剩余到期时间 r＝连续无风险收益率 e≈2.71828 ＝相关资产或股票连续复利报酬率的标准差（即波动） N(y) ＝均值为0、方差为1的标准正态分布 随机变量小于y的概率
p er d ud
er s sd su sd
1.08100 180－60
60
0.4
ct [ pcu (1 p)cd ]er 25.18(美元)
26
Dicussion: Risk-neutral
probability
1. p is Risk-neutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return
到期日看涨期权的价值 ST ＝到期日T相关资产或股票的价值或价格。 CT ＝在到期日执行价格为X的看涨期权的价值是S
如果ST>X，则成为“实值期权”。 如果ST<X，则成为“虚值期权”。 如果ST=X，则成为“两平期权”。
看跌期权 指定：—— 相关资产
—— 执行价格(X)
—— 到期日(T)
注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上 述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也 正是阶段平分的优点。
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cuu max(0, suu X ) max(0, u2S X ) cud cdu max(0, sud X ) here, st S
D股股票－1份期权=无风险证券→1份期权= D股股 票-无风险证券
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单期二叉树期权定价模型
考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中 间只有1期，τ=T-t
假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随
机 股
变量 票价
。当前股票价格 格为sT，且满足
为
s
t=
S是
已知
的，
到期
sT su uS S,u 1, P(sT su ) q sT sd dS S, d 1, P(sT sd ) 1 q
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在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的 成本为
Nst B NS B
▪ 在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全 相同则必须满足
vu Nsu Ber cu 且 vd Nsd Ber cd
▪ 由上两式得到
N (cu cd ) /(su sd ) (cu cd ) /[(u d )S ] B (sd cu sucd ) /[(su sd )er ] (Nsd cd ) / er
Sto$22 Stock Price = $18
18
A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
Stock price = $20 Option Price=?
Stock Price = $22 Option Price = $1
期权定价基本原理
问题：
一只股票目前价格100元，未来可能上涨 到120元，也可能下跌至80元；
如果现在你为了规避股票下跌的风险，买 入一份看涨期权（执行价格为110元）
那么，你应该支付多少钱得到这份看涨期 权（对方需要多少钱才会愿意承担此风 险）？
期权的支付
100
120 （120-110=10）
由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随 机 变 量 ， 不 可 能 只 有 2 种 情 形 ， 因 此 可 以 考 虑 将 时 间 Tt分为多段处理，首先介绍两阶段模型。
▪两阶段模型（Two-step binomial tree)
➢若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个 阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2 种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第 2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个， 并且令h为每个阶段的时间长度
is
ys
psu
(1 S
p)sd
er d ud
u (1 er d ) er ud
Option’s expected relative return is
yc [ pcu (1 p)cd ] / c0 er ys
▪So，p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate.
投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r， u，d这三个客观因子。
ct
er d ud
e r
(1
er d ud
)cd er
[ pcu (1 p)cd ]er
28
Dicussion: Risk-neutral probability
风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者 是风险中性的。
h T t
22
31
两阶段模型示意图
u su,cu
st
ct
d
sd,cd
其中，u＝1/d
u suu,cuu
d u d
sud,cud sdd,cdd
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两阶段模型
第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d， 则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。
期权到期日价值的所有可能值为
cuu max(0, suu X ) max(0, u2S X ), st S cud cdu max(0, sud X ) max(0, udS X ) cdd max(0, sdd X ) max(0, d 2S X )
由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其 偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关 紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简 化资产的定价。
基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组 合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险 中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合 定价就不必考虑风险问题。
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两阶段二叉树定价模型
第4讲期权定价及应用
2021年8月5日星期四
5.1 期权定价原理
期权
期权赋予期权持有人在到期日、以执行 价格（从期权出售方）买入或卖出相关 资产的权利（但不是义务）。
看涨期权
合约中指定：
——相关资产、执行价格(X)、到期日(T) ●欧式看涨期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执
行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相 关资产的权利（但不是义务）。 ●美式看涨期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、 以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”） 相关资产的权利（但不是义务）。
cu (1 der ) cd (uer 1) er d cuer (u er ) cd er
ud
ud
ud
er
d
cu e r
er (1
d )cd er
[ pcu
(1
p)cd ]er
ud
ud
here，p er d ud
例子
假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为 112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为 8％（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格 有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？
例：2010年4月 利率:
中国是2.25% 美国：最高1.5%
汇率
即期汇率是6.823 远期汇率是6.647
投资策略：
ⅰ在纽约的银行存1美元，一年以后得到 1.015美元 ⅱ将1美元换成RMB 6.823, 存入中国的银行 可以获得:
6.823 x1.0225 = RMB 6.9765 用远期汇率换成美元，可获得：
其中，u为上涨因子，d为下跌因子
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q
sT=su=uS
st
1-q
sT=sd=dS
问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？
设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B （相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入 N股股票（股票多头）。
目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买 权完全相同。
Stock Price = $18 Option Price = $0
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构建无风险组合
Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option 22 D – 1
18D
Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 0.25
▪For the above reason, We call p “risk neutral probability”.
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Dicussion: Risk-neutral probability
2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。
虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定 价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的 分歧并不影响对期权的定价结果。
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由1阶段模型可知，在风险中性条件下
cu [ pcuu (1 p)cud ]erh , cd [ pcud (1 p)cdd ]erh
ct [ pcu (1 p)cd ]erh [ p2cuu 2 p(1 p)cud (1 p)2 cdd ]e2rh
here, p erh d ud
6.9765/6.647 = $1.0495 策略ⅱ可获得有无风险的利润
期权定价的基础就是无套利原理
构建一种资产组合，其未来的现金流支付 等于期权的支付，那么期权的价格就应该 等于该资产组合的价格
二叉树定价模型：
A stock price is currently $20
In three months it will be either $22 or $18
80 （0）
无套利原理
如果不同的资产在未来带来相同的现金 流，那么资产（当前）的价格应该相等， 否则就会存在套利的机会；
横向套利：不同市场 纵向套利：不同期限
二叉树期权定价
二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由 Cox,Ross,Rubinstein等人提出