3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

3.3 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
教学过程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动）
22
21
11
22
W mv mv
=-
即合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

三、刚体绕定轴转动的力矩对角位移的积累效果叫做力矩的功，满
足动能定理：
22
21
11
22
W J J
ωω
=-
即合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

※讲授新课
质点绕定点转动，或者刚体绕定轴转动的力矩对时间的积累效
果是用什么物理量来描述的呢？它都满足什么物理关系呢？
一、质点绕定点转动
1.角动量
质点相对于O点的失径r与质点的
动量mv的失积为该时刻质点相对
于O点的角动量L：
=sin
L r mv r mvϕ
⨯=⋅⋅
若质点做圆周运动时，mv与r垂
直，则：
2
=
L r mv mrω
⋅=
在直角坐标系中，各坐标轴的分量表达式为：
x z y
y z x
z x y
L yP zP
L xP zP
L yP xP
⎧=-
⎪
=-
⎨
⎪=-
⎩
2.角动量定理
角动量的表达式对时间t求导
∵=
L r mv
⨯
∴
d d d()d
()
d d d d
L mv r
r mv r mv
t t t t
=⨯=⨯+⨯
其中
d()
d
mv
F
t
=
d
d
r
v
t
=
∴
d
d
L
r F v mv
t
=⨯+⨯
启发法
讲授法
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。

这是角动量冲量矩。

这说明，作用于质点的冲量矩，等于质点的角动量的增量。

化率。

这就是刚体绕定轴转动的角动量定理的微分方式。

教学过程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动）
00
d
t
t
M t L L J J
ωω
=-=-
⎰
这是积分表达式，意义是定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等
于刚体在这段时间内对该轴的角动量的增量。

3.角动量守恒定律
若刚体所受合外力矩为零，则
J J c
ωω
==
此时，刚体绕定轴转动的角动量守恒。

即若外力对某轴的力矩之和
为零，则该刚体对同一轴的角动量守恒。

说明一：前面的所有推导都是基于刚体这一物理模型，但如果
所研究的物体转动惯量能够发生改变时，只要物体各个部分转动的
角速度在各个时刻都相同且受到合外力矩为零，则其也满足角动量
守恒定律，其表达式为：
00
J J c
ωω
==
解答课前的有关花样滑冰和高台跳水的问题。

∵
00
J J c
ωω
==
且2
()
i i
i
J m r
=∑∆
∴r i越小，J越小，角速度ω越大，运动员转动的速度越大。

因此，当运动员想要旋转时会收紧身体，使其获得最大的转动速度。

说明二：如果研究的对象是由多个质点和多个刚体构成的物体
组，那么当物体组对某一定轴的合外力矩为零时，整个物体组对该
轴的角动量守恒定律可表示为：
sin
J rmv c
ωφ
∑+∑=
等式左侧第一项为各刚体的角动量，第二项为各个质点的情况。

三、所学知识的应用
1.质点绕定点转动的角动量的应用
例3.7在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹
簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一
质量为m的子弹以初速v0垂直于OA射向M并嵌在木块内。

弹簧原
长l0，子弹击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，
此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度v2。

解：击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿v0方向动量
守恒，即有
案例教学法
讨论法
帮学生建立
解决实际问
题的数理思
维
例题探究，巩
固所学知识，
构建数理逻
辑思维。

培养
学生解决实
际问题能力。

教学过程
（含课堂
教学内
容、教学
方法、辅
助手段、
师生互
动）
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，
故木块对O点的角动量守恒，设v2与OB方向成θ角，则有
例质量很小长度为l的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的
轴在竖直平面内转动。

当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速
率v0垂直落在距点O为l/4处，并背离点O向细杆的端点A爬行。

设小虫与细杆的质量均为m。

问：欲使细杆以恒定的角速度转动，
小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解:碰撞前后系统角动量守恒
根据角动量定理
教学过程
（含课堂
教学内
容、教学
方法、辅
助手段、
师生互
动）
2.刚体绕定轴转动的角动量的应用
例3.9在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起
转动。

如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上。

A轮的转
动惯量为J A＝10 kg m2，B轮的转动惯量为J B＝20 kg m2，开始时A
轮每分钟的转速为600转，B轮静止。

C为摩擦啮合器。

求两轮啮合
后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
解：系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，即
ω为两轮啮合后的共同角速度，
在啮合过程中，摩擦力矩做功，机械能不守恒，损失的机械能转化
为内能。

损失的机械能为
四、总结本课内容，引导学生复习全章知识，告知下次授课内容。

总结、归纳板书设计
3.3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点绕定点转动
1.角动量
=sin
L r mv r mvϕ
⨯=⋅⋅
2.角动量定理
d
t
t
M t L L
=-
⎰
3.角动量守恒定律
=
L L r mv c
=⨯=
二、刚体绕定轴转动
1.角动量
=
L Jω
2.角动量定理
d
t
t
M t J J
ωω
=-
⎰
3.角动量守恒定律
J J c
ωω
==
复习知识点
质点
=
I P-P
22
21
11
22
W mv mv
=-
刚体
22
21
11
22
W J J
ωω
=-
教学总结
及反思
课前和课中，适当地穿插有趣的生活实例能够有效调动学生学习兴趣，带动学生思考。

板书推导公式，从语言和书写速度，以及边推导边疑问的语气，能够带动学生
思考，帮助学生达成思考的连贯性，构建思维、帮助理解和记忆。