人教A版数学必修二《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积》教案新部编本设计

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
第一课时柱体、锥体、台体的表面积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.
难点：展开图与空间几何体的转化.
（三）教学方法
学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.
教学环节教学内容师生互动设计意图
新课导入
问题：现有一棱长为1的正方体盒
子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面
到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路
程是多少？
学生先思考讨论，然后
回答.
学生：将正方体沿
AA′展开得到一个由四个
小正方形组成的大矩形如
图
则17
AA'=即所求.
师：(肯定后)这个题考
查的是正方体展开图的应
用，这节课，我们围绕几何
体的展开图讨论几何体的
表面积.
情境生动，
激发热情
教师顺势
带出主题.
A′
D′C′
B
C
A
B′
D A′
A
探索新知
1．空间多面体的展开图与表面积
的计算.
（1）探索三棱
柱、三棱锥、三棱台
的展开图.
（2）已知棱长
为a，各面均为等边
三角形S–ABC (图
1.3—2)，求它的表面积.
解：先求△SBC的面积，过点S作
SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，
2222
3
()
22
a
SD SB BD a a
=-=-=
∴2
1133
2224
SBC
S BC SD a a a
=⋅=⨯=
V
.
∴四面体S–ABC的表面积
22
3
43
4
S a a
=⨯=.
师：在初中，我们已知
学习了正方体和长方体的
表面积以及它们的展开图，
你知道上述几何体的展开
图与其表面积的关系吗？
生：相等.
师：对于一个一般的多
面，你会怎样求它的表面
积.
生：多面体的表面积就
是各个面的面积之和，我们
可以把它展成平面图形，利
用平面图形求面积的方法
求解.
师：（肯定）棱柱、棱
锥、棱台边是由多个平面图
形围成的多面体，它们的展
开图是什么？如何计算它
们的体积？
……
生：它的表面积都等于
表面积与侧面积之和.
师以三棱柱、三棱锥、
三棱台为例，利用多媒体设
备投放它们的展开图，并肯
定学生说法.
师：下面让我们体会简
单多面体的表面积的计算.
师打出投影片、学生阅
读、分析题目、整理思想.
生：由于四面体S–
ABC的四个面都全等的等
边三角形，所以四面体的表
面积等于其中任何一个面
积的4倍.
学生分析，教师板书解
答过程.
让学生经
历几何体
展开过程
感知几何
体的形状.
推而
广之，培养
探索意识
会
探索新知
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积
公式的推导
S圆柱= 2πr (r + 1)
S圆锥= πr (r + 1)
S圆台= π(r12 + r2 + r1l + rl )
（2）讨论圆台的表面积公式与圆
柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
（3）例题分析
例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直
径为20cm，盆底直
径为15cm，底部渗
水圆孔直径为
1.5cm，盆壁长
15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油
漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂
100个这样的花盆需要多少油漆(π取
3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？
分析：只要求出每一个花盆外壁的表面
积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的
表面积等于花盆的侧面面积加上下底
面面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图所示，由圆台的表积公式得一
个花盆外壁的表面积
22
151520 1.5
[()1515]()
2222
Sππ
=⨯+⨯+⨯-⨯
≈1000(cm2) = 0.1(m2).
涂100个花盆需油漆：0.1×100×100
=1000(毫升).
答：涂100个这样的花盆约需要1000
毫升油漆.
师：圆柱、圆锥的侧面
展开图是什么？
生：圆柱的侧面展开图
是一个矩形，圆锥的侧面展
开图是一个扇形.
师：如果它们的底面半
径均是r，母线长均为l，则
它们的表面积是多少？
师：打出投影片（教材
图1.3.3和图1.3—4）
生1：圆柱的底面积为
2
r
π，侧面面积为2rl
π，因
此，圆柱的表面积：
2
222()
S r rl r r l
πππ
=+=+
生2：圆锥的底面积为2rπ，
侧面积为rl
π，因此，圆锥
的表面积：
2()
S r rl r r l
πππ
=+=+
师：(肯定)圆台的侧面展开图
是一个扇环，如果它的上、
下底面半径分别为r、r′，
母线长为l，则它的侧面面积
类似于梯形的面积计算S侧
=
1
(22)()
2
r r l r r l
πππ
''
+=+
所以它的表面积为
122
()
S r r r l rl
π'
=+++现在
请大家研究这三个表面积公
式的关系.
学生讨论，教师给予适当引
导最后学生归纳结论.
师：下面我们共同解决一个
实际问题.
（师放投影片，并读题）
师：本题只要求出花盆外壁
的表面积，就可求出油漆的
用量，你会怎样用它的表面
积.
生：花盆的表积等于花盆的
侧面面积加上底面面积，再
减去底面圆孔的面积.(学生
让学
生自己推
导公式，加
深学生对
公式的认
识.
用联系的
观点看待
三者之间
的关系，更
加方便于
学生对空
间几何体
的了解和
掌握，灵活
运用公式
解决问题.
S圆台=π(r12+r2+rl+r′l)
S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l)
r = 0
r = 1
随堂练习
1．练习圆锥的表面积为a cm 2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
2．如图是一种机
器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm ）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg ，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg ）
答案：1．
2
33a ππ
m ； 2．1.74千克.
学生独立完成
归纳总结
1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.
2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系. 学生总结，老师补充、完善
作业 1.3 第一课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q 1，Q 2，求直平行六面体的侧面积.
【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.
【解析】如图所示，设底面边长为a ，侧棱长为l ，两条底面对角线的长分别为c ，d ，即BD = c ，AC = d ，则
12
222(1)(2)11
()()(3)22
c l Q
d l Q c d a ⎧
⎪⋅=⎪
⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 由（1）得1Q c l =
，由（2）得2Q d l =，代入（3）得22212()()22Q Q
a l l
+=， ∴2222124Q Q l a +=，∴22
122la Q Q =+.
∴S 侧 =221242al Q Q =+.
例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积. 【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为23mm. 设底面边长为a ，则
3
23a =，∴a = 4. ∴正三棱柱的表面积为
S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2×14232
⨯⨯ 2483=+(mm 2).
例3 有一根长为10cm ，底面半径是0.5cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm ）
【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .
由题意知，BC =10cm ，AB = 20.588ππ⨯⨯=cm ，点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.
∴AC =2210(8)27.05π+≈(cm). 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.
【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm 和440mm ，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？
【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.
【解析】如图所示，O 、O 1是两底面积的中心，则OO 1是高，设EE 1是斜高，在直角梯形OO 1E 1E 中，
EE 1=221E F EF + =22111()OO EO E O +-
图4—3—2
∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.
∴S正棱台侧= 11
()()
22
c c h n a a h
''''
+⋅=+⋅= 5
1
4(44080)269 2.810
2
⨯⨯+⨯≈⨯（mm2）
答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.。