高二期中考试卷数学(理)

张掖二中2013—2014学年度第二学期期中考试试卷
高二数学 (理科)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1．集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},A B ⋂=则A B =A
A ．{2,3,4}
B ．{2 ,4}
C ．{2,3}
D ．{1，2,3,4}
2．右图1是一个水平摆放的小正方体木块，
图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七
个叠放的图形中小正方体木块数应是( )C
A ．25
B ．66
C ．91
D ．120
3．曲线323y x x =-+在点(1，2)处的切线方程为( )A
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝－3x ＋5
C ．y ＝3x ＋5
D ．y ＝2x
4．在圆0622
2=--+y x y x 内，过点)1,0(E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为B
A ．52
B ．102
C ．152
D ．202 5．在平面直角坐标系中，已知20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩
≥≥≤若目标函数=+2z x y 的最大值是10，则实数t 的值
为 B
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数（ ）D
A ．y ＝x ＋1的图象上
B ．y ＝2x 的图象上
C ．y ＝2x 的图象上
D ．y ＝2x －1的图象上
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1:V 2等于（ ）A
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:1
D ．1:4
8．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为 ( )D
A ．12p p ⌝∧⌝
B ．12p p ∨⌝
C ．12p p ∧
D ．12p p ⌝∧
9．函数sin (0)y x ωω=>的部分如图所示,点A 、B 是最高点,点C 是最低点,若ABC ∆是直角三角形,则ω的值为A
A ．2π
B ．4π
C ．3π
D 10．已知，则 = ( )C
A. 3
B. 4
C.3.5
D. 4.5
11．如图，抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）C
A ．4
B ．33．43．8
12．已知a 是函数12
()2log f x x x =-的零点，00x <<a ，则0()f x 的值满足( )C
A ．0()f x ＝0
B ．0()f x ＞0
C ．0()f x ＜0
D ．0()f x 的符号不确定
二、填空题(每小题5分,共20分)
13．已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为___ __.3
14．命题：“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定为_____________ 32,10x R x x ∃∈-+>
15．若1210,,a a a ⋯这10个数据的样本平均数为x ,方差为0.33,则1210,,a a a ⋯，x 这11个数据的方差为________．0.3
16．给出下列命题
①在△ABC 中,A>B 是sinA>sinB 的充要条件；
②设m,n 是两条直线,α,β是空间中两个平面．若βα⊂⊂n m ,,βα⊥⊥则n m ； ③函数f(x)=x cos 是周期为2π的偶函数；
④已知定点A(1,1),抛物线2 4y x =的焦点为F,点P 为抛物线上任意一点,则||||PF PA +的最小值为2；
以上命题正确的是________（请把正确命题的序号都写上）①④
三、解答题(共70分)
17．(本小题满分l0分) 已知函数2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+- （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，
若()22C f =且2c ab =，试判断△ABC 的形状．
18．(本小题满分l2分) 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，∠ABC=60 ，EC ⊥面ABCD ，FA ⊥面ABCD ，G 为BF 的中点，若EG//面ABCD ．
(I)求证：EG ⊥面ABF ；
(Ⅱ)若AF=AB ，求二面角B —EF —D 的余弦值．
19.(本小题满分l2分)已知数列{}n a 中，21=a ，.231+=+n n a a
（Ⅰ）记1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S
20．（本小题满分12分）
第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）：
男 女
15 7 7 8 9 9 9
9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 5 6
7 4 2 1 18 0
1 0 19
若男生身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”， 在180cm 以下（不包括180cm ）定
义为“非高个子”， 女生身高在170cm 以上（包括170cm ）定义为“高个子”，在170cm 以下（不包括170cm ）定义为“非高个子”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？
（2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
21.(本小题满分l2分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为3
6,长轴长为32. (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线2
1-=kx y 交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在y 轴正半轴上是否存在一个定点M 满足MB MA ⊥,若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．
22.(本小题满分l2分)已知函数x ax x x f 32
131)(23-+-=,x x x g ln )(= (Ⅰ)当a=4时,求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)求函数g(x)在区间)0](1,[>+t t t 上的最小值；
(Ⅲ)若存在)](,1[,2121x x e e
x x =/∈,使方程()()2f x g x '=成立,求实数a 的取值范围（其中e=2.71828是自然对数的底数）
张掖二中2013—2014学年度第二学期期中考试试卷
高二数学 (理科)答案
13．3 14．-126 15．0.3 16．①④
17．解：（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f x x 2sin 32cos +=
)2sin 2
32cos 21(2x x +=)62sin(2π+=x ，周期为2.2T ππ== 5分 （Ⅱ）因为 ()2sin()226C f C π=+= 所以 sin()16
C π+= 因为0C π<< 所以7666
C πππ<+< 所以62C ππ+
= 所以3C π= 222222cos c a b ab C a b ab ab =+-=+-= 整理得 b a =
所以 三角形ABC 为等边三角形 10分
18．解： (Ⅰ)取AB 的中点M ，连结GM,MC ，G 为BF 的中点,
所以GM //FA,又EC ⊥面ABCD, FA ⊥面ABCD,
∵CE//AF,
∴CE//GM,………………2分
∵面CEGM ⋂面ABCD=CM,
EG// 面ABCD,
∴EG//CM,………………4分
∵在正三角形ABC 中，CM ⊥AB,又AF ⊥CM
∴EG ⊥AB, EG ⊥AF,
∴EG ⊥面ABF.…………………6分 （Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,
则B （0,0,3）E(0,1,1) F （0，-1，2）
=(0，-2,1) , =(3,-1，-1), =(3,1， 1),………………8分
设平面BEF 的法向量1n =（z y x ,,）则 ⎩⎨⎧=--=+-0
302z y x z y 令1=y ，则3,2==x z , ∴1n =（2,1,3）…………………10分 同理，可求平面DEF 的法向量 2n =（-2,1,3）
设所求二面角的平面角为θ，则
θcos =4
1-
.…………………12分 19．解：（Ⅰ）由231+=+n n a a ，可知)1(311+=++n n a a ．
因为1+=n n a b ，所以n n b b 31=+， 4分 又3111=+=a b ，
所以数列{}n b 是以3为首项，以3为公比的等比数列． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,31n n a =+13-=n n a ，所以n n na n n -=3．
所以)21()3323(2n n S n n +++-⋅++⋅+= 其中2
212n n n +=++ 记n n n T 33232⋅++⋅+=
① 13233)1(3233+⋅+⋅-++⋅+=n n n n n T
② 两式相减得11
1232
3333332+++⋅---=⋅-+++=-n n n n n n n T 4
334121+⋅-=+n n n T 所以4322341221-+-⋅-=+n n n S n n 12分
20.解：（1）由茎叶图数据可知，“高个子”男生和女生分别有6人和4人，所以“高个子”和“非高个子”分别是10人和20人， …………………3分 所以“高个子”应抽取610=230
⨯人，“非高个子” 应抽取620=430⨯人；……………5分 （2）记“至少有一人是‘高个子’”为事件A ， ……………6分 设抽出的6人为a,b,c,d,m,n （其中m,n 为“高个子”）．
记“从a,b,c,d,m,n 中选2位”为一个基本事件， ……………7分 则共有15个基本事件：{a,b} ,{a,c} ,{a,d},{a,m},{a,n}；{b,c,},{b,d},{b,m},{b,n}；{c,d},{c,m},{c,n}；{d,m},{d,n}；{m,n}. 其中事件A 包括9个基本事件: {a,m},{a,n}；{b,m},{b,n}； {c,m},{c,n}；{d,m},{d,n}；{m,n}. ……………9分 由古典概型的概率计算公式知，93()=
155
P A =． ………………11分 答：从抽出的6人中选2人担任领座员，至少有一人是“高个子”的概率是35.………12分
21．解：（I ）由题意得3
6==a c e ，322=a 2分 解得1,3==b a 3分 椭圆的方程为13
22
=+y x . 4分 （II ）当0k =时，直线2
1-=y 与椭圆交于两点的坐标分别为)21,23(-A ，)21,23(--B 设y 轴上一点),0(t P ,满足PB PA ⊥, 即0=⋅PB PA ， ∴0)2
1,23()21,23(=---⋅--t t 解得1=t 或2-=t （舍）， 则可知)1,0(P 满足条件，若所求的定点M 存在，则一定是P 点. 6分
下面证明)1,0(M 就是满足条件的定点.
设直线2
1-=kx y 交椭圆于点),(11y x A ,),(22y x B .
由题意联立方程221213
y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22:(124)1290y k x kx +--=消去得 8分 由韦达定理得，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+4129
41212221221k x x k k x x 9分 )1,(),1,(2211-=-=y x MB y x MA 又因为 ∴1212121233(1)(1)()()22
MA MB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+-- 4
9)(23)1(21212++-+=x x k x x k 04
941212234129)1(222=++⋅-+-⋅+=k k k k k 11分 ∴ MB MA ⊥，即在y 轴正半轴上存在定点)1,0(M 满足条件. 12分 解法2：
设y 轴上一点),0(t M ,满足⊥, 即，0=⋅ 5分 设直线2
1-
=kx y 交椭圆于点),(11y x A , ),(22y x B . 由题意联立方程221213
y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22:(124)1290y k x kx +--=消去得 7分 由韦达定理得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+4129
41212221221k x x k k x x 8分 ),(),,(2211t y x t y x -=-=又因为 ∴1212121211()()()()22
MA MB x x y t y t x x kx t kx t ⋅=+--=+---- 221212)2
1()()21()1(t x x k t x x k ++++-+= 0)2
1(41212)21(4129)1(2222=+++⋅+-+-⋅+=t k k k t k k 10分 整理得，0)2
1(49]9)21(12)21(12[222=++--+-+t t t k 由对任意k 都成立，得09)2
1(12)21(122=-+-+t t
且0)21(492=++-t
解得1=t 11分
所以存在点)1,0(M 满足MB MA ⊥. 12分
22．解：（Ⅰ）()23f x x ax '=-+-
当4a =时， ()243f x x x '=-+-，令()0f x '>得13x <<
∴当4a =时，()f x 的单调增区间为()1,3，单调减区间为()(),1,3,-∞+∞. 3分 （Ⅱ）()1g x lnx '=+， 令()0g x '>，得1x e >
①当1t e
≥时，在区间[],1t t +上()0g x '>， ()g x 为增函数， ∴()()min ln g x g t t t == ②当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上()0g x '<，()g x 为减函数， 在区间1,1t e ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
上()0g x '>，()g x 为增函数， ∴()min 11g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
7分 (III) 由()()2f x g x '=可得232x ax x x -+-=ln ∴32ln a x x x
=++， 令32()ln h x x x =++，则22)1)(3(321)(x x x h -+=-+='
32h e e e =+-()，14()h =，2h e e e
=++() 12420()()h e h e e e
-=-+< ∴实数a 的取值范围为34,2e e ⎛⎤++ ⎥⎝⎦ 12分。