高等数学与初等数学有什么不同

函数举例
例5 函数 y2. 这是一个常值函数, 其定义域为D(, ), 其值域为Rf {2}.
x x0 例 6 例 6. 函数 y | x | . x x 0 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(, +), 其值域为Rf [0, + ).
1 x 0 例 7 例 7. 函数 y sgn x 0 x 0 . 1 x 0 此函数称为符号函数, 其定义域为D(, +) , 其值域为Rf {1, 0, 1}.
1 1 g ( x) [ f ( x) f ( x)] , h( x) [ f ( x) f ( x)] . 2 2
5.初等函数 基本初等函数 幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . >>>
绪论
高等数学与初等数学有什么不同？它们各自研究的 对象和方法是什么？ 大千世界万事万物，无不在一定的空间中运动变化， 而在这过程 中都存在一定的数量关系。 数学——研究现实中数量关系与空间形式的科学。
阿基米德圆锥曲线的研究，变速运动，坐标系的出现是 数学的转折点。 初等数学：形式逻辑。孤立，静止，一个一个的数。 微积分——无穷小量分析 在微积分中要加强而不是回避逻辑，要从直观上理解和 分析漂亮的概念，严密性不妨碍直观理解。学会方向思 维。 21 世纪的高科技 ——“ 数学技术”，不仅是工具，而且 从后台走到了前台。要明白：（ 1 ）数学作为科学方法 的效力，他应有的统一与美；（ 2 ）数学的应用，最好 的学习就是用？要培养应用数学的意识、兴趣和能力。
1.函数概念
三、函数
定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明: 记号 函数的记号是可以任意选取的 f和f(x)的区别 : 前者表示自变量 , 除了用 f 外y , 还可用“ 之间的对 g” ”来 为了叙述方便 , 常用记号“ f(x), xDx ”和因变量 或“ f(xy ), xD 应法则 、“ F”,、“ 而后者表示与自变量 ”等 , 此时函数就记作 x对应的函数值 yg(x)、 . yF(x)、yf (x 表示定义在 D 上的函数 , 这时应理解为由它所确定的函数 .) 等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
求函数的定义域举例>>>
单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯 一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总 有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数.
例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:
当 0 x 1 时, y 2 x 当 x>1 时, y1x.
1 1 例如 f ( ) 2 2 2 2 f (1) 2 1 2 f(3)134.
分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对 应法则用不同式子来表示的函数称 为分段函数.
2.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x) 在X上有上界. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x) 在X上有下界. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.
1 g ( x) [ f ( x) f ( x)] g ( x) , 2 1 1 h( x) [ f ( x) f ( x)] [ f ( x) f ( x)] h( x) . 2 2
提示: 如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是
函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么 这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数 , 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域.
例8 函数y[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D(, +), 其值域为Rf Z.
注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部 分, 记作[x].
2 x 0 x 1 例 9 例 6. 函数 y . 1 x x 1 此函数的定义域为D[0, 1](0, )[0, ).
5.初等函数
初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.
例如, 函数
y
1 x2
,
y sin 2
都是初等函数.
x x , y cot 2
双曲函数与反双曲函数 •双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是:
x e x e 双曲正弦: sh x 2 x x 双曲余弦: ch x e e 2 x e x sh x e 双曲正切: th x x x chx e e
双曲函数与反双曲函数 •双曲函数的性质 sh(xy)sh x ch ych x sh y, >>> ch(xy)ch x ch ysh x sh y, ch2 x sh2 x1, sh 2x2sh x ch x, ch 2xch2x+sh2x.
比较 sin(xy)sin x cos ycos x sin y.
y r x .
2 2
此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支
y y1 ( x) 示函数的主要方法有三种 : 表格法、图形法、解 析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念 , 坐标平 面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD} 称为函数yf(x), xD的图形.
1 yx3
, xR.
, yR.
提问: 下列结论是否正确？
1 函数yx3, xR的反函数是 x y 3
3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上 的单调函数.
y arch x ln( x x2 1) , y arth x 1 ln 1 x . 2 1 x
3.反函数与复合函数 复合函数 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义 且g(D)D1, 则由 yf[g(x)], xD 确定的函数称为由函数 ug(x)和函数yf(u)构成的复合函 数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)f[g(x)]. 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上 的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如>>>
例10 设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l) 上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 证 作 g ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , h( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 2 2 则 f(x)g(x)h(x), 且
(2)函数的单调性 设函数yf(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意 两点, 且x1<x2. 如果恒有f(x1)<f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的. 如果恒有f(x1)>f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
(3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为奇函数. •奇偶函数举例 yx2, ycos x都是偶函数. yx3, ysin x 都是奇函数.
3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为
比较 cos(xy)cos x cos y sin x sin y.
双曲函数与反双曲函数 •反双曲函数 双曲函数 ysh x, ych x, yth x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x. 可以证明 y arsh x ln( x x2 1) , >>>
3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形 关于直线 yx 是对称的.
4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;
f 商 : g
f f ( x) ( )( x) , xD\{x|g(x)0}. g g ( x)
(3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为奇函数. •奇偶函数的图形特点
偶函数的图形对称于y轴
奇函数的图形对称于原点
(4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l, 使得对于任一xD有(xl)D, 且f(x+l)f(x), 则称f(x)为周 期函数, l称为f(x)的周期. •周期函数的图形特点
•函数的有界性举例 f(x)sin x在(, +)上是有界的: |sin x|1.
1 函数 f (x) 在开区间(0, 1)内是无上界的. x 1 这是因为, 对于任一 M>1, 总有 x1 : 0 x1 1 , 使 M 1 f (x1) M , x1 所以函数无上界. 1 函数 f (x) 在(1, 2)内是有界的. x