三角函数简答题

1．[2013·江苏]已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2)设c ＝(0,1)，若a －b ＝c ，求α，β的值．
2．[2013·陕西]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，
x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
3.已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B
分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.
(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
35，45，求sin 2
α＋sin2αcos 2
α＋cos2α的值；
(2)求|BC |2的取值范围．
4．[2013·北京]已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋1
2cos4x . (1)求f (x )的最小正周期及最大值；
(2)若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，且f (α)＝2
2，求α的值．
5．[2013·天津]已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －
2cos 2x ＋1，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
6．[2013·安徽]已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫ωx ＋π4
(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的单调性 7．[2013·山东]设函数f (x )＝3
2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．
8．(2014·西南大学附中月考)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝ (sin x,2cos x )，函数f (x )＝a·b ＋|b |2.
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间； (3)当π6≤x ≤π
2时，求函数f (x )的值域．
9．[2014·石家庄质检一]已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫4x －π4.
(1)求函数f (x )的最大值；
(2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值．
10．[2014·吉林五校联考二]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.
(1)若cos π4cos φ－sin 3π
4sin φ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的
距离等于π
3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图像向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．
11．[2014·西安调研]已知平面向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin θ，－cos θ)，其中0＜θ＜π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋
(b·c )sin x 的图像过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，1. (1)求θ的值；
(2)将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
12．[2013·课标全国Ⅰ]已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
11．[2013·课标全国Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，则△ABC 的面积为( )
A ．23＋2
B.3＋1
C ．23－2 D.3－1
13．[2013·湖南]在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
14．[2013·陕西]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
15．[2014·开封质检]已知函数f (x )＝x 2＋(sin α－2cos α)x ＋1是偶函数，则sin αcos α＝( )
A.25 B ．－2
5 C ．±25
D ．0
16．[2014·陕西咸阳调研]若cos α＝1
3，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，则tan α等
于( )
A ．－2
4 B.24 C ．－2 2
D ．2 2
17．[2014·兰州调研]已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )
A.3
5
B ．－35
C.45 D ．－45
18．[2013·大纲全国]已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( )
A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称
B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π
2对称 C ．f (x )的最大值为3
2
D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数
19．[2014·大连调研]已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正
半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12
，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝( )
A ．－ 3 B. 3 C.3
3 D ．±33
20．[2013·安徽]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.
21．[2014·烟台四校联考]已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝__________.
22．[2013·课标全国Ⅱ]函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π
2个单位后，与函数y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝
__________.
23．[2014·泉州质检]若角α的终边经过点P (1,2)，则sin2α的值是__________．。