第1章 勾股定理 单元测试(含答案) 2021-2022学年八年级数学北师大版上册

第一章综合检测试卷
(时间：120分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共24分)
1．下列各组数中，不是勾股数的是( )
A ．3,4,5
B ．4,5,6
C ．5,12,13
D ．6,8,10 2．【昆明官渡区期末】下列条件中，不能判定△ABC 为直角三角形的是( )
A ．a ∶b ∶c ＝5∶12∶13
B ．∠A ＋∠B ＝∠
C C ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5
D ．a ＝6，b ＝12，c ＝10
3．在一水塔A 的东北方向32 m 处有一抽水池B ，在水塔A 的东南方向24 m 处有一建筑工地C ，在BC 间需建一条直水管道，则水管的长为( )
A ．45 m
B ．40 m
C ．50 m
D ．56 m 4．如果△ABC 的三边长分别是m 2－1、2m 、m 2＋1(m ＞1)，那么( )
A ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为2m
B ．△AB
C 是锐角三角形
C ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2＋1
D ．△ABC 是否为直角三角形，需看m 的值
5．如图，在△ABD 中，∠D ＝90°，CD ＝6，AD ＝8，∠ACD ＝2∠B ，则BD 的长是( )
第5题
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 边中点，MN ⊥AC 于点N ，那么MN 等于( )
第6题
A.65
B.85 C ．125 D.245
7．如图所示是一段楼梯，高BC 是3 m ，斜边AC 是5 m ，如果在楼梯上铺地毯，那么
至少需要地毯()
第7题
A．5 m B．6 m
C．7 m D．8 m
8．如图，长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点D与点B 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为()
第8题
A．6 cm2B．8 cm2
C．10 cm2D．12 cm2
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
9．已知△ABC三条边的长度分别为9,12,15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________.
10．若直角三角形的两条直角边长为a、b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为________.
11．如图，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，则∠BAD的度数为________.
第11题
第13题
12．【云南中考】在△ABC中，AB＝34，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为________.
第14题
13．如图，点P是等边△ABC内一点，连接P A、PB、PC，P A∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°.其中一定正确的是________.(把所有正确答案的序号都填在横线上)
14．如图所示，一个机器人从点O出发，向正东方向走了3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，按此规律走下去，当机器人走到点A6时，与点O的距离是________米.
三、解答题(本大题共9个小题，共58分)
15．(本小题5分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15.求：
(1)AB的长；
(2)CD的长．
第15题
16．(本小题5分)如图所示，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4 m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4 m吗？
第16题
17．(本小题5分)如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积．
第17题
18．(本小题5分)【文山期末】如图是一块地，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，且CD⊥AD，求这块地的面积．
第18题
19．(本小题6分)如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3.求证：
(1)△BEC为等边三角形；
(2)ED⊥CD.
第19题
20．(本小题6分)如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
第20题
21．(本小题8分)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8 cm，腰AB、AC的长为5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，求点P运动的时间．
第21题
22．(本小题8分)阅读理解：
我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5,12,13；9,40,41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3,4,5是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：
(1)在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；
(2)在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．
23．(本小题10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级．该台风中心现在以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往F移动，如图所示，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．
(1)该城市是否受到台风影响？请说明理由；
(2)若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响的持续时间有多长？
第23题
第一章综合检测试卷
一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.C7.C8.A
二、9.10810.511.135°12.9或1解析：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝(34)2－32＝5，CD＝AC2－AD2＝52－32＝4，∴BC＝BD＋CD＝5＋4＝9.②如图2，同理得CD＝4，BD＝5，∴BC＝BD－CD＝5－4＝1.综上所述，BC的长为9或1.
图1
图2
13．①②③14.15
三、15.解：(1)在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，所以AB＝25.(2)
因为CD⊥AB，所以S△ABC＝1
2AC·BC＝
1
2AB·CD，所以AC·BC＝AB·CD，所以20×15＝25CD，
所以CD ＝12.
16．解：在Rt △AOB 中，因为AB ＝25 m ，OB ＝7 m ，OA 2＝AB 2－OB 2，所以OA ＝24 m ．因为AA ′＝4 m ，所以OA ′＝OA －AA ′＝20 m ．在Rt △A ′OB ′中，因为OB ′2＝A ′B ′2－OA ′2，所以OB ′＝15 m ，所以BB ′＝OB ′－OB ＝8 m ．故这个梯子的顶端距地面24 m ；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4 m ，而是滑动了8 m.
17．解：连接AC .在△ADC 中，因为∠D ＝90°，AD ＝12，CD ＝9，所以AC ＝15，S △ADC ＝12AD ·CD ＝12
×12×9＝54.在△ABC 中，因为AC ＝15，AB ＝25，BC ＝20，所以BC 2＋AC 2＝AB 2，所以△ACB 是直角三角形，所以S △ACB ＝12AC ·BC ＝12
×15×20＝150，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝150＋54＝204.
18．解：连接AC .因为CD ⊥AD ，AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，所以AC 2＝AD 2＋CD 2＝42＋32＝25，所以AC ＝5 m ．又因为BC ＝12 m ，AB ＝13 m ，所以AC 2＋BC 2＝52＋122＝169＝AB 2，
所以∠ACB ＝90°，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC －S △ADC ＝12BC ·AC －12
AD ·CD ＝30－6＝24(m 2)，即这块地的面积是24 m 2.
19．证明：(1)在Rt △ABE 中，因为∠A ＝60°，∠AEB ＝90°，所以∠ABE ＝30°.因为AB
＝4，所以AE ＝12
AB ＝2，BE 2＝AB 2－AE 2＝12.又因为BC 2＝12，所以BE ＝BC .又因为∠CBE ＝60°，所以△BEC 为等边三角形．
(2)因为△BEC 为等边三角形，所以EC 2＝BC 2＝12.又因为DE 2＝9，CD 2＝3，所以DE 2＋CD 2＝12＝EC 2，即△CDE 为直角三角形，且∠D ＝90°，所以ED ⊥CD .
20．解：在Rt △ABC 中，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，由勾股定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2＝100，所以AB ＝10 cm.由折叠可知CD ＝DE ，∠DEA ＝∠C ＝90°，AE ＝AC ＝6 cm ，所以∠BED ＝90°，BE ＝AB －AE ＝4 cm.设CD ＝x cm ，则DE ＝x cm ，BD ＝(8－x )cm.在Rt △BDE 中，由勾股定理，得x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3.故CD 的长为3 cm.
21．解：①当点P 运动到P A 与腰AC 垂直时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝4 cm.在Rt △ABD 中，易知AD ＝3 cm.设PD ＝x cm ，在Rt △APD 中，P A 2＝x 2＋9；在Rt △P AC 中，
PC 2＝P A 2＋AC 2，即(x ＋4)2＝x 2＋9＋25，所以x ＝94，所以BP ＝BD －PD ＝4－94＝74
(cm)，所以此时点P 运动的时间为74
÷0.25＝7(s)．②当点P 运动到P A 与腰AB 垂直时，同理可得BP ′＝254 cm ，此时点P 运动的时间为254
÷0.25＝25(s)．故当点P 运动到P A 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间为7 s 或25 s.
22．解：(1)存在三个连续偶数能组成勾股数，如6,8,10.
(2)不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．设这三个正整数分别为n －1、n 、n ＋1，则(n －1)2＋n 2＝(n ＋1)2，解得n 1＝4，n 2＝0(舍去)．当n ＝4时，n －1＝3，n ＋1＝5，所以三个连续正整数仍然是3,4,5，所以不存在其他
的三个连续正整数能组成勾股数．
23．解：(1)该城市会受到台风影响．理由如下：过点A 作AD ⊥BF 于点D .在Rt △ABD
中，因为∠ADB ＝90°，∠ABD ＝30°，AB ＝240千米，所以AD ＝12
AB ＝120千米．因为受到台风影响的最大距离为25×(12－4)＝200(千米)，且120<200，所以该城市会受到台风影响．
(2)设当台风移到点E 处时，该城市开始受台风影响，当台风移至点C 处时，该城市脱离台风影响，则AE ＝AC ＝200千米．在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE 2＝AE 2－DA 2＝1602，所以DE ＝160千米．同理可得，CD ＝160千米．所以CE ＝CD ＋DE ＝320千米，所以该城市受台风影响的持续时间为
32020＝16(时)．。