苏教版高中数学必修二—第一学期通州区三星级期中联考

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考
高二数学试题
试题总分：160分 考试时间：120分钟
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．若圆C 的一般方程是222440x y x y ++--=，则其标准方程为 ▲ ．
2．下列四个条件中，能确定一个平面的只有是 ▲ ．（填写序号）
①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线． 3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ▲ ．
4．m 为任意实数时，直线（m -1）x +(2m -1)y =m -5必过定点 ▲ ． 5．一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，那么圆锥与球 的体积之比是 ▲ ．
6．正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ▲ ．
7．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB =︒
90，PA ⊥平面ABC ，
此图形中有 ▲ 个直角三角形．
8．过点()2,1的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线方程为 ▲ ．
O
x
y
A B
2 2
1350 （第3题）
A
B
C
P
（第7题）
9．（文做理不做）正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那
么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 ▲ ．
（理做文不做）已知空间三个点A （-2，0，2）、B （-1，1，2）和C （-3，0，4），设a AB =，b AC =．
当实数k 为 ▲ 时ka b +与2ka b -互相垂直．
10．如图，已知圆柱形桶的底面半径为6cm ，高为2πcm ，有一只蚂蚁
从桶外A 点出发，经桶的表面通过上口爬行到桶内侧1CC 的中点G 吃糖，聪明的蚂蚁爬行的最短距离是 ▲ cm ．
11．一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且在直线y x =上截得 的弦长为27，则此圆的方程为 ▲ ．
12．如图，四棱锥S-ABCD 底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有 ▲ 个．
①AC ⊥SB ； ②AB ∥平面SCD ； ③SA 与平面ABCD 所成的平面角是∠SAD ； ④AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角．
13．直线y x b =+与曲线21x y =-有且仅有1个公共点，则b 的取值范围是 ▲ ．
14．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则
这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(第14题)
1C
C
A
1A
G
（第10题）
(第12题)
A
B
C
P
D
F E
C A
D
B 15．(本小题满分14分)
已知ABC ∆的顶点(1,3)B --，AB 边上的高CE 所在直线的方程为013=--y x ，BC 边上中线AD 所在直线的方程为8930x y +-=.求直线AC 的方程．
16．(本小题满分14分)
在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥， E ，F 分别是AB ，BD 的点，且AD //平面CEF ，
（1）求证： //EF AD ；
（2）若E 是AB 的中点，求证：BD EFC ⊥面.
17．(本小题满分14分)
如图，圆C 通过不同的三点P （k ，O ）、Q （2，0）、R （0，1），已知圆C 在点P 的切线斜率
为1，试求圆C 的方程．
18．(本小题满分16分)
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都相等，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点．
（1）求证：平面1//A EB 平面1AC D ； （2）若点M 在棱1BB 上，且11
4
BM BB =，求证：平面AMD ⊥平面1AC D ．
P
O
y
Q
R x
C
M
1
C 1
A 1
B E
19．(本小题满分16分)
已知圆C ：222440x y x y +-+-=．
（1）直线1l 过点()2,0P ，被圆C 截得的弦长为42，求直线1l 的方程；
（2）直线2l 的的斜率为1，且2l 被圆C 截得弦AB ，若以AB 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．
20．(本小题满分16分)
（文做理不做）已知：正四棱锥S-ABCD 的高为3，斜高为2，设E 为AB 中点，F 为SC 中
点，M 为CD 边上的点． （1）求证：EF //平面SAD ；
（2）试确定点M 的位置，使得平面EFM ⊥底面ABCD ．
（理做文不做）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为直角梯形，
A
B
C
D
S
E
F
(20题文科)
90BAD ADC ∠=∠=，1AB AD PD ===，3CD =，,E F 分别为,AD PC 的中点，点M 在
棱CD 上，DM a =． （1）求证：//EF 平面PAB ；
（2）求直线BF 与平面PAB 所成角的正弦值； （3）若二面角M PB C --的大小为60，求a 的值．
2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考
高二数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分
1 ．2
2 (1)(2)9 x y ++-= 2 ． ④
3 ．
4 4 ． (9,–4)
5 ． 1∶2
6 ．2
2
a π
7 ． 4 8 ．10x y --=
9 ．（文做理不做） 六边形 （理做文不做） 5
22
k k =-=或
10． 35π 11．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++= 12． 4 13． 11 2 b b -<≤=-或 14． 222 提示： 正方体表面面积为25×6-12=138,六道内空(重合部分重复计时)面积为4×5×6=120,重复的小正方体有6个,每个只能算2个小正方形面积,因此要减去面积6×(8-2)=36. 二、解答题：本大题共6小题；共90分． 15． (本小题满分14分)
解：AB CE ⊥ ，且直线CE 的斜率为
3
1 ∴直线AB 的斜率为-3,
∴直线AB 的方程为)1(33+-=+x y 即063=++y x ……3分 由⎩⎨
⎧=-+=++0398063y x y x 解得⎩⎨⎧=-=3
3
y x , ∴)3,3(-A ……7分
设),(b a D ，则)32,12(++b a C ∴有⎪⎩⎪⎨⎧
-==⇒⎩⎨
⎧=-+-+=-+1
2301)32(3120
398b a b a b a ∴)1,4(C ……12分
P
D A
B
C
M
F
E (20题理科)
∴直线AC 的方程为：3
133
43--=++y x 即01572=-+y x ……14分
16． (本小题满分14分)
解：（1） ////=AD CEF
AD ABD EF AD
CEF ABD EF ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭
面面面面 ……7分 (2) //F E EF AD
⎫
⇒⎬⎭
为DB 的中点
为AB 的中点
F CF EF=F //CF DB CB CD BD EFC
AD BD EF DB AD EF ⎫⎫
⇒⊥⎬⎪
=⎭⎪
⎪
⇒⊥⎬⎪⊥⎫
⎪
⇒⊥⎬⎪⎭⎭
为DB 的中点面
……14分
17．(本小题满分14分)
解：设圆C 的方程为022=++++F Ey Dx y x ，
由于2,k 为方程02=++F Dx x 的两根,∴F k D k =-=+2,2 即k F k D 2),2(=+-=, 又因为圆过点R （0，1），故1+E+F=0, ∴E=-2k-1, ∴圆的方程02)12()2(22=++-+-+k y k x k y x ,圆心C 坐标)2
1
2,22(++k k ,……7分 ∵圆在点P 的切线斜率为1 ∴k
k K CP -+=
-=21
21 解得3-=k ∴所求圆的方程为06522=-+++y x y x ……14分 18．（本小题14分）
解：(1)在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，因为D ，E 分别是BC ，B 1C 1的中点，
可知1 // BD EC =，则1EBDC 为平行四边形, 故 // EB DC =从而EB ∥平面1AC D
又111, // // AA BB BB ED ==∴1 // AA ED = ∴1A ADE 为平行四边形
∴1A E ∥AD ，从而1A E ∥平面1AC D ，
又1EB A E E ⋂=∴平面1A EB ∥平面1AC D ……7分
F E
C
A
D
B (16)
第题图M
A
B
C
1
C 1
A 1
B D
E
(2) ∵D 是BC 的中点，且AB=AC ∴AD ⊥BC,又面ABC ⊥面11B BCC , 面
ABC
面11B BCC =BC
∴AD ⊥面11B BCC 从而AD ⊥DM, AD ⊥1DC ∴1MDC ∠为二面角1M AD C --的平面角 设正三棱柱的棱长为1，可求11555,,424
DM DC MC =
== 有222
11DM DC MC +=,∴1MDC ∠=
2
π ∴平面AMD ⊥平面1AC D ．……14分 ⒚（本小题16分）
解： 圆C ：2
2
(1)(2)9x y -++=，圆心(1,2)C - 半径为3， （1）因直线1l 过点(2,0)
①当直线斜率不存在时 1l ：2x = 此时1l 被圆C 截得的弦长为42
∴1l ：2x = …… 3分 ②当直线斜率存在时
可设1l 方程为(2)y k x =- 即20kx y k --=
由1l 被圆C 截得的弦长为42，则圆心C 到1l 的距离为22
423()12
-= ∴
2
2211k k k +-=+解得34
k =
∴1l 方程为3
(2)4
y x =
- 即3460x y --= 由上可知1l 方程为：2x =或3460x y --= ……8分
（2）设直线2l 的方程为y x b =+，代入圆C 的方程得22
()24()40x x b x x b ++-++-=． 即22
2(22)440x b x b b ++++-=（*）以AB 为直径的圆过原点O ，则OA ⊥OB ． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12120x x y y +=， ……10分 即1212()()0x x x b x b +++=
∴2
12122()0x x b x x b +++=
由（*）式得2121244
1,2
b b x x b x x +-+=--=
∴2244(1)0b b b b b +-+--+=即2
340b b +-=，∴4b =-或1b =……14分 将4b =-或1b =代入（*）方程，对应的△＞0．
故直线2l ：40x y --=或10x y -+=． ……16分 ⒛（本小题16分）
解：（文做理不做）
(1)取SD 中点G,连结AG,FG,则FG 1
//2CD AE ‖,
∴AEFG 为平行四边形,AG //EF,进而结论得证. ……6分
(2)连结AC 与BD 相交点O,取OC 中点H,连结SO,FH,EH 并延长EH 交CD 于点M,则SO ⊥底面ABCD,FH//SO, ∴FH ⊥底面ABCD.∴平面EFM ⊥底面ABCD. 由AB//CM 知，
31==AH CH AE CM ，∴MC=3
1AE=61AB=61
CD .∴当点M 位于CD 的6
1
处（距点C ）时，平面EFM ⊥底面ABCD. ……16分
（理做文不做）
（1）如图建立空间直角坐标系，
(0,0,1) (0,1,0) (1,1,0)P A B
∴1(0,,0)2E 31(,0,)22F
311
(,,)222
EF =- (0,1,1)AP =-
(1,0,0)AB = 设面PAB 的法向量(,,)n x y z =
则00n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00
y z x -+=⎧⎨=⎩∴0y z x =⎧⎨=⎩ 令1y = 则(0,1,1)n = ∵311
0()110222
n EF ⋅=
⨯+-⨯+⨯= ∴EF n ⊥ 又EF 不在面PAB 内 ∴EF ∥面PAB ……6分
（2）由（1）知面PAB 的一个法向量(0,1,1)n =，又11
(,1,)22
BF =-
∴cos ,n BF n BF n BF
⋅<>=
=⋅1326622
-
=-⨯
A
B
C
D
S
M
E
F ·
H
G
O
P
D A
B
C
M
F
E (20题理科)
∴直线BF 与平面PAB 所成角的正弦值为
3
6
……10分 （3）(0,0,1) (3,0,0) (0,,0)P C M a []0,3a ∈
(0,,1)PM a =- (1,1,1)PB =- (0,3
,1)PC =- 设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =
00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即0
30
x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y = 则(2,1,3)m = 则m =14 设平面PBM 的一个法向量为(,,)v x y z =
0v PB v PM ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即00x y z ay z +-=⎧⎨-=⎩
令1y = 则(1,1,)v a a =- 则v =2222a a -+ ∵二面角M PB C --的大小为60 ∴2511cos ,2
14222
m v a m v m v
a a ⋅-<>=
=
=
⨯-+即2
620a a --= 解得 23a =或
1
2a =-
∴2
3
a =……16分。