惠州市届高三第一次调研考试.文数

惠州市2017届高三第一次调研考试
数学（文科）
注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知},log |
{},16,8,4,2,1{2A x x y y B A ∈===，则=B A ()
(A) }2,1{
(B)
}8,4,2{
(C)
}4,2,1{
(D)
}8,4,2,1{
(2) 若复数z 满足)1()21(i z i -=+，则=||z ()
(A)
5
2 (B)
5
3 (C)
5
10 (D)
10
(3) 若21
)tan(,31tan =+=βαα
，则=βtan () (A) 71 (B) 61 (C) 7
5
(D)
6
5 (4) 函数
R x px x x y ∈+=,||()
(A) 是偶函数
(B) 是奇函数 (C) 不具有奇偶性
(D) 奇偶性与p 有关
(5) 若向量)2,1(+=x 和向量)1,1(-=平行，则=+||()
(A)
10
(B)
2
10 (C)
2
(D)
2
2 (6) 等比数列}{n a 的各项为正数，且187465=+a a a a 则=+++1032313log log log a a a ()
(A)
12
(B)
10
(C)
8
(D) 5log 23+
(7) 命题“任意0],2,1[2
≤-∈a x x ”为真命题的一个充分不必要条件是()
(A)
4≥a
(B)
4≤a
(C)
5≥a
(D)
5≤a
(8) 已知⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤--≥-020630y x y x y x ，则y
x z +=22的最小值是()
(A) 1
(B) 16
(C) 8
(D) 4
(9) 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为()
(A)
2 (B)
3- (C) 2
1-
(D) 3
1
(10) 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体
的表面积为()
(A) 2
)19(cm π+
(B) 2
)422(cm π+
(C) 2
)42610(cm π++ (D) 2
)42613(cm π++ (11) 已知三棱锥ABC S -的底面是以
AB 为斜边的等腰直角三角
形，2,2====SC SB SA AB ，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是() (A) 33 (B) 1
(C)
3
(D)
2
3
3 (12) 双曲线M ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的实轴的两个端点为
B A 、，
点P 为双曲线M 上除B A 、外的一个动点，若动点Q 满足PB QB PA QA ⊥⊥,，则动点Q 的轨迹为() (A) 圆
(B) 椭圆
(C) 双曲线
(D) 抛物线
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 给出下列不等式：
…………
则按此规律可猜想第n 个不等式为．
(14) 设)(x f 是定义在R 上的周期为3的函数，右图表示该函数在
区间]1,2(-上
的图像，则
=+)2016()2015(f f ．
(15) 已知2||,2||≤≤y x ，点P 的坐标为),(y x ，当R y x ∈,时，点P 满足4)2()2(2
2≤-+-y x 的概率
为．
(16) 设R n m ∈,，若直线01:=-+ny mx l 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l
与
圆
422=+y x 相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) （本小题满分12分）
已知函数
)2
,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>+=x x f 的部分图像如图所示．
(Ⅰ) 求函数)(x f 的解析式，并写出)(x f 的单调减区间； (Ⅱ)已知
A B C
∆的内角分别是，C B A ,,A 为锐角，且5
4
cos ,21)122(
==-B A f π，求C sin 的值． (18) （本小题满分12分）
为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95.
(Ⅰ) 作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；
(Ⅱ)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．
(19) （本小题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面,ABC ABC ∆为正三角形，
D AB AA ,61==为AC 的中
点．
(Ⅰ) 求证：平面⊥D BC 1平面;11A ACC (Ⅱ) 求三棱锥D BC C 1-的体积． (20) （本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32，短轴长为2
1
，直线l 与椭圆C
交于N M 、两点。

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 若直线l 与圆25
1:2
2=+y x O 相切，证明：MON ∠为定值．
(21) （本小题满分12分）
已知函数.,2ln 2
1)(2
R a x ax x f ∈--=
(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；
(Ⅱ) 若函数)(x f 有两个零点，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

(22) （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接AF BF 、并延长交⊙O 于点.,N M
(Ⅰ)求证：N F E B ,,,四点共圆；
(Ⅱ) 求证：.2
2AB BM BF AC =⋅+
(23) （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点)0,1(-P ，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为.05cos 62
=+-θρρ
(Ⅰ) 若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； (Ⅱ) 设),(y x M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．
(24) （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数.|1|)(-=ax x f
(Ⅰ) 若2)(≤x f 的解集为]2,6[-，求实数a 的值；
(Ⅱ) 当2=a 时，若存在R x ∈，使得不等式m x f x f 37)1()12(-≤--+成立，求实数m 的取值范
围．
分值
（文
科）参
考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1.【解析】2222
2.所以，故选C.
2.【解析】113||125i i z z i ---=
=⇒=+，故选C. 3.【解析】11
tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7
123
αβαβαβααβα-
+-=+-==
=+++⨯，故选A. 4.【解析】函数的定义域为R 关于原点对称，()()()[]()x f px x x x p x x x f
-=+-=-+--=-∴，故函数
()px x x x f +=是奇函数，故选B.
5.【解析】依题意得，(1)210x -+-⨯=，得x ＝－3，又(2,2)(1,1)(1,1)a b +=-+-=-,所以
||2a b +=，故选C.
6.【解析】564756189
a a a a a a +=∴=，
()()5
3132310312103563log log log log log 5log 910
a a a a
a a a a +
+
+====.
7.【解析】原命题等价于“2a x ≥对于任意[]1,2x ∈恒成立”，得4a ≥，故
选C.
8.【解析】如图，作出可行域（阴影部分），画出初始直线02:0=+y x
l ，平行移动0l ，可知经过点
)1,1(时，y x +2取得最小值3，22
8x y
+=，故选C.
9.【解析】11
1,3;2,;3,;4,2,23
k S k S k S k S ==-==-====以4为周期，
所以2016,2k
S ==，故选A.
10.【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的底面积为：1
22242
⨯⨯⨯=，侧面积为：3326⨯⨯=+；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：1212
ππ⨯
⨯⨯=，侧面积为：
33ππ⨯=；∴组合体的表面积是463410πππ+++=++故选C ．
11.【解析】由题意S 在平面ABC 内的射影为AB 的中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，3SH =1CH =，
在面
SHC 内作SC
的垂直平分线
MO ，则O 为S ABC -的外接球球心．2SC =，1SM ∴=，
x
30OSM ∠=︒
，SO OH ∴=
O 到平面ABC 的距离，故选A ． 12
(,),(,)QA x a y PA m a n =
---=---
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 111111
1 (234212)
n n +++++++>-14.2.15.16.3
13.【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为1
2
1n +-，不等式右边为首项为1，
公差为12
的等差数列，故猜想第n 个不等式为1111111.....234212n n +++++++>-
答案： 111111
1 (234212)
n n +++++++>-
14.【解析】由于f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，所以f (2015)＋f (2016)＝f (672×3-1)＋f (672×3+0)＝f (-1)＋f (0)，而由图像可知f (-1)＝2，f (0)＝0，所以f (2015)＋f (2016)＝2＋0＝2. 15.【解析】如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足
22(2)(2)4x y -+-≤的点的区域为以
(2,2)为圆心，2为半径的圆面(
含边界),∴
所求的概率211
244416
P ππ⨯==⨯.
16.【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即
=所以
123mn =
≥，所以16mn ≤，又11(,0),(0,)A B m n ，所以AOB ∆的面积为
1
32mn
≥，最小值为3.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解：（Ⅰ）由周期
12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω
==所以.2=ω………………2分
当π6x =
时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6
f x x =+ ………4分
由图像可得)(x f 的单调递减区间为π2ππ,π,.63k k k ⎡⎤
+
+∈⎢⎥⎦
⎣Z ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，ππsin(2(
))12126A -+=,即1
sin 2
A =,又A 为锐角,∴π
6A =
.…………8分
0πB <<，5
3
cos 1sin ,02=-=∴<<B B B π
.……………9分 )sin(sin B A C --=∴π)sin(B A +=…………10分
B A B A sin cos cos sin +=10
3
3453235421+=
⨯+⨯=
.…………12分 18.解：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示，…………3分 由样本得成绩在90以上频率为2
15
，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为
2
150015
⨯=200人.…………5分 （Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A ,B ,C ,D ,E ,F ,其中E ，F 的成
绩在90分以上（含90分），…………6分
成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，F }，{A ，
D ，
E }，{A ，E ，
F }，{B ,C ,D },{B ,C ,E },{B ,C ,F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，{D ，E ，F }，{B ，E ，F },{C ，E ，F }共20种，………8分
其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，
E }，{A ，C ，
F }，{A ，D ，F }，{A ，D ，E }，{B ,C ,E },{B ,C ,F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，
F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }共12种，…………10分
∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为
1220=3
5
.…………12分 19．解：（Ⅰ）证明：因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BD ⊥……………2分 因为底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点,所以BD AC ⊥……………4分 因为A AC AA =⋂1，所以BD ⊥平面11ACC A ………………5分
因为平面BD ⊂平面1BC D ,所以平面1BC D ⊥平面11ACC A …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆中，BD AC ⊥
，sin 60BD BC =︒=
所以132BCD S ∆=
⨯⨯=………………………………9分
所以11
163C BC D C C BD V V --===分 20.解：（Ⅰ）由题意得4
1,31,212,322==∴==b a b a 11692
2=+∴y x …………4分
A1
（Ⅱ）当直线x l ⊥轴时，因为直线与圆相切，所以直线l 方程为5
1
±=x 。

…………5分
当51:=x l 时，得M 、N 两点坐标分别为⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛51,51,51,51，20π=∠∴=∙∴MON ON OM , (6)
分
当51:-=x
l 时，同理2
π
=∠MON ；…………7分
当l 与x 轴不垂直时，
设()),(,,,:2211y x N y x M m kx y l +=，由5
112
=
+=
k m d
,2
2125k m +=∴,………8分 联立⎩⎨
⎧=++=1
1692
2y x m
kx y 得(
)01163216922
2
=-+++m kmx x
k
…………9分
()2
212
2
2
16932,0)116)(169(432k
km
x x m k km +-=+>-+-=∆，2221169116k m x x +-=，…………10分 ()
2
212122121)(1m x x km x x k y y x x ++++=+=∙∴=
01691252
22=+--k k m 2
π
=
∠∴MON …………11分
综上，2
π
=
∠MON （定值）…………12分
21.解：（Ⅰ）01
1)(2>-=-='x x
ax x ax x f ，……………1分
①
当
)0()(,0)(0∞+<'≤，在时，x f x f a 上单调递减；………………2分
② 当a
a
x x f a =
='>解得时，令,0)(0.…………3分 0)()(0)()0(>'∞+∈<'∈x f a
a
x x f a a x 时，，；当时，，当.…………4分
内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴a
a
a a x f …………5分
综上：当)()(∞+≤，在
时，00x f a 上单调递减； 当a>0时，内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴a
a
a a x f …………6分
（Ⅱ）当0时，a ≤由（Ⅰ）得()在（0，+)f x ¥上单调递减，函数)(x f 不可能有两个零点；………7分
当a>0
时，由（Ⅰ）得，()(0)f x +∞函数在内单调递减，在内单调递增，
且当x 趋近于0
和正无穷大时，)(x f 都趋近于正无穷大，………8分
故若要使函数)(x f 有两个零点，则)(x f
的极小值0f <，………………10分 即
11
ln -2022
a +<，解得30e a <<, 综上所述，a 的取值范围是)0(3
e ，…………………12分
22.解：（Ⅰ）证明:连接BN ，则AN BN ⊥，……………2分 又,CD AB ⊥
则90BEF BNF ∠=∠=，……………4分
即180
BEF BNF
∠+∠=，则,,,B E F N 四点共圆．……………5分
（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知2
,AC AE AB =⋅……………6分
相似可知：
BF BE
BA BM
=，()BF BM BA BE BA BA EA ==-, 2BF BM AB AB AE ⋅=-⋅……………8分
2222BF BM AB AC AC BF BM AB ∴⋅=-+⋅=,即……………10分
23.解：（Ⅰ）将C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标为22650x y x +-+=…1分
直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t α
α=-+⎧⎨
=⎩
为参数）……………2分
将直线的参数方程代入曲线C 的方程整理得28cos 120t t α-+=………3分
直线与曲线有公共点，264cos 480α∴∆=-≥,
得cos cos 22
αα≥
≤-
或 [0,),απα∈∴的取值范围为5[0,],66πππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.……………5分
（Ⅱ）曲线的方程2
2
2
2
650(3)4x y x x y +-+=-+=化为，
其参数方程为32cos (2sin x y θ
θθ=+⎧⎨
=⎩
为参数）
……………7分
(,)M x y 为曲线C 上任意一点，32cos 2sin 34x y πθθθ⎛
⎫∴+=++=++ ⎪⎝
⎭.……9分
A B C
D
M
N
E F O
x y +
的取值范围是[3-+……………10分
24.解：（Ⅰ）显然0a ≠，……………1分
当0a >时，解集为13[,]a a -，136,2a a
-=-=，无解；……………3分 当0a <时，解集为31[,]a a -，令132,6a a -==-，12a =-， 综上所述，12
a =-.……………5分 （Ⅱ）当2a =时，令()(21)(1)4123h x f x f x x x =+--=+--124,41362,42324,2x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩
…………7分 由此可知，()h x 在1(,)4-∞-单调减，在13(,)42-和3(,)2
+∞单调增， 则当14x =-时，()h x 取到最小值72
-，……………8分 由题意知，7732m -
≤-，则实数m 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦……………10分。