(人教版)长沙市八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测(有答案解析)

一、选择题
1．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）．
A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3
B ．AB
C 中，222AB BC AC +=
C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC ==
= 2．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ） A ．三个内角之比为1︰2︰3
B ．一边上的中线等于该边的一半
C ．三边为111,,12135
D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、
3．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ．其中11S =，23S =，52S =，64S =，则34S S +=（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC
的值为（ ）
A ．3
52 B ．512 C 5 1 D ．512
5．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）
A ．13.5尺
B ．14尺
C ．14.5尺
D ．15尺
6．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角
形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ） A ．3:1:2 B ．2:3:7 C ．2:1:5 D ．无法确定 8．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．
A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．以上都不对 9．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足：23|4|10250a b c c -+-+-+=，则c 边上的高为（ ）
A ．1.2
B ．2
C ．2.4
D ．4.8
10．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）
A ．3
B ．4
C ．4.6
D ．511．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D
E 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连
接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
12．如图，长方形ABCD 中，43,4AB BC ==，点E 是DC 边上的动点，现将BCE 沿直线BE 折叠，使点C 落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
二、填空题
13．在直角坐标系中，点A (2，－2)与点B （－2，1)之间的距离AB =__________． 14．如图，已知OA OB =，若点A 对应的数是a ，则a 与52-的大小关系是a ____52
-．
15．平面直角坐标系中，点()()4,2,2,4A B -，点(),0P
x 在x 轴上运动，则AP BP +的
最小值是_________．
16．如图，在直角ABC 中，90B ∠=︒，AE 平分BAC ∠，交BC 边于点E ，若5BC =，13AC =，则AEC 的面积是________．
17．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．
18．如图，点G 为△ABC 的重心．如果AG ＝CG ，BG ＝2，AC ＝4，那么AB 的长等于_________．
19．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD 中6AB =，15CD =，那么BC =_____，AD =_______才能实现上述的折叠变化．
20．直角三角形两边长分别为3和4，则它的周长为__________．
三、解答题
21．在ABC 中，AB c =，BC a =，AC b =．如图1，若90C ∠=︒时，根据勾股定理有222+=a b c ．
（1）如图2，当ABC 为锐角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；
（2）如图3，当ABC 为钝角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD ，已知90B ∠=︒，80AB =米，60BC =米，90CD =米，110AD =米，求这块试验田的面积．
22．如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1则每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，3，5，22；
（2）在图2中，线段AB 的端点在格点上，请画出以AB 为一边的三角形使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）；
（3）在图3中，MNP △的顶点M ，N 在格点上，P 在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格的面积？
23．如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AD 于点E ．
（1）△AOB 与△DOC 全等吗?请说明理由；
（2）若OA=3，AD=4，求△AOD 的面积．
24．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求EF 的长．
25．如图，已知ABC 中，90ACB ︒∠=，过点B 作//BD AC ，交ACB ∠的平分线CD 于点D CD ，交BC 于点E ．
（1）求证：BC BD =；
（2）若36AC AB ==，，求CD 的长．
26．如图，△ABC 中，AB ＝42，∠ABC ＝45°，D 是BC 边上一点，且AD ＝AC ，若BD ﹣DC ＝1．求DC 的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可．
【详解】
解：A 选项：
ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，
ABC ∴是直角三角形． B 选项：∵在ABC 中，222AB BC AC +=，
ABC ∴是直角三角形．
C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，
∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，
又180A B C ︒∠+∠+∠=，
12180x ︒∴=,
345x ︒=，
460x ︒=，
575x ︒=，
ABC ∴不是直角三角形．
D 选项：在ABC 中，1,AB BC AC ===
222AB BC AC ∴+=，
ABC ∴是直角三角形．
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故C 符合题意； 三边长的关系为()()()()222222220m
n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 3．A
解析：A
【分析】
由题意可得S 1+S 2=S 3， S 5+S 6=S 4，然后根据S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4，然后求出S 3+S 4的值即可．
【详解】
解：如图：
∵S 1=a 2，S 2=b 2，S 3=c 2，
∴a 2+b 2=c 2，即S 1+S 2=S 3，
同理可得：S 5+S 6=S 4，
∵S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4
∴S 3+S 4=（1+3）+（2+4）=4+6=10．
故答案为A ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用以及正方形的面积、圆的面积的解法，审清题意、灵活运用数形结合的思想成为解答本题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．
【详解】
解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴
==
∵BD=BC=1，
∴
1-，
∴12
AE AC =， 故选B ．
【点睛】
本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【详解】
解：设绳索有x 尺长，则
102+（x+1-5）2=x 2，
解得：x=14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
6．B
解析：B
【分析】
由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．
【详解】
∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，
∴AC=22226810AB BC =+=＋，
∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，
∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，
∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，
在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，
∵BD 2＋BE 2＝DE 2，
∴（8−x ）2＋42＝x 2，
解得：x ＝5，
∴DE ＝5．
故选B ．
【点睛】
本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则CE=a ，BE=2a ，在Rt △BCE 中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出．
【详解】
解：如图①，作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，
∵∠ACB=90°，
∴12
CF AB AB =
≠， 又在Rt △ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，
,AD BC ∴≠ ∴满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，
设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===
在Rt △BCE 中∠BCE=90°，
∴223,BC BE CE a =-
在Rt △ABC 中，,AB ===
∴AC ：BC ：AB=22a =
故选：B ．
【点睛】
考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．
8．C
解析：C 【分析】
根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．
【详解】
∵30m -=，30m -≥≥，
∴m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；
当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=
故选：C ．
【点睛】
此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．
9．C
解析：C
【分析】
先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出a 、b 、c 的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c 边上的高，利用面积求解即可．
【详解】
2|4|10250b c c -+-+=()2
|4|50b c -+-=，
()2
|4|50b c -+-=，
30a ∴-=，40b -=，50c -=，
解得：3a =，4b =，5c =，
22222291653452a b c =+=+=+==，
ABC ∆∴是直角三角形，
设C 边上的高为h ，
由直角三角形ABC的面积为：11
22
c h a b
=，
整理得
3412
===2.4
55
a b
h
c
⨯
=，
c
∴边上的高为：2.4，
故选择：C．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求a、b、c的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
设点P（x，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．
【详解】
解：设点P（x，0），
根据题意得，x2+22=(5﹣x)2+52，
解得：x=4.6，
∴OP=4.6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．11．C
解析：C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB
=，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】
解：DE是AB的垂直平分线，
DA DB
∴=，
ACD
∆的周长为17，
17
AC CD AD
∴++=，
17
AC CD DB AC BC
∴++=+=，
5
AC=，
17512
BC
∴=-=，
由勾股定理得，13
AB==，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
连接DB ，DF ，根据三角形三边关系可得DF+BF ＞DB ，得到当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：连接DB ，DF ，
在△FDB 中，DF+BF ＞DB ，
由折叠的性质可知，FB=CB=4，
∴当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，
在Rt △DCB 中，228BD DC BC +=，
此时DF=8-4=4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理，三角形三边关系．翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 二、填空题
13．【分析】直接运用两点间的距离公式求解即可【详解】解：∵(2－2)（－
21)∴AB=故答案为5【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式牢记两点间的距离公式是解答本题的关键
解析：【分析】
直接运用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
解：∵A (2，－2)、B （－2，1)
∴()()()22222221435--+--=+-=⎡⎤⎣⎦
． 故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离公式，牢记两点间的距离公式是解答本题的关键． 14．＞【分析】根据勾股定理求出OB 长确定点A 表示的数再用估算法比较大
小即可【详解】解：由图可知∴则点A 表示的数为∵∴∴故答案为：＞【点睛】本题考查了勾股定理实数在数轴上的表示和实数大小的比较熟练的运用勾 解析：＞
【分析】
根据勾股定理求出OB 长，确定点A 表示的数，再用估算法比较大小即可．
【详解】
解：由图可知，OB = ∴
OA OB ==
A 表示的数为
∵225()2<，
∴52
<，
∴52
>-
， 故答案为：＞．
【点睛】 本题考查了勾股定理、实数在数轴上的表示和实数大小的比较，熟练的运用勾股定理求出OB 长，确定A 点表示的数，能够利用算术平方根与被开方数大小之间的关系是解题关键．
15．【分析】根据题意先做点A 关于x 轴的对称点求出坐标连结A′B 交x 轴于C 用勾股定理求出A′B 即可【详解】解：如图根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇连结A′B 交x 轴于C=A′P+BP≥A′B 得到A ＇(-4
解析：
【分析】
根据题意先做点A 关于x 轴的对称点'A ，求出'A 坐标，连结A′B ，交x 轴于C ，用勾股定理求出A′B 即可．
【详解】
解：如图
根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇,连结A′B ，交x 轴于C ，
AP BP +=A′P+BP≥A′B ，
得到A ＇(-4，-2)，
当点P 与C 点重合时，PA+PB 最短，点B （2，4）
由勾股定理()()222+4+4+2=62
AP BP +的最小值为：62
故答案为： 2
【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称，两点之间线段最短，勾股定理的应用，正确转化AP BP +的值最小是解题的关键．
16．【分析】如图（见解析）先利用勾股定理可得再根据角平分线的性质可得然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得从而可得设在中利用勾股定理可求出x 的值最后利用三角形的面积公式即可得【详解】如图过点E 作于点 解析：785
【分析】
如图（见解析），先利用勾股定理可得12AB =，再根据角平分线的性质可得BE DE =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得12AD AB ==，从而可得1CD =，设DE BE x ==，在Rt CDE △中，利用勾股定理可求出x 的值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
如图，过点E 作ED AC ⊥于点D ，
在Rt ABC 中，90,5,13B BC AC ∠=︒==，
2212AB AC BC ∴=-=，
AE ∵平分BAC ∠，且,90ED AC B ⊥∠=︒，
BE DE ∴=，
在Rt ABE △和Rt ADE △中，BE DE AE AE =⎧⎨=⎩
， ()Rt ABE Rt ADE HL ∴≅，
12AD AB ∴==，
1CD AC AD ∴=-=，
设DE BE x ==，则5CE BC BE x =-=-，
在Rt CDE △中，222CD DE CE +=，即2221(5)x x +=-， 解得125x =
， 即125
DE =， 则AEC 的面积是
111278132255AC DE ⋅=⨯⨯=， 故答案为：
785
． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
17．150°【分析】由可知：PA ＝P′A ∠P′AB ＝∠PACBP′=CP 然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°从而可得到△APP′为等边三角形可求得PP′由△APP′为等边三角形得∠APP
解析：150°
【分析】
由P AB PAC '≌△△可知：PA ＝P′A ，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP ，然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B 中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB ＝90°，进而可求∠APB 的度数．
【详解】
连接PP′，
∵P AB PAC '≌△△，
∴PA ＝P′A=6，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP=10，
∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP ＝AP′＝6，
又∵8PB =，
∴PP′2＋BP 2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
18．【分析】先延长BG 交AC 与点D 再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG 得出BD ⊥AC 再利用勾股定理求出AB 的长【详解】解：（如图）延长BG 交AC 与点D ∵点G 为△ABC 的重心BG=2∴AD=C 解析：13
【分析】
先延长BG 交AC 与点D ，再根据重心的性质得出BD =3；证∆ADG ≅∆CDG ，得出BD ⊥AC ，再利用勾股定理求出AB 的长．
【详解】
解：（如图）延长BG 交AC 与点D ，
∵点G 为△ABC 的重心，BG =2,
∴AD =CD ，BD =3，
又∵AG ＝CG ，GD =GD ，
∴∆ADG ≅∆CDG ，
∴∠ADG =∠CDG ，
∴BD ⊥AC ，
∵AC ＝4，
∴AD =2，
∴AB
【点睛】
本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD 、AD 的长以及证明∆ADG ≅∆CDG 是解决本题的关键．
19．39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC 进而组成方程组求出即可【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2即（6+BC ）2+152=AD2①又由图
解析：39
【分析】
根据已知得出图形得出AC 2+CD 2=AD 2，以及AB+AD=CD+BC ，进而组成方程组求出即可．
【详解】
解：由图2的第一个图形得：AC 2+CD 2=AD 2，
即（6+BC ）2+152=AD 2①，
又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC ，
即6+AD=15+BC ②，
联立①②组成方程组得：
()222
615615BC AD AD BC
⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得：3039BC AD =⎧⎨=⎩
， 故BC ，AD 分别取30和39时，才能实现上述变化，
故答案为：30，39．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．
20．12或7+【分析】分两种情况求出第三边即可求出周长【详解】分两种情况：①当3和4都是直角边时第三边长==5故三角形的周长=3+4+5=12；②当3是直角边4是斜边时第三边长故三角形的周长=3+4+=
解析：12或
【分析】
分两种情况求出第三边，即可求出周长．
【详解】
分两种情况：
①当3和4都是直角边时，第三边长=2234+=5，故三角形的周长=3+4+5=12； ②当3是直角边，4是斜边时，第三边长22437=-=，故三角形的周长
=3+4+7=7+7，
故答案为：12或7+7．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，题中不明确所给边长为直角三角形的直角边或是斜边时，应分情况讨论求解．
三、解答题
21．（1）猜想：222a b c +> ，证明见解析；（2）猜想：222+b a c <，证明见解析；（3）四边形ABCD 的面积是()
240030002+米2．
【分析】
（1）先作高线如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，构造两个直角三角形，设CD x =，
则BD a x =-，由勾股定理和AD 构造等式2222()b x c a x -=-- ，利用放缩法可得 222b a c +>
（2）先作高线如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，构造两个直角三角
形设CD y =，则BD a y =+，利用勾股定得2222()b y c a y -=-+，整理得，
2222b a c ay +=-利用放缩法222b a c +<
（3）如图4，连接AC ．过点D 作DE AC ⊥于点E ，由勾股定理求出100AC = 设AE x =，则EC=100-x ，由勾股定理构造方程222211090(100)x x -=--，解方程的70x =，再求出DE ，利用分割法求面即可
【详解】
解：（1）猜想：222a b c +> ，
证明：如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设CD x =，则BD a x =-，
在Rt ACD △中，有222b x AD -=,
在Rt ABD △中，有222()c a x AD --= ，
∴2222()b x c a x -=-- ，
解之：2222b a c ax +=+，
∵a b c x ，，，均为正数，∴222b a c +> ；
（2）猜想：222b a c +<
证明：如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，设CD y =，则BD a y =+，
在Rt ACD △中，有222
b y AD -=，
在Rt ABD △中，有222()c a y AD -+= ， ∴2222()b y c a y -=-+，
解之：222
2b a c ay +=-，
∵a b c y ，，，均为正数，∴222b a c +< ；
（3）如图4，连接AC ．
在Rt ABC 中，有222AC AB BC =+，
∴222806010000AC =+=，
∵0AC >，∴100AC = ，
过点D 作DE AC ⊥于点E ，
设AE x =，则EC=100-x ，
在Rt ADE 中，有222AD AE DE -=，即222110x DE -=，
在Rt CDE △中，有222CD CE DE -=，即22290(100)x DE --= ，
∴222211090(100)x x -=--，
解之：70x =，
在Rt ADE 中，有2222211070DE AD AE =-=-，
∴DE=602±
∴DE=602， ∴1122
ABC ADC ABCD S S S AB BC AC DE =+=⨯⨯+⨯⨯四边形，
=
11
6080100602 22
=⨯⨯+⨯⨯，
=240030002
+（米2），
∴四边形ABCD的面积是()
240030002
+米2．
【点睛】
本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）可先画长度为3的线段，根据勾股定理可得5为长为2，宽为1的矩形的对角线，22是边长为2的正方形的对角线，画图即可；
（2）画高为3的三角形即可；
（3）首先求出△MNP的面积，进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示：
（3）△MNP的面积为：1
54
2
⨯⨯=10，
故这个小三角形的面积相当于10个小正方形的面积．
【点睛】
本题考查无理数概念、勾股定理的应用、三角形的面积，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
23．（1）△AOB ≌△DOC ，理由见解析；（2）△AOD 的面积为
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AO=DO ，根据等腰三角形的性质得到AE=
12AD=2，由勾
股定理得到OE =
=
【详解】
（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， AOB COD B C
AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， 所以△AOB ≌△DOC （AAS ）；
（2）因为△AOB ≌△DOC ，
所以AO ＝DO ，
因为OE ⊥AD 于点E ．
所以AE 12=
AD ＝2， 所以
OE ==
所以S △
AOD 142=
⨯=
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24．5cm
【分析】
先根据折叠求出AF ＝10，进而用勾股定理求出BF ，即可求出CF ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ＝BC ＝10cm ，CD ＝AB ＝8cm ，
由折叠可知：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，
∴∠AFE ＝90°，AF ＝10cm ，EF ＝DE ，
设EF ＝xcm ，则DE ＝EF ＝xcm ，CE ＝CD ﹣CE ＝（8﹣x ）cm ，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF 2＝AF 2，
即82+BF 2＝102，
∴BF ＝6cm ，
∴CF ＝BC ﹣BF ＝10﹣6＝4（cm ），
在Rt △ECF 中，由勾股定理可得：EF 2＝CE 2+CF 2，
即x 2＝（8﹣x ）2+42
，
∴x ＝5
即：EF 的长为5cm ．
【点睛】 本题考查勾股定理、图形的翻折变换、全等三角形，方程思想等知识点，关键是熟练掌握勾股定理，运用方程求解．
25．（1）见详解；（2）36【分析】
（1）由平行线的性质得∠ACD=∠BDC ，根据平分线的性质得∠ACD=∠BCD ，进而即可得到结论；
（2）先证明∠CBD=90°，结合勾股定理，即可求解．
【详解】
（1）∵// BD AC ，
∴∠ACD=∠BDC ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠ACD=∠BCD ，
∴∠BDC=∠BCD ，
∴BC BD =；
（2）∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠CBD=180°-90°=90°，
∵在Rt ABC 中，22226333BC AB AC =
-=-=， ∴BC BD ==33
∴在Rt BCD △中，2236CD BC BD =
+=． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 26．DC ＝2．
【分析】
过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则∠AEB=90°，DE=CE ，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理可求出BE 的长，即BD+
12
DC=4，结合BD-DC=1可求出DC 的长．
【详解】
解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示．
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE．
在Rt△ABE中，AB＝2
∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（2）2，
∴BE＝4，
∴BD+1
DC＝4．
2
又∵BD﹣DC＝1，
∴DC+1+1
DC＝4，
2
∴DC＝2．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．。