2021届人教A版(文科数学) 三角函数与解三角形 单元测试

1．(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos(B －π6)．
(1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．
解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B
， 可得b sin A ＝a sin B .
又由b sin A ＝a cos(B －π6)，得a sin B ＝a cos (B －π6
)， 即sin B ＝cos (B －π6)，所以sin B ＝32cos B ＋12
sin B ，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3
. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3
， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.
由b sin A ＝a cos(B －π6)，可得sin A ＝37
. 因为a <c ，所以cos A ＝2
7 . 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437
， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17
. 所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314
. 2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
A 2＝1，a ＝23，求△ABC 的面积的最大值并说明此时△ABC 的形状．
解：(1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )，
又b ＝(－sin x ，3sin x )，
则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x
＝12(1－cos 2x )＋3
2sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π
6＋1
2，
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π，
当2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝π3＋k π(k ∈Z)时，f (x )取最大值3
2.
(2)在锐角△ABC 中，
因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A
2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π
6＋1
2＝1，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π
6＝12，知A ＝π
3.
因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
所以12＝b 2＋c 2－bc ，
所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，
所以bc ≤12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，
所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3
4bc ≤3 3.
所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值，最大值为3 3.。