等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)

等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q
推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--=
=
-- 11''11n n n a a
q A A B A B A q q
=
-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1(0){}n n n n n n
a a qa q q a a a ++==≠⇔或
为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：
（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
等差和等比数列比较：
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和
q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a . 解析：
法一：设此数列公比为q ，则8
191126
371164
(1)20
(2)
a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩
由(2)得：241(1)20a q q +=..........(3) ∴10a >.
由(1)得：421()64a q = , ∴418a q = (4)
(3)÷(4)得：42120582
q q +=
=， ∴422520q q -+=,解得22q =或21
2
q =
当22q =时，12a =，1011164a a q =⋅=； 当21
2
q =
时，132a =，101111a a q =⋅=. 法二：∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=,
∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根，
∴⎩⎨⎧==41673a a 或 ⎩⎨⎧==16
473a a
∵2
3117a a a ⋅=, ∴27113
1a a a ==或1164a =.
总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三：
【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【答案】±96
法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8=256，∴q=±2，∴a 6=±96； 法二：a 52=a 1a 9⇒a 5=±48⇒q=±2，∴a 6=±96。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【答案】64；
∵2
18945
16a a a ==，又a n ＞0，∴a 45=4 ∴3
44454645
64a a a a ==。

【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

【答案】12n n a -=或32n n a -=；
法一：∵2132a a a =，∴3
1232
8a a a a ==，∴22a = 从而13135
,4a a a a +=⎧⎨
=⎩解之得11a =，34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时，1
2
q =。

故12n n a -=或32n n a -=。

法二：由等比数列的定义知21a a q =，231a a q =
代入已知得2
1112
1117
8
a a q a q a a q a q ⎧++=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩ 21331(1)7,8
a q q a q ⎧++=⎪⇒⎨=⎪⎩2
11(1)7,(1)2(2)a q q a q ⎧++=⇒⎨=⎩
将12
a q
=
代入（1）得22520q q -+=， 解得2q =或12
q =
由（2）得112a q =⎧⎨=⎩或1
4
12a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，以下同方法一。

类型二：等比数列的前n 项和公式
例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.
因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)
111a q a q a q q q q
---+=---，
整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，
由q≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，
因q 3
≠1，故3
1
2
q =-
，所以2q =-。

举一反三：
【变式1】求等比数列11
1,,,
39的前6项和。

【答案】
364
243
； ∵11a =，1
3
q =，6n =
∴66
6111331364112324313
S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。

【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】121
1219
或
； ∵32
2273a a =⇒=，31(1)1
13313
a q q q q -=
⇒==-或，则a 1=1或a 1=9 ∴5555191131213121S 113913
S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==-－或＝＝－.
【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和q 。

【答案】1
2
q =
或2，6n =； ∵211n n a a a a -⋅=⋅，∴1128n a a =
解方程组1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩，得1642n a a =⎧⎨=⎩ 或12
64n a a =⎧⎨=⎩
①将1642n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得1
2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =；
②将1264n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q
S q -=-，得2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =。

∴1
2
q =
或2，6n =。

类型三：等比数列的性质
例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：
∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==
举一反三：
【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________. 【答案】100；
∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100) 而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51
∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。

【变式2】在83和27
2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
________。

【答案】216；
法一：设这个等比数列为{}n a ，其公比为q ，
∵183a =，445127823a a q q ===⋅，∴48116q =，29
4
q =
∴23362341111a a a a q a q a q a q ⋅⋅=⋅⋅=⋅3
3
389621634⎛⎫
⎛⎫
=⋅== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭。

法二：设这个等比数列为{}n a ，公比为q ，则183a =，527
2a =，
加入的三项分别为2a ，3a ，4a ，
由题意1a ，3a ，5a 也成等比数列，∴2
38273632
a =⨯=，故36a =，
∴232343
33216a a a a a a ⋅⋅=⋅==。

类型四：等比数列前n 项和公式的性质
例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。

解析：
法一：令b 1=S n =48, b 2=S 2n -S n =60-48=12，b 3=S 3n -S 2n 观察b 1=a 1+a 2+……+a n ,
b 2=a n+1+a n+2+……+a 2n =q n (a 1+a 2+……+a n )， b 3=a 2n+1+a 2n+2+……+a 3n =q 2n (a 1+a 2+……+a n )
易知b 1,b 2,b 3成等比数列，∴2
2
23112348
b b b ===，
∴S 3n =b 3+S 2n =3+60=63. 法二：∵22n n S S ≠，∴1q ≠，
由已知得121(1)
481(1)601n n
a q q a q q ⎧-=⎪
-⎪
⎨-⎪=⎪-⎩①② ②÷①得514n q +=，即1
4
n q = ③ ③代入①得
1
641a q
=-， ∴3133(1)1
64(1)6314
n n a q S q -=
=-=-。

法三：∵{}n a 为等比数列，∴n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列， ∴2232()()n n n n n S S S S S -=-，
∴22
232()(6048)606348n n n n n S S S S S --=+=+=。

举一反三：
【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________. 【答案】17；
S 8=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8=S 4+a 1q 4+a 2q 4+a 3q 4+a 4q 4=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4)=S 4+q 4S 4=S 4(1+q 4)=1×(1+24)=17 【变式2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且S 10=10, S 20=40,求：S 30=
【答案】130；
法一：S 10，S 20-S 10，S 30-S 20构成等比数列，∴(S 20-S 10)2=S 10·(S 30-S 20) 即302=10(S 30-40),∴S 30=130. 法二：∵2S 10≠S 20，∴1q ≠, ∵101)
1(10110
=--=q
q a S ,20120(1)401a q S q -=
=-, ∴102011,14q q -=-∴10
3q =,∴511-=-q
a ∴ 130)31)(5(1)
1(330130
=--=--=q
q a S .
【变式3】等比数列{}n a 的项都是正数，若S n =80, S 2n =6560，前n 项中最大的一项为54，求n.
【答案】∵
6560802=n n S S ，∴1q ≠(否则2
1
2=n n S S ) ∴1(1)
1n n a q S q
-=-=80 (1)
212(1)1n n a q S q
-=-=6560.........(2)，
(2)÷(1)得：1+q n =82,∴q n =81......(3) ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{a n }为递增数列，∴a n 为最大项54. ∴a n =a 1q n-1=54,∴a 1q n =54q, ∴81a 1=54q..........(4) ∴1542813a q q =
=代入(1)得2
(181)80(1)3
q q -=-， ∴q=3,∴n=4.
【变式4】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________. 【答案】4；
令b 1=a 1+a 2=a 1(1+q)，b 2=a 3+a 4=a 1q 2(1+q),b 3=a 5+a 6=a 1q 4(1+q),
易知：b 1, b 2, b 3成等比数列，∴b 3=122b b =324
362
=4,即a 5+a 6=4.
【变式5】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。

【答案】448；
∵{a n }是等比数列，∴(a 4+a 5+a 6)=(a 1+a 2+a 3)q 3,∴q 3=8, ∴a 7+a 8+a 9=(a 4+a 5+a 6)q 3=56×8=448. 类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式. 解析：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列.
∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++-=)2.().........
)(()4()1.().........32)((2
2d a d a a d a d a a 由(2)得a=8
162+d (3)
由(1)得32a=d 2+32d (4)
(3)代(4)消a ，解得8
3
d =或d=8.
∴当83d =时,26
9a =；当d=8时,a=10
∴原来三个数为92,926,9
338
或2,10,50.
法二：设原来三个数为a, aq, aq 2，则a, aq,aq 2-32成等差数列，a, aq-4, aq 2-32成等比数列
∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=)2)......(
32()4()1........(3222
22
aq a aq aq a aq 由(2)得2
4
a q =
-，代入(1)解得q=5或q=13
当q=5时a=2；当q=13时29
a =. ∴原来三个数为2，10，50或
92，926,9
338. 总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d ；若三数成等比数列，可设此三数为y
x
，x, xy 。

但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a ，公比q 来解决问题反而简便。

举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【答案】为2，6，18或21050
,,999
-；
设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2；
则 2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)； 解得a=2，q=3或2
9
a =
，q=-5； 故所求的等比数列为2，6，18或21050
,,999
-.
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1
设这三个数分别为,,a
a aq q
，
由已知得22222
27
91a
a aq q a a a q q ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩
22
231(1)91a a q q =⎧⎪
⇒⎨++=⎪⎩ 得4298290q q -+=，所以29q =或219
q =
， 即3q =±或1
3
q =±
故所求三个数为：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。

【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数. 【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
∴⎩⎨⎧-=--+=)2).......(
16()12()1.......(
1222
x y y y x y 由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y 2=y(16-3y+12) ∴144-24y+y 2=-3y 2+28y, ∴4y 2-52y+144=0, ∴y 2-13y+36=0, ∴ y=4或9， ∴ x=0或15，
∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明
例6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：log 5(S n +1)=n(n∈N +),求出数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是何种数列？
思路点拨：由数列{a n }的前n 项和S n 可求数列的通项公式，通过通项公式判断{a n }类型. 解析：∵log 5(S n +1)=n,∴S n +1=5n ,∴S n =5n -1 (n∈N +), ∴a 1=S 1=51-1=4,
当n≥2时，a n =S n -S n-1=(5n -1)-(5n-1-1)=5n -5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1 而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a 1, ∴n∈N +时，a n =4×5n-1
由上述通项公式，可知{a n }为首项为4，公比为5的等比数列. 举一反三：
【变式1】已知数列{C n }，其中C n =2n +3n ，且数列{C n+1-pC n }为等比数列，求常数p 。

【答案】p=2或p=3； ∵{C n+1-pC n }是等比数列，
∴对任意n∈N 且n≥2，有(C n+1-pC n )2=(C n+2-pC n+1)(C n -pC n-1)
∵C n =2n +3n ,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n +3n )]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n +3n )-p(2n-1+3n-1)] 即[(2-p)·2n
+(3-p)·3n ]2
=[(2-p)·2n+1
+(3-p)·3n+1
]·[(2-p)·2n-1
+(3-p)·3n-1
]
整理得：1
(2)(3)2306n n p p --⋅⋅=,解得：p=2或p=3,
显然C n+1-pC n ≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n =a n +b n ,证明数列{C n }不是等比数列. 【证明】设数列{a n }、{b n }的公比分别为p, q ，且p≠q 为证{C n }不是等比数列，只需证2132C C C ⋅≠.
∵2
222222
111111()2C a p b q a p b q a b pq =+=++,
222222221311111111()()()C C a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++
∴22132
11()C C C a b p q ⋅-=-, 又∵ p≠q, a 1≠0, b 1≠0,
∴21320C C C ⋅-≠即2132C C C ⋅≠
∴数列{C n }不是等比数列.
【变式3】判断正误：
(1){a n }为等比数列⇒a 7=a 3a 4；
(2)若b 2=ac ，则a ，b ，c 为等比数列；
(3){a n }，{b n }均为等比数列，则{a n b n }为等比数列；
(4){a n }是公比为q 的等比数列，则2{}n a 、1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
仍为等比数列； (5)若a ，b ，c 成等比，则log m a ，log m b ，log m c 成等差.
【答案】
(1)错；a 7=a 1q 6，a 3a 4=a 1q 2·a 1q 3=a 12q 5，等比数列的下标和性质要求项数相同；
(2)错；反例：02=0×0，不能说0，0，0成等比；
(3)对；{a n b n }首项为a 1b 1，公比为q 1q 2；
(4)对；2211211,1n n n n
a a q a q
a ++==； (5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但log m (-2)无意义.
类型七：S n 与a n 的关系
例7．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足21056n n
n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .
解析：∵21056n n
n S a a =++， ① ∴21111056a a a =++，解之得a 1=2或a 1=3.
又21111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②
由①-②得221110()5()n n n n n a a a a a --=-+-，即11()(5)0n n n n a a a a --+--=
∵a n +a n-1＞0，∴a n -a n-1=5(n≥2).
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1，a 3，a 15不成等比数列
∴a 1≠3；
当a 1=2时，a 3=12，a 15=72，有a 32=a 1a 15，
∴a 1=2，∴a n =5n-3.
总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)
n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，尤
其注意首项与其他各项的关系.
举一反三：
【变式】命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =na-n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列。

上述两个命题中，
真命题为 个.
【答案】0；
由命题1得，a 1=a+b ，当n≥2时，a n =S n -S n-1=(a-1)·a n-1.
若{a n }是等比数列，则21a a a =，即(1)a a a a b
-=+， 所以只有当b=-1且a≠0时，此数列才是等比数列.
由命题2得，a 1=a-1，当n≥2时，a n =S n -S n-1=a-1，
显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，
因此只有当a-1≠0，即a≠1时数列{a n }才又是等比数列.。