2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题 (I)

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题 (I)
1、已知集合A ={x ∈R |x ＜5－2}，B ={1，2，3，4}，则（R C A ）∩B 等于( ) A 、{1，2，3，4} B 、{2，3，4} C 、{3，4}
D 、{4}
2、两圆12
2
=+y x 和2
2
8690x y x y +-++=的公切线的条数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3、若A )3,2(-，B )2,3(-，C ),2
1(m 三点共线，则m 的值为（ ） A 、
21 B 、2
1
- C 、－2 D 、2 4、点A )3,1(和B )1,5(-对称，则其对称轴方程是（ ）
A 、083=+-y x
B 、043=++y x
C 、062=--y x
D 、083=++y x 5、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使得l 与直线AC 和直线BC 1所成的角均为
60，则这样的直线l 的条数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、大于3
6、圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是( )
A 、0
B 、
223 C 、2
234- D 、22
34+ 7、在空间中，l 、m 、n 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A 、若βα//，γα//，则γβ//
B 、若α//l ，β//l ， m =⋂βα，则m l //
C 、若βα⊥，γα⊥，l =⋂γβ，则α⊥l
D 、若m =⋂βα，l =⋂γβ，n =⋂αγ，m l ⊥，n l ⊥，则n m ⊥ 8、已知)1,1(-A ，)3,2(B ，点P 为线段AB 上任意一点，则
x
y 1
+取值范围是( ) A 、]2,2[- B 、),2[]2,(+∞⋃--∞ C 、]21,21[- D 、),2
1
[]21,(+∞⋃--∞
9、如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD 1，则动点P 的轨迹是（ ） A 、线段B 1C
B 、线段B
C 1
C 、BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段
D 、BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段
10、一束光线从点)1,1(-A 出发后经直线02=++y x 反射到圆1)11()2(2
2
=-+-y x 上的最短路程是( )
A 、109
B 、12
C 、13
D 、14
11、某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝
⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积 （ ） A 、
π98 B 、π278
C 、
π
3
)12(24- D 、
π
3
)12(8-
12、平面内一动点),(y x P 到点)1,1(的距离等于它到两坐标轴的距离之和，记点P 的轨迹为C ，则曲线C 上的点到原点距离的最小值是 ( )
A ．32-
B ．
2
1
C ．22-
D ．1 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13、已知)5,3,1(-A ，)1,3,3(-B ，若点P 与线段AB 的中点关于原点对称，则点P 的坐标为 。

14、正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积为 。

15、已知R y x ∈,，则5616916656649162
222+--+-+-++y x y x y x y x 的最大值为 。

16、已知函数|1|)(2
-=x x f ，若关于x 的方程012)()(2
=-+-a x af x f 有六个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．。

17、（本小题满分10分）
（1）已知直线l 在两坐标轴上的截距相等且过点)2,3(--，求直线l 的方程。

（2）若直线0221=--+a ay x l ：和012=--+a y ax l ：平行，求a 的值。

18、（本小题满分12分）
函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． （1）判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
（2）如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
19、（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为SA ，
CD 的中点．
（1）证明：直线MN ∥平面SBC ； （2）证明：平面SBD ⊥平面SAC .
20、（本小题满分12分）
圆1C ：022
2
=-+-+y x y x 和圆2C ：52
2
=+y x （1）求两圆公共弦所在直线的方程，并求出公共弦长。

（2）求过圆1C 和圆2C 的交点，且圆心在直线0143=-+y x 上的圆的方程。

21、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ­ABCD 中底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M . （1）求证：AM ⊥PD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值．
22、（本小题满分12分）
已知动直线l 恒过原点，且与圆1C ：0562
2
=+-+x y x 相交于不同的两点A 、B ； （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程。

（2）是否存在实数a ，使得直线L ：04=--a y ax 与曲线C 只有一个交点，若存在，求出
a 的取值范围，若不存在，说明理由。

永春一中高一年级期末考试数学科参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，
13、)2,0,2(-P ；14、6π ；15、10 ；16、}2
1
{
三、解答题：本大题共6小题，共70分，
17、（本小题满分10分）
解：⑴、若在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为032=-y x ；
若截距不为0，则设直线方程为a
y
a x +＝1； 将点)2,3(--代入得a
a 2
3-+
-＝1，解得5-=a ； ∴直线方程为
5
5y
x +＝-1，即05=++y x 综上：所求直线方程为：032=-y x 或05=++y x
⑵、∵两直线互相平行，∴011=⨯-⨯a a ，解之得1±=a ； 当1-=a 时两直线重合， 当1=a 时两直线平行， ∴1=a
18、（本小题满分12分）
解：(1)依题意可知函数定义域关于原点对称， ∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.
令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝1
2f (1)＝0.
令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，
∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (2)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，
由(1)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}． 19、（本小题满分12分）
证明：(1)如图所示，取SB 中点E ，连接ME ，CE . ∵M 为SA 的中点， 故ME ∥AB ，且ME ＝1
2AB .
∵N 为CD 的中点，
故CN ＝1
2AB ，从而ME ∥CN ，且ME ＝CN ，
∴四边形MECN 是平行四边形， ∴MN ∥EC .
又EC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ， ∴直线MN ∥平面SBC .
(2)如图，连接AC ，BD 相交于点O . ∵SA ⊥底面ABCD ，故SA ⊥BD . ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD .又SA ∩AC ＝A ，故BD ⊥平面SAC .又BD ⊂平面SBD ， ∴平面SBD ⊥平面SAC . 20、（本小题满分12分）
解：⑴、将两圆相减，整理得公共弦所在直线的方程：03=--y x 圆2C 的圆心到公共弦的距离为
2
32
|
300|=
--
公共弦长=2)2
3(
522=-⨯
⑵、设经过两已知圆的交点的圆的方程为
)1(0)5(22222-≠=-++-+-+λλy x y x y x
则其圆心坐标为))
1(21
,)1(21(
λλ+-+
∵所求圆的圆心在直线0143=-+y x 上，
∴
01)1(24)1(23=-+-+λλ2
3
-=λ
∴所求圆的方程为011222
2
=--++y x y x
说明：此题也可先求出两圆的交点，然后利用两点式求公共弦所在直线的方程，用待定系数法求出圆的方程 21、（本小题满分12分）
解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .
∵AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥PD .
∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，AB ⊂平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD . (2)由(1)知，AM ⊥PD ，又PA ＝AD ， 则M 是PD 的中点． 在Rt△PAD 中，AM ＝2，
在Rt△CDM 中，MC ＝MD 2
＋DC 2
＝3， ∴S △ACM ＝12AM ·MC ＝62
.
设点D 到平面ACM 的距离为h ，由V D ­ACM
＝V M ­
ACD
，
得13S △ACM ·h ＝13S △ACD ·1
2PA . 解得h ＝
6
3
. 设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ， 则sin θ＝h CD ＝
63
， ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值为63
. 22、（本小题满分12分）
解：圆1C 的圆心为)0,3(，半径为2。

⑴、设线段AB 的中点M 的坐标为),(y x ，可得AB M C ⊥1，即OM M C ⊥1。

得点M 在以1OC 为直径的圆032
2
=-+x y x ，又点M 在圆1C 内，解方程组
⎩⎨⎧=-+=+-+030562
222x y x x y x 的两圆交点为)532
,35(±，进而可得所求轨迹C 的方程为0322=-+x y x )3
5
(>x
⑵、存在实数a 满足题意
直线L 恒过定点)0,4(，如图所示，曲线C 以)0,23
(为圆心，2
3为半径的弧EF （不包括端点），且)532,
35(E ，)53
2
,35(-F 当直线L ：04=--a y ax 与曲线C 相切时得
231
|
4023
|2=+--a a a
，解得43±=a ， 又572
43
50
532
-=--=-=DF
DE k k ，
再结合图形可得，当且仅当实数a 取值范围是}4
3{]572,572[±⋃-， 直线L 与曲线C 只有一个交点。