2021年四川省眉山市中考数学真题含答案解析

2021年四川省眉山市中考数学真题含答案解析
一、选择题（共12题）
1、 6 的相反数为
A ．-6
B ． 6
C ．
D ．
2、 2020 年7 月23 日，中国首次火星探测任务“ 天问一号” 探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200 万千米，并于2021 年 5 月15 日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200 万用科学记数法表示为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、下列计算中，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（）
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．60°
5、正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）
A ． 1 ：3
B ． 1 ： 2
C ． 2 ： 1
D ． 3 ： 1
6、化简的结果是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“ 防诈骗” 主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90 ，80 ，86 ，90 ，94 ，则这组数据的中位数和众数分别是（）
A ．80 ，90
B ．90 ，90
C ．86 ，90
D ．90 ，94
8、我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、已知一元二次方程的两根为，，则的值为（）
A ．
B ．
C ．2
D ． 5
10、如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为（）
A ．18°
B ．21°
C ．22.5°
D ．30°
11、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12、如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点
在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：① ；② ；③ ；④ 点运动的路程是，其中正确结论的序号为（）
A ．①④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
二、解答题（共8题）
1、计算：．
2、解方程组
3、吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校 1000 名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“ 了解较少” ，“ 基本了解” ，“ 了解较多” ，“ 非常了解” 四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（ 1 ）本次抽取调查的学生共有人，其中“ 了解较多” 的占 % ；
（ 2 ）请补全条形统计图：
（ 3 ）估计此校“ 非常了解” 和“ 了解较多” 的学生共有人；
（ 4 ）“ 了解较少” 的四名学生中，有 3 名学生，，是初一学生， 1 名学生
为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这 4 人进行了培训，然后从中随机抽取2 人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各 1 名的概率．
4、“ 眉山水街” 走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从处测得该建筑物顶端的俯角为
24° ，继续向该建筑物方向水平飞行20 米到达处，测得顶端的俯角为45° ，已知
无人机的飞行高度为60 米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1 米，参考数据：，，）
5、为进一步落实“ 德、智、体、美、劳” 五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少30 元，用1200 元购买足球的数量是用900 元购买篮球数量的 2 倍．
（ 1 ）足球和篮球的单价各是多少元？
（ 2 ）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200 个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500 元，学校最多可以购买多少个篮球？
6、如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与
的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（ 1 ）求点，的坐标和的半径；
（ 2 ）求直线所对应的函数表达式；
（ 3 ）求的面积．
7、如图，在等腰直角三角形中，，，边长为 2 的正方形
的对角线交点与点重合，连接，．
（ 1 ）求证：；
（ 2 ）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；
（ 3 ）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．
8、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．（ 1 ）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（ 2 ）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成 2 ：1 两部分，求点的坐标；
（ 3 ）点从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当
时，求的值．
三、填空题（共6题）
1、分解因式：______ ．
2、一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是 ______ ．
3、如图，中，，，平分交于点，分别以点和
点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交
于点，则的长为 ______ ．
4、若关于的不等式只有 3 个正整数解，则的取值范围是 ______ ．
5、观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______ ．
6、如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段
上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ______ ．
============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
根据相反数的定义进行求解 .
【详解】
6 的相反数为：﹣6 ．故选 A.
【点睛】
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数 .
2、 B
【分析】
先将 200 万转化为2000000 ，再将它写成（），利用科学记数法进行表示即可．
【详解】
解： 200 万=2000000= ；
故选： B ．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示，解决本题的关键是牢记科学记数法的表示方法即可，本题较基础，考查了学生的基本功．
3、 C
【分析】
逐一分析各选项中的计算结果，利用计算公式进行计算即可得到正确选项．
【详解】
解： A 选项中，；
B 选项中，;
C 选项正确；
D 选项中，;
故选： C ．
【点睛】
本题综合考查了同底数幂的乘法计算、同底数幂的除法计算、幂的乘方运算、积的乘方运算、完全平方公式等内容，解决本题的关键是牢记对应法则和公式即可．
4、 A
【分析】
先通过作辅助线，将∠1 转化到∠BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2 ．
【详解】
解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，
由矩形对边平行，可得∠1=∠ BAC ，
因为BC ⊥ AB ，
∴∠ BAC +∠2=90° ，
∴∠1+∠2=90° ，
因为∠1=48° ，
∴∠2=42° ；
故选： A ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．
5、 D
【分析】
根据正八边形的外角和等于360° ，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】
解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45° ，每个内角=180°-45°=135°，
∴ 每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3 ： 1 ，
故选 D ．
【点睛】
本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360° ，是解题的关键．
6、 B
【分析】
小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简．
【详解】
解：原式
故答案是：B ．
【点睛】
本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．
7、 B
【分析】
先将该组数据按照从小到大排列，位于最中间的数和出现次数最多的数即分别为中位数和众数．
【详解】
解：将这组数据按照从小到大排列： 80,86,90,90,94 ；
位于最中间的数是 90 ，所以中位数是90 ；
这组数据中， 90 出现了两次，出现次数最多，因此，众数是90 ；
故选： B ．
【点睛】
本题考查了学生对中位数和众数的理解，解决本题的关键是牢记中位数和众数的概念，明白确定中位数之前要将该组数据按照从小到大或从大到小排列，若该组数据个数为奇数，则位于最中间的数即为中位数，若该组数据为偶数个，则位于最中间的两个数的平均数即为该组数据的中位数．
8、 C
【分析】
从三视图分析出运载火箭由上半部分的圆锥和下半部分的圆柱组成，分别求出圆柱和圆锥的侧面积，再求和即可．
【详解】
由图可知，运载火箭的上半部分为圆锥，底面圆的半径r 为，高为 1.6 ．下半部分为圆柱，底面圆的半径r =1.2 ，高为 4 ．
圆柱的侧面积为：，
圆锥的侧面积为：，
该整流罩的侧面积：．
故选： C ．
【点睛】
本题主要考查圆柱和圆锥的侧面积计算方法．圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形．，其中l 为扇形的弧长，R 为半径．
9、 A
【分析】
根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+ =3 ，进而即可求解．
【详解】
解：∵ 一元二次方程的两根为，，
∴ ，即：，+ =3 ，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7 ．
故选 A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a ≠0 ）的两根为，，则+ = ，= ，是解题的关键．
10、 C
【分析】
根据直径所对的圆周角是，可知，根据，可知、
的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，为等腰三角形，再根据可求得的度数．
【详解】
解：∵ 为的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，，
∵ 点是的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： C ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．
11、 A
【分析】
先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x , y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】
解 : 当x =0 时，y =5 ，
∴ C （ 0,5 ）；
设新抛物线上的点的坐标为（x , y ），
∵ 原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，
由，；
∴ 对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴ 新抛物线的解析式为：；
故选： A ．
【点睛】
本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
12、 B
【分析】
连接OE 并延长交DC 于点H ，先证△ ADO 为等边三角形，得出∠2=∠ DAF =60° ，再根据△DEF 为等边三角形，得出① 正确；证出△DOE ≌△ COE ，得到ED = EC ，得出
② 正确；证出∠ADF =∠3 ，看得出③正确；根据△DOE ≌△ COE ，得出点E 在OH 上运动，可得④ 正确．
【详解】
解：
连接OE 并延长交DC 于点H ，
∵ 矩形ABCD ，
∴ OA = OD = OC ，
∵∠ DAC =60° ，
∴△A DO 为等边三角形，
∴∠2=∠ DAF =60° ，
∵△ DEF 为等边三角形，
∴∠1=60°=∠5 ，
∴∠1=∠2 ，
∴ D 、F 、O 、E 四点共圆，
∴∠3=∠4 ，①正确；
∴∠5=∠6=60° ，
∴∠7=∠6=60° ，
∵ OD = OC ，OE = OE ，
∴△ DOE ≌△ COE ，
∴∠3=∠8 ，
∴∠ CDE =∠ DCE ，
∴ ED = EC ，② 正确；
∵∠ ADO =∠ FDE =60° ，
∴∠ ADF =∠3 ，
∴∠ ADF =∠8 ，即∠ADF =∠ ECF ，③ 正确；
∵△ DOE ≌△ COE ，
∴ 点E 在∠ DOC 的角平分线上与CD 的交点为H ，即点E 在OH 上运动，
∴ OH = BC ，
∴ OH = ，④ 错误．
故选 B ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
二、解答题
1、
【分析】
依次计算“0 次方” 、、负整数指数幂、化简等，再进行合并同类项即可．【详解】
解：原式 = ．
【点睛】
本题综合考查了非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂以及二次根式的化简等
内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等，本题易错点为对的化简，该项出现的“ -” 较多，因此符号易出错，因此要注意．
2、
【分析】
方程组适当变形后，给②×3-①×2 即可消去x ，解关于y 的一元一次方程，再将y 值代入①式，即可解出y ．
【详解】
解：由可得
②×3-①×2 得，
即，
解得 y=1 ，
将 y=1 代入①式得，解得．
故该方程组的解为．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组．解二元一次方程主要用到“ 消元思想” ，将二元一次方程组化为一元一次方程求解．主要方法有加减消元法和代入消元法，熟练掌握这两种方法并能灵活利用是解题关键．
3、（ 1 ）50 ，30 ；（ 2 ）见详解；（ 3 ）780 ；（ 4 ）
【分析】
（ 1 ）用“ 了解较少” 的人数÷对应的百分比，即可得到抽取调查的总人数，用“ 了解较多” 的人数÷抽取的总人数，即可得到百分比，
（ 2 ）先求出“ 基本了解” 的人数，再补全统计图，即可；
（ 3 ）用1000ד 非常了解” 和“ 了解较多” 人数之和所占百分比，即可求解；
（ 4 ）画出树状图，展示所有等可能的结果，即可求解．
【详解】
解：（ 1 ）4÷8 ％=50 （人），15÷50×100 ％=30 ％，
故答案是： 50 ，30 ；
（ 2 ）50-24-4-15=7 （人），
补全条形统计图如下：
（ 3 ）1000×=780 （人），
故答案是： 780 ；
（ 4 ）画树状图如下：
共有 12 种等可能结果，恰好抽到初一、初二学生各 1 名的结果数有 6 种，∴ 恰好抽到初一、初二学生各 1 名的概率=6÷12= ．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及等可能事件的概率，画出树状图，是解题的关键．
4、
【分析】
和中有公共直角边CE ，根据等腰直角三角形以及锐角三角函数的边角关系解出CE 的长度，再用无人机的飞行高度减去CE 即可．
【详解】
解：过点C 作交AB 的延长线于点C ，作于点F ，如图所示：
在中，，
∴ ，
在中，，
∴ ，
解得：，
∴
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数解直角三角形，熟练应用锐角三角函数中边与角的关系列出比例是解决本题的关键
5、（ 1 ）每个足球60 元，每个篮球90 元；（ 2 ）最多购进篮球116 个
【分析】
（ 1 ）设一个足球的单价x 元，已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少30 元，则一个篮球的单价为（ 2 x -30 ）元，根据“ 用1200 元购买足球的数量是用900 元购买篮球数量的2 倍” 列方程求解即可；
（ 2 ）设买篮球m 个，则买足球（ 200- m ）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过 15500 元建立不等式求出解即可．
【详解】
解：（ 1 ）设每个足球x 元，每个篮球（ 2 x -30 ）元，
根据题意得：，
解得x =60 ，
经检验x =60 是方程的根且符合题意，
2 x -30=90 ，
答：每个足球 60 元，每个篮球90 元．
（ 2 ）设设买篮球m 个，则买足球（ 200- m ）个，
由题意得：，
解得．
∵ m 为正整数，∴ 最多购进篮球116 个．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
6、（ 1 ）A （ -8 ，0 ），B （ 0 ， 6 ）， 5 ；（ 2 ）y = x + ；（ 3 ）【分析】
（ 1 ）令y =0 代入，令x =0 代入，即可得到A 、B 的坐标，进而得到圆的半径；
（ 2 ）过点A 作AG ⊥ MN 于点G ，得AG =5 ，由∠AMG =∠ OAB ，得，进而即可求解；
（ 3 ）联立，可得C 的坐标，进而即可求解．
【详解】
解：（ 1 ）令y =0 代入，得，解得：x =-8 ，即：A （ -8 ，0 ），令x =0 代入，得，即：B （ 0 ， 6 ），
∴ AB = ,
∴ 的半径为： 5 ；
（ 2 ）过点A 作AG ⊥ MN 于点G ，
∵ 直线，且与的外接圆相切，
∴ AG =5 ，∠AMG =∠ OAB ，
∴sin∠ AMG =sin∠ OAB ，即：，
∴ ，解得：AM = ，即：OM = +8= ，
∴ M （ - ， 0 ），
同理：BN = ，ON =6+ = ，N （ 0 ，），
设直线所对应的函数表达式为：y = kx + b ，
则，解得：，
∴ 直线所对应的函数表达式为：y = x + ；
（ 3 ）联立，得：= ，解得：，，
∴ C （ -3 ，10 ），
∴ 的面积 = = ．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌锐角三角函数的定义，圆的切线的性质定理，是解题的关键．
7、（ 1 ）见详解；（ 2 ）；（ 3 ）-1 或+1
【分析】
（ 1 ）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD =∠ BCE ，，CD = CE ，进而即可得到结论；
（ 2 ）先求出DC = ，AD = ，再证明，进而即可求解；
（ 3 ）分两种情况：①当点D 在线段AE 上时，过点C 作CM ⊥ AE ，② 当点E 在线段AD 上时，过点C 作CM ⊥ AD ，分别求解，即可．
【详解】
解：（ 1 ）∵在等腰直角三角形中，，，在正方形中，CD = CE ，∠ DCE =90° ，
∴∠ DCE -∠ BCD =∠ ACB -∠ BCD ，即：∠ ACD =∠ BCE ，
∴ ；
（ 2 ）∵正方形的边长为 2 ，
∴ DC = GC =2÷ = ，
∵ ，
∴ AD = ，
∵∠ GDE = ，
∴∠ ADM =∠ CDE =45° ，
∴∠ ADM =∠ CGM =45° ，即：AD ∥ CG ，
∴ ，
∴ ，即：，
∴ AM = ；
（ 3 ）①当点D 在线段AE 上时，过点C 作CM ⊥ AE ，如图，
∵ 正方形的边长为 2 ，
∴ CM = DM =2÷2=1 ，AM = ，
∴ AD = AM - DM = -1 ；
② 当点E 在线段AD 上时，过点C 作CM ⊥ AD ，如图，
同理可得：CM = DM =2÷2=1 ，AM = ，
∴ AD = AM + DM = +1 ．
综上所述：AM = -1 或+1
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，画出图形，添加合适的辅助线，是解题的关键．
8、（ 1 ）；（ 2 ）点（ 6 ，-8 ）；（ 3 ）当点从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO 方向在轴移动时，秒．
【分析】
（ 1 ）根据待定系数法将AB 两点坐标代入函数解析式求解即可；
（ 2 ）在的AB 边上找到将AB 分成 2 ： 1 两部分的点Q ，此时CQ 将的面积分成 2 ： 1 两部分，求出直线CQ 与抛物线交点坐标即是点P 坐标；
（ 3 ）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM 长即可解答，
【详解】
解：（ 1 ）由抛物线经过点和点，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为：；
（ 2 ）由（1 ）可知点C 坐标为（ 0,4 ）
∵ 点和点．
∴ ，
∴ 将AB 分成 2 ：1 两部分的点有原点和Q （ 2,0 ），此时CQ 将的面积分成 2 ：1 两部分，如解（2 ）图，
∵ 点为该抛物线上一点（不与点重合），
∴ 直线CP 经过Q 点，
设直线CP 解析式为：，经过C （ 0,4 ），Q （ 2,0 ）两点，得：，
∴ ，
即可设直线CP 解析式为：，
联立函数解析式为：，
解得：，，
故P 点坐标为（ 6 ，-8 ），
（ 3 ）如解（3 ）图取点A 关于y 轴对称点，连接，过点作，垂足为H ，
由轴对称性质可知：，，
∴ ，
∵ ，即，
∴
∵ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点从点出发，以每秒 1 个单位的速度远动：
当沿轴正方向移动时，，则秒，
当沿轴CO 方向移动时，，则秒，
综上所述：当点从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO 方向在轴移动时，秒．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（ 1 ）关键是在三角形边上找到将的面积分成 2 ：1 两部分直线CP 经过的点，问题（ 3 ）关键是通过对称构造，再通过解三角形求解OM 长．
三、填空题
1、
【分析】
先利用提公因式法提出公因式xy ，再利用平方差公式法进行变形即可．
【详解】
解：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查．
2、
【分析】
由题意，先根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可．
【详解】
解：一次函数的值随值的增大而减少，
，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．
3、
【分析】
先由等腰三角形性质求出CD 以及，再利用作图方式确定MN 垂直平分AC ，得到CE = AE ，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解:∵ 中，，，平分
∴ ，且，（等腰三角形“ 三线合一” ）
∴ ，
由分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，可知，MN 垂直平分AC ，
如图，连接CE ，
∴ ，
∴ ，
在中，，
∴ ，
解得：；
∴ 的长为；
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质、尺规作图线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等内容，要求学生理解并掌握相关概念，能熟练运用勾股定理求直角三角形的线段长或建立两线段之间的关系等．
4、
【分析】
首先解关于的不等式，然后根据只有 3 个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】
解：解不等式，
得：，
由题意只有 3 个正整数解，则分别为： 1 ， 2 ， 3 ，
故：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
5、
【分析】
根据题意，找到第n 个等式的左边为，等式右边为 1 与的和；利用
这个结论得到原式＝ 1 +1 +1 +…+1 ﹣ 2021 ，然后把化为 1 ﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知，，
＝ 1 +1 +1 +…+1 ﹣ 2021
＝ 2020+1 ﹣+ ﹣+…+ ﹣﹣ 2021
＝ 2020+1 ﹣﹣ 2021
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
6、
【分析】
过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH
【详解】
过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时的长度最小
∵ 菱形中，
∴ AB = BC = AC =10 ，△ABC 为等边三角形
∴∠ PBC =30° ，∠ACB =60°
∴ 在直角△PBH 中，∠ PBH =30°
∴ PH =
∴ 此时得到最小值，
∵ AC =10 ，AM =3,
∴ MC =7
又∠ MPC =60°
∴ MH = MC sin60°=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键 .。