辽宁初三初中数学中考真卷带答案解析

辽宁初三初中数学中考真卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.（3分）3的相反数是（ ） A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．
2.（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3.（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.（3分）2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成
绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人．如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：
则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为（ ） A ．10.06秒，10.06秒 B ．10.10秒，10.06秒
C ．10.06秒，10.08秒
D ．10.08秒，10.06秒
6.（3分）如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是（ ）
A ．DE=DF
B ．EF=
AB C ．S △ABD =S △ACD D ．AD 平分∠BAC
7.（3分）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
8.（3分）一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶
往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①甲、乙两地之间的距离为560km；
②快车速度是慢车速度的1.5倍；
③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；
④相遇时，快车距甲地320km；
其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
1.（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（1，﹣1），则顶点D的坐标为．
2.（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球
的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．
3.（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠ABC=35°，则∠1的度数为．
4.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．
5.（3分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．
6.（3分）如图，点A（m，2），B（5，n）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个
单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值
为．
7.（3分）如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段
三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为．
三、解答题
1.（10分）先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代
入求值．
2.（12分）某社区为了解居民对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这五种球类运动项目的喜爱情况，在社区开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）求本次被调查的人数；
（2）将上面的两幅统计图补充完整；
（3）若该社区喜爱这五种球类运动项目的人数大约有4000人，请你估计该社区喜爱羽毛球运动项目的人数．3.（12分）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
4.（12分）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接
AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；
（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．
5.（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与
y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对
称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P 的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
辽宁初三初中数学中考真卷答案及解析
一、选择题
1.（3分）3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．D．
【答案】A．
【解析】根据相反数的含义，可得：3的相反数是：﹣3．故选A．
【考点】相反数．
2.（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【考点】1．中心对称图形；2．轴对称图形．
3.（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D ．
【解析】A ．不是同类项的不能合并，故本选项错误； B ．不是同类项的不能合并，故本选项错误； C ．，故本选项错误； D ．，正确． 故选D ．
【考点】1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．幂的乘方与积的乘方．
4.（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ．
【解析】解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x ＜4，故不等式组的解集是：﹣2≤x ＜4．故选B ． 【考点】1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组．
5.（3分）2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人．如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：
则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为（ ） A ．10.06秒，10.06秒 B ．10.10秒，10.06秒
C ．10.06秒，10.08秒
D ．10.08秒，10.06秒
【答案】C ．
【解析】这组数据按照从小到大的顺序排列为：9.99，10.06，10.06，10.10，10.19，则众数为：10.06，平均数为：
=10.08．故选C ．
【考点】1．众数；2．算术平均数．
6.（3分）如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是（ ）
A ．DE=DF
B ．EF=AB
C ．S △AB
D =S △ACD D ．AD 平分∠BAC
【答案】C ．
【解析】A ．∵点D 、E 、F 分别为△ABC 各边中点，∴DE=AC ，DF=
AB ，∵AC≠AB ，∴DE≠DF ，故该选项
错误；
B ．由A 选项的思路可知，B 选项错误；
C ．∵S △AB
D =
BD•h ，S △ACD =
CD•h ，BD=CD ，∴S △ABD =S △ACD ，故该选项正确；
D ．∵BD=CD ，AB≠AC ，∴AD 不平分∠BAC ，
故选C．
【考点】三角形中位线定理．
7.（3分）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在
阴影部分的概率是：．故选B．
【考点】几何概率．
8.（3分）一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶
往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①甲、乙两地之间的距离为560km；
②快车速度是慢车速度的1.5倍；
③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；
④相遇时，快车距甲地320km；
其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B．
【解析】由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大知直到快车到达甲地后两车之
间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快
车的速度之比为3：4，故②错误；∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，∴（3x+4x）×4=560，x=20，∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为
4×60=240km，故④错误，
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60=60km，故③正确．
故选B．
【考点】一次函数的应用．
二、填空题
1.（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（1，﹣1），则顶点D的坐标为．
【答案】（1，1）．
【解析】∵正方形两个顶点的坐标为A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），∴AB=1﹣（﹣1）=2，∵点C的坐标为：
（1，﹣1），∴第四个顶点D的坐标为：（1，1）．故答案为：（1，1）．
【考点】坐标与图形性质．
2.（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球
的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．
【答案】3．
【解析】设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到
红球的概率为20%，∴=40%，解得：x=3，∴黑色小球的数目是3个．故答案为：3．
【考点】利用频率估计概率．
3.（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠ABC=35°，则∠1的度数为．
【答案】55°．
【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=35°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠1=180°﹣90°﹣35°=55°，故答案为：55°．
【考点】1．平行线的性质；2．垂线．
4.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．
【答案】a≤1．
【解析】∵方程有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1．
【考点】根的判别式．
5.（3分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．
【答案】54°．
【解析】连接OB，则OB=OA，∴∠BAO=∠ABO，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠AOB=360°÷5=72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；故答案为：54°．
【考点】正多边形和圆．
6.（3分）如图，点A（m，2），B（5，n）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个
单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值
为．
【答案】2．
【解析】∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=1，∴A（1，2），∴k=1×2=2．故答案为：2．
【考点】1．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．
7.（3分）如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为．
【答案】．
【解析】第一次操作后余下的线段之和为，第二次操作后余下的线段之和为，…，第n次操作后余下的线段之和为 =，则被取走的所有线段长度之和为．故答案为：．
【考点】1．规律型：图形的变化类；2．综合题．
三、解答题
1.（10分）先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，3．
【解析】先进行分式的混合运算，根据分式有意义的条件，把a=2代入计算即可．
试题解析：原式===，
当a=2时，原式==3．
【考点】分式的化简求值．
2.（12分）某社区为了解居民对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这五种球类运动项目的喜爱情况，在社区开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）求本次被调查的人数；
（2）将上面的两幅统计图补充完整；
（3）若该社区喜爱这五种球类运动项目的人数大约有4000人，请你估计该社区喜爱羽毛球运动项目的人数．
【答案】（1）200；（2）作图见试题解析；（3）1200．
【解析】（1）本次被调查的人数=喜欢乒乓球项目的人数÷它所占的百分比；
（2）用总人数分别减去其它项目的人数即可得到喜欢足球项目的人数，然后分别计算项目足球和棒球项目的百分比，再补全统计图；
（3）用4000乘以样本中喜欢羽毛球项目的百分比即可估计该社区喜爱羽毛球运动项目的人数．
试题解析：（1）本次被调查的人数=24÷12%=200（人）；
（2）喜欢足球项目的人数=200﹣24﹣46﹣60﹣30=40（人），所以喜欢足球项目的百分比=×100%=20%，
喜欢棒球项目的百分比=×100%=15%，如图，
（3）4000×30%=1200，所以估计该社区喜爱羽毛球运动项目的人数约为1200人．
【考点】1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．数形结合．
3.（12分）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡
脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处
20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同
一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【答案】71．
【解析】过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，可得出DF的长，进而得出DH的长，在Rt△ADH 中，可得出AH的长，进而可得出AN的长，在Rt△CNB中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．
试题解析：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，
∴EF=10米，DF=米，∵DH=DF+EC+CN=（）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（）
米，∴AN=AH+EF=（）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN ﹣BN=≈71米．
答：条幅的长度是71米．
【考点】1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题；3．综合题．
4.（12分）已知：点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点（不与点B 重合），连接
AD ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ．求证：BD=CE ，BD ⊥CE ．
（2）如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，探究AD 、BD 、CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；
（3）若BD=CD ，直接写出∠BAD 的度数． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）；（3）60°或120°． 【解析】（1）由∠BAC=90°，AB=AC ，得到∠ABC=∠ACB=45°，由旋转性质可得AD=AE ，∠DAE=90°，从而有∠BAD=∠CAE ，得到△BAD ≌△CAE ，即可得到结论； （2）将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ．与（1）同理可得CE=BD ，CE ⊥BD ，根据勾股定理即可求得； （3）分两种情况分别讨论即可求得． 试题解析：（1）如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，∵AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ，∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD ⊥CE ； （2），理由：
如图2，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ．与（1）同理可证CE=BD ，CE ⊥BD ，∵∠EAD=90°AE=AD ，∴ED=AD ，在RT △ECD 中，，∴． （3）如图3，①当D 在BC 边上时，将线段AD 1绕点A 顺时针方向旋转90°得到线段AE ，连接BE ， 与（1）同理可证△ABE ≌△ACD 1，∴BE=CD 1，BE ⊥BC ，∵BD=
CD ，∴BD 1=
BE ，∴tan ∠BD 1E=
=
，∴∠BD 1E=30°，∵∠EAD 1=EBD 1=90°，∴四边形A 、D 1、B 、E 四点共圆，∴∠EAB=∠BD 1E=30°，∴∠BAD 1=90°﹣30°=60°；
②将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AF ，连接CF ．同理可证：∠CFD 2=30°，∵∠FAD 2=FCD 2=90°，∴四边形A 、F 、D 2、C 四点共圆，∴∠CAD 2=∠CFD 2=30°，∴∠BAD 2=90°+30°=120°， 综上，∠BAD 的度数为60°或
120°．
【考点】1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
5.（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对
称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P 的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
【答案】（1） D（﹣2，）；
（2）；
（3）M（﹣3，）或（﹣3，）或（，）或（，）．
【解析】（1）把A、B的坐标代入即可求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可；
（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）由于OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO以∠AMO 为直角的直角三角形时；当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可．
试题解析：（1）∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；则D点坐标为（﹣2，）；
（2）∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tan∠DAP=，∴∠DAP=60°，又∵△APQ为等边三角形，∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD==2．①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积．AP=t，
∵∠QAP=60°，∴点Q的纵坐标为t•sin60°=，∴S==．
②当2＜t≤3时，如图：
此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在OA 上，设QP 与DC 交于点H ，∵DC ∥AP ，
∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，∴△QDH 是等边三角形，∴S=S △QAP ﹣S △QDH ，∵QA=t ，∴S △QAP =
，∵QD=t ﹣2，∴S △QDH =，∴S==；
③当3＜t≤4时，如图：
此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上，设QP 与DC 交于点E ，与OC 交于点F ，过点Q 作AP 的垂涎，垂足为G ，∵OP=t ﹣3，∠FPO=60°，∴OF=OP•tan60°=
（t ﹣3），∴S △FOP=（t ﹣3）（t ﹣3）=
，∵S=S △QAP ﹣S △QDE ﹣S △FOP ，S △QAP ﹣S △QDE =
． ∴S==． 综上所述，S 与t 之间的函数关系式为S=；
（3）∵OC=，OA=3，OA ⊥OC ，则△OAC 是含30°的直角三角形．
①当△AMO 以∠AMO 为直角的直角三角形时；如图：
过点M 2作AO 的垂线，垂足为N ，∵∠M 2AO=30°，AO=3，∴M 2O=
，又∵∠OM 2N=M 2AO=30°， ∴ON=OM 2=，M 2N=ON=，∴M 2的坐标为（，），同理可得M 1的坐标为（，）；
②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：
∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，∴=，或=，∵OA=3，∴AM=或AM=，∵AM⊥OA，且点M在第二象限，∴点M的坐标为（﹣3，）或（﹣3，）．
综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，），（﹣3，），（，），（，）．
【考点】1．二次函数综合题；2．相似三角形综合题；3．分段函数；4．分类讨论；5．动点型；6．相似三角形的判定；7．综合题；8．压轴题．。