五大连池市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

优选高中模拟试卷
五大连池市高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、选择题
1．设 S n为等比数列 {a n} 的前 n 项和，已知3S3=a4﹣ 2， 3S2=a3﹣ 2，则公比 q=（）A ．3 B．4C．5 D． 6
2．函数 f（ x） = ，则 f（﹣ 1）的值为（）
A ．1
B ．2 C． 3 D． 4
3 ABC
﹣A 1B 1C1
中，侧棱
AA 1⊥平面 ABC ．若 AB=AC=AA 1=1
，
BC=
，则异面直线
A 1C
．如图，直三棱柱
与 B1C1 所成的角为（）
A ．30°
B ． 45° C． 60° D． 90°
4．二项式( x +1)n(n ? N*)的睁开式中x3项的系数为10，则n =（）
A ．5
B ．6 C． 8 D．10 【命题企图】此题考察二项式定理等基础知识，意在考察基本运算能力．
5．已知 f（ x）在 R 上是奇函数，且知足f（ x+4） =f （ x），当 x∈（0， 2）时， f（ x） =2x 2
，则
f
（
2015 =
）
（）
A ．2 B．﹣ 2 C． 8 D．﹣ 8 6．假如点 P（ sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A ．第一象限
B ．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．函数 y=sin （ 2x+ ）图象的一条对称轴方程为（）
A ．x= ﹣B． x= ﹣C． x= D ．x=
8．奇函数 f x 知足 f 1 0 ，且 f x 在 0 ，上是单一递减，则
2x 1
的解集为（）f x
f x
A． 1，1 B．，1 1 ，C．， 1 D． 1，
9．有以下四个命题：
①“若 a2+b2 =0，则 a， b 全为 0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
2
③“若“q≤1”，则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的抗命题．
此中真命题为（）
A ．①②
B ．①③C．②③D．③④
10．如图在圆O中，AB，CD是圆O相互垂直的两条直径，现分别以OA ， OB ， OC ， OD 为直径作四个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自暗影部分的概率是（）
A
D O C
B
1 1 1 1 1 1
A ．B．C． D ．
2
2 2 4
【命题企图】此题考察几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
a x－ 1， x≤1
11．已知函数 f（ x）＝log a
（a＞ 0 且 a≠ 1），若 f（ 1）＝ 1，f（b）＝－ 3，则 f（ 5－ b）＝（）1， x＞ 1
x＋ 1
1 1
A．－4 B．－2
3 5
C．－4 D．－4
12．抛物线 x2=4y 的焦点坐标是（）
A ．（ 1，0）B．（ 0，1）C．（）D．（）
二、填空题
13．的睁开式中的系数为（用数字作答)．
14．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcosθ=5，则点（4，）到直线l 的距离为．15．计算 sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为．
16．用描绘法表示图中暗影部分的点（含界限）的坐标的会合为．
17
．
已知对于
的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 __________ 18 ．抽样检查表示，某校高三学生成绩（总分 750 分）X 近似听从正态散布，均匀成绩为 500 分．已知 P （ 400 ＜ X ＜ 450）=0.3，则 P （ 550 ＜X ＜ 600） =
．
三、解答题
19．甲、乙两位同学参加数学比赛培训，在培训时期他们参加 5 次初赛，成绩以下：
甲： 78 76 74 90 82
乙： 90 70 75 85 80
（ Ⅰ ）用茎叶图表示这两组数据；
（ Ⅱ ）现要从中选派一人参加数学比赛，你以为选派哪位学生参加适合？说明原因．
20．设会合 A
x | x 2 8x 15 0 , B
x | ax 1 0 ．
（ 1）若 a
1
，判断会合
A 与
B 的关系；
5
（ 2）若 A B B ，务实数构成的会合
C ．
21．如图，四周体ABCD 中，平面ABC ⊥平面 BCD ， AC=AB ， CB=CD ，∠ DCB=120 °，点 E 在 BD 上，且CE=DE ．
（Ⅰ）求证： AB ⊥CE；
（Ⅱ）若 AC=CE ，求二面角 A ﹣ CD ﹣B 的余弦值．
22．已知函数，且．
（Ⅰ）求的分析式；
（Ⅱ）若对于随意，都有，求的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．
23．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
24．已知函数f（ x）=x2﹣ ax+（a﹣ 1） lnx （ a＞1）．
（Ⅰ）议论函数 f （x）的单一性；
（Ⅱ）若 a=2，数列 {a n} 知足 a n+1=f （ a n）．
（1）若首项 a1=10 ，证明数列 {a n} 为递加数列；
（2）若首项为正整数，且数列 {a n } 为递加数列，求首项 a1的最小值．
五大连池市高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学（参照答案）
一、选择题
1．【答案】 B
【分析】解：∵ S n为等比数列 {a n} 的前 n 项和， 3S3=a4﹣ 2， 3S2=a3﹣
2，两式相减得
3a3=a4﹣a3，
a4=4a3，
∴公比 q=4．
应选： B．
2．【答案】 A
【分析】解：由题意可得 f （﹣ 1） =f （﹣ 1+3） =f （ 2）=log 22=1
应选： A
【评论】此题考察分度函数求值，波及对数的运算，属基础题．
3．【答案】 C
【分析】解：因为几何体是棱柱，BC ∥B1C1，则直线 A 1C 与 BC 所成的角为就是异面直线 A 1 C 与 B1C1所成的角．
直三棱柱ABC ﹣ A 1B1 C1中，侧棱 AA 1⊥平面 ABC ．若 AB=AC=AA1=1，BC=，BA1=，CA1=，
三角形 BCA 1是正三角形，异面直线所成角为60°．
应选： C．
4．【答案】 B
【分析】因为 (x +1)n ( n ? N * ) 的睁开式中x3项系数是C3n，所以C3n= 10，解得n = 5，应选
A．5．【答案】 B
【分析】解：∵ f（ x+4） =f （ x），
∴f（ 2015 ）=f （ 504×4﹣ 1） =f （﹣ 1），
又∵ f（ x）在 R 上是奇函数，
∴f（﹣ 1）=﹣ f （ 1） =﹣
2．应选 B．
【评论】此题考察了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
6．【答案】 D
【分析】解：∵ P（sin θcosθ， 2cosθ）位于第二象限，
∴sinθcosθ＜ 0， cosθ＞ 0，
∴sinθ＜ 0，
∴θ是第四象限角．
应选： D．
【评论】此题考察了象限角的三角函数符号，属于基础题．7．【答案】 A
【分析】解：对于函数 y=sin （ 2x+ ），令 2x+ =k π+
求得 x= π，可得它的图象的对称轴方程为x= π，k∈z，
应选： A．
【评论】此题主要考察正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
8．【答案】 B
【分析】
试题剖析：由
f
2x 1 0 2 x 1 2 x 1 f x x f x 2 f x
x 0 时， 2 x 1 0 ；当 x 0 时， 2x 1 0 ，联合图象即得考点： 1、函数的单一性；2、函数的奇偶性；3、不等式 .
， k∈z，
0 ，即整式 2 x 1 的值与函数 f x 的值符号相反，当
，11，．
9．【答案】 B
2 2
【分析】解：①因为“若 a +b =0，则 a， b 全为 0”是真命题，所以其逆否命题是真命题；
③若 x2+2x+q=0 有实根，则△=4﹣ 4q≥0，解得 q≤1，所以“若“q≤1”，则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的抗命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
应选： B ．
【评论】此题考察了命题之间的关系及其真假判断方法，考察了推理能力，属于基础题．
10． 【答案】 C
【分析】 设圆 O 的半径为 2 ，依据图形的对称性，能够选择在扇形 OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别
向 OA ， OC 作垂线，则此时构成一个以
1为边长的正方形，则这个正方形内的暗影部分面积为
1，扇形
2
OAC 的面积为
，所求概率为 P
2
1 1 1
2
．
11． 【答案】
【分析】 分析：选 C.由题意得 a － 1＝ 1，∴a ＝ 2.
b
b
若 b ≤1，则 2 － 1＝－ 3，即 2 ＝－ 2，无解． ∴b ＞ 1，即有 log 2
1 ＝－3，∴ 1 ＝ 1
，∴b ＝ 7. b ＋ 1 b ＋ 1 8
－2 3 ∴f （5－ b ）＝ f （－ 2）＝ 2 － 1＝－ 4，应选 C.
12． 【答案】 B
【分析】 解： ∵抛物线 x 2=4y 中， p=2 ， =1，焦点在 y 轴上，张口向上， ∴ 焦点坐标为 （0 ， 1）， 应选： B ．
【评论】此题考察抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线
x 2=2py 的焦点坐标为（ 0， ），属基础题．
二、填空题
13． 【答案】 20
【分析】 【知识点】二项式定理与性质
【试题分析】通项公式为 :
令 12-3r=3 ， r=3 ．
所以系数为：
故答案为：
14． 【答案】 3 ．
【分析】 解：直线 l 的方程为 ρcos θ=5 ，化为 x=5．
点（ 4，）化为．
∴点到直线l 的距离 d=5 ﹣ 2=3．
故答案为： 3．
【评论】此题考察了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．
15．【答案】．
【分析】解： sin43°cos13°﹣ cos43°sin13°=sin（ 43°﹣13°）=sin30°=，
故答案为．
16．【答案】{ （ x，y） |xy＞ 0，且﹣ 1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
【分析】解：图中的暗影部分的点设为（x， y）则
{x ，y） |﹣ 1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}
={ （ x， y） |xy＞ 0 且﹣ 1≤x≤2，﹣≤y≤1}
故答案为： { （x， y） |xy＞ 0，且﹣ 1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
17．【答案】
【分析】
因为在上恒成立，所以，解得
答案：
18．【答案】0.3．
【分析】失散型随机变量的希望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【剖析】确立正态散布曲线的对称轴为x=500 ，依据对称性，可得P（ 550＜ξ＜ 600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750 分）ξ近似听从正态散布，均匀成绩为500 分，∴正态散布曲线的对称轴为x=500 ，
∵P（400＜ξ＜ 450） =0.3，
∴依据对称性，可得P（550＜ξ＜600） =0.3．
故答案为： 0.3．
【评论】此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，正确运用正态散布曲线的对称性是重点．
三、解答题
19．【答案】
【分析】解：（Ⅰ ）用茎叶图表示以下：
（Ⅱ）=，
==80 ，
=[（ 74﹣ 80）2+（ 76﹣ 80）2+（ 78﹣80）2+（ 82﹣ 80）2+（ 90﹣ 80）2]=32 ，
=[（ 70﹣ 80）2+（ 75﹣ 80）2+（ 80﹣80）2+（ 85﹣ 80）2+（ 90﹣ 80）2]=50 ，
∵=，，
∴在均匀数同样的条件下，甲的水平更加稳固，应当派甲去．
20．【答案】（1）B A ；（2）C 0,3,5.
【分析】
考
点： 1、会合的表示；2、子集的性质 .
21．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）证明：△ BCD 中， CB=CD ，∠ BCD=120 °，
∴∠ CDB=30 °，
∵EC=DE ，∴∠ DCE=30 °，∠
BCE=90 °，∴ EC⊥ BC，
又∵平面 ABC ⊥平面 BCD ，平面 ABC 与平面 BCD 的交线为BC，
∴EC⊥平面 ABC ，∴ EC⊥ AB ．
（Ⅱ）解：取BC 的中点 O， BE 中点 F，连接 OA ， OF，
∵AC=AB ，∴ AO ⊥ BC，
∵平面 ABC ⊥平面 BCD ，平面 ABC ∩平面 BCD=BC ，
∴ AO ⊥平面 BCD ，∵O 是 BC 中点， F 是 BE 中点，∴OF⊥BC，
以 O 为原点， OB 为 y 轴， OA 为 z 轴，成立空间直角坐标系，
设 DE=2 ，则 A（0， 0， 1）， B（ 0，， 0），
C（ 0，﹣， 0）， D （3，﹣ 2 ，0），
∴ =（0，﹣，﹣ 1 ），=（3，﹣， 0），
设平面 ACD 的法向量为=（ x， y， z），
则，取 x=1，得=（ 1，，﹣ 3），
又平面 BCD 的法向量=（ 0 ， 0 ， 1），
∴ cos＜＞ = =﹣，
∴ 二面角A ﹣CD﹣ B 的余弦值为．
【评论】本小题主要考察立体几何的有关知识，详细波及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．
22．【答案】
【分析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单一性
【试题分析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ）由，得，
因为，
所以对于随意，都有．
设，则．
令，解得．
当 x 变化时，与的变化状况以下表：
所以当时，．
因为对于随意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只需证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只需证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
23．【答案】
【分析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题分析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
24．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）∵，
∴（ x＞ 0），
当 a=2 时，则在（0，+∞）上恒成立，
当 1＜a＜2 时，若 x∈（ a﹣ 1， 1），则 f ′（ x）＜ 0，若 x∈（ 0， a﹣ 1）或 x∈（ 1，+∞），则 f′（ x）＞0，当 a＞ 2 时，若 x∈（ 1， a﹣ 1），则 f′（ x）＜ 0，若 x∈（0， 1）或 x∈（ a﹣ 1， +∞），则 f′（ x）＞0，综上所述：当 1＜ a＜ 2 时，函数 f（ x）在区间（ a﹣ 1， 1）上单一递减，
在区间（ 0， a﹣ 1）和（ 1，+∞）上单一递加；
当 a=2 时，函数（ 0， +∞）在（ 0， +∞）上单一递加；
当 a＞ 2 时，函数 f （x）在区间（ 0， 1）上单一递减，在区间（0， 1）和（ a﹣1， +∞）上单一递加．（Ⅱ）若 a=2，则，由（Ⅰ ）知函数f（ x）在区间（ 0，+∞）上单一递加，（1）因为 a1=10 ，所以 a2=f （ a1） =f （ 10） =30+ln10 ，可知 a2＞a1＞ 0，
假定 0＜ a k＜a k+1（k≥1），因为函数 f（x）在区间（ 0， +∞）上单一递加，
∴ f（ a k+1）＞ f （ a k），即得 a k+2＞ a k+1＞0，
由数学概括法原理知，a n+1＞ a n对于全部正整数n 都成立，
∴数列 {a n} 为递加数列．
（ 2）由（ 1 ）知：当且仅当0＜ a1＜ a2，数列 {a n} 为递加数列，
∴ f（ a1 1 1
为正整数），
）＞a ，即（ a
设（ x≥1），则，
∴函数 g（ x）在区间上递加，
因为， g（ 6） =ln6 ＞ 0，又 a1为正整数，
∴首项a
1 的最小值为6．
【评论】此题考察导数的运用：求单一区间，同时考察函数的零点存在定理和数学概括法的运用，考察运算能力，属于中档题．
选做题：此题设有（1）（ 2 ）（ 3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 7 分．假如多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】。