广河县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

广河县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
2． △ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C
在双曲线
上，则
=（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．
±
3． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．
20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 4．
已知双曲线（a ＞0，b ＞0
）的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
6． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i
1＋i
＝3＋b i ，则a －b 为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；
④．其中符号为
负的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
8． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）
A.83 B ．4 C.163
D ．203
9． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存
比例，现拟从某工厂职工中抽取
20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，
500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<
11．函数2
()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）
A ．[2,)+∞
B ．[]2,4
C ．(,2]-∞
D ．[]0,2
12．已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->在其定义域上恰有两
个零点，则正实数a 的值为______．
14．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且
||=2
，则
= ．
15．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．
16．在（1+x ）（x 2
+）6的展开式中，x 3的系数是 ． 17．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
18．log 3
+lg25+lg4﹣7
﹣（﹣9.8）0
= ．
三、解答题
19．已知{}{}
22,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A B =-，求实数的值.
20．设F 是抛物线G ：x 2=4y 的焦点．
（1）过点P （0，﹣4）作抛物线G 的切线，求切线方程；
（2）设A ，B 为抛物线上异于原点的两点，且满足FA ⊥FB ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C ，D ，求四
边形ABCD 面积的最小值．
21．已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围．
23．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．
24．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．
广河县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
2． 【答案】D
【解析】解：△ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，
∴A 与B 为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC ﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则=
=±
=±．
故选：D ．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
3． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 4． 【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，
∴设双曲线的方程为
，（a ＞0，b ＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，
得=，设b=4t ，a=3t ，则c=
=5t （t ＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A ．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
5． 【答案】D 【
解
析】
考
点：简单线性规划． 6． 【答案】
【解析】选A.由2＋a i
1＋i
＝3＋b i 得，
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b ，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 7． 【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos （﹣100°）=cos100°＜0，③tan （﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin
＞0，cos π=﹣1，tan
＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②， 故选：B ．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
8． 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－13×2×2×1＝20
3，故选D.
9． 【答案】C
10．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111] 11．【答案】B 【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m 需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m 的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质． 12．【答案】C
【解析】解：由f ′（x ）=3x 2
﹣3=3（x+1）（x ﹣1）=0得到x 1=1，x 2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f ′（x ）＜0，（1，2）上f ′（x ）＞0， ∴函数f （x ）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f （x ）min =f （1）=m ﹣2，f （x ）max =f （2）=m+2，f （0）=m
由题意知，f （1）=m ﹣2＞0 ①； f （1）+f （1）＞f （2），即﹣4+2m ＞2+m ②
由①②得到m ＞6为所求．
故选C 【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大
值
二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数()()20{x x x f x ax lnx
+≤=-，其余条件均不变，则： 当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增， f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；
则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有ln x
a x =
有且只有一个实根。

令()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x -==
， 当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减; 当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
1
e
， 如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则1a e
=
. 回归原问题，则原问题中a e =.
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
14．【答案】 （﹣，
） ．
【解析】解：∵，，
设OC 与AB 交于D （x ，y ）点
则：AD ：BD=1：5
即D 分有向线段AB 所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，
可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
15．【答案】平行．
【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，
AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A
C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1
由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D
故答案为：平行．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
16．【答案】20．
【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，
x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；
又（x2+）6的展开式中，
通项公式为T r+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；
所以展开式中x 3的系数是
=20．
故答案为：20．
17．【答案】
【解析】解：∵f （x ）=a x
g （x ）（a ＞0且a ≠1），
∴
=a x ， 又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），
∴（）′=＞0，
∴=a x 是增函数，
∴a ＞1，
∵
+=．
∴a 1+a ﹣1
=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n }．
∵数列{
}的前n 项和大于62，
∴2+22+23+ (2)
==2n+1﹣2＞62，
即2
n+1
＞64=26
，
∴n+1＞6，解得n ＞5． ∴n 的最小值为6． 故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
18．【答案】 ．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=， 故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．三、解答题
19．【答案】
2
3
a=-．
【解析】
考点：集合的运算.
20．【答案】
【解析】解：（1）设切点．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．
即y=x0x﹣x02．
因为点P（0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．
点A，C的坐标满足方程组，
得x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+），
S ABCD=|AC||BD|==8（2+k2+）≥32．
当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：由p：⇒﹣1≤x＜2，
方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，
若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2
≤2，解得1＜|a|≤，
当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，
当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，
综上﹣．
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
22．【答案】
【解析】【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义
【试题解析】（Ⅰ）函数定义域为
，
又，所求切线方程为，即
（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点，等价于在上恰有两个不同的实根
等价于在上恰有两个不同的实根，
令则
当时，，在递减；
当时，，在递增．
故，又．
，，
即
23．【答案】
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC
中，根据勾股定理得：AC1=2，
1
则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，
=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C
中，根据勾股定理得：A′C2=2，
2
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴=﹣2．
∵直线AC⊥BH，∴k AC k BH=﹣1．
∴，
直线AC的方程为，
联立
∴点C的坐标C（1，1）．
（2），
∴直线BC的方程为，
联立，即．
点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为．
又，
∴．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．。