2024-2025学年浙江省钱塘联盟高一数学上学期期中联考试卷及答案解析

浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知集合{2,1,2},{(2)(1)0}A B x
x x =-=+-£∣，则A B =I （ ）A. (2,1)- B. [2,1]
- C. {2,1}
- D. {2,1,2}
-【答案】C 【解析】
【分析】解不等式得集合B ，利用交集概念即可得出答案.【详解】()()[]2102,1x x x +-£\Î-Q 故[]2,1B =-，}{
2,1A B Ç=-，即C 正确.故选：C
2. 设x R Î，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x -<，可得13x <<，即x Î(1,3)；
由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x Î(,2)(1,)-¥-+¥U ；∴(1,3)是(,2)(1,)-¥-+¥U 的真子集，
故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.
3. 命题“1x "³，22x ³”否定是（ ）A. 1x "³，22x < B. 1x $<，22x <C. 1x "<，22x ³ D. 1x $³，22
x <【答案】D 【解析】
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“1x "³，22x ³”的否定是“1x $³，22x <”.故选：D
4. 下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若0,0a b m >>>，则
m m a b
<C. 若,a b c d >>，则ac bd > D. 若23,12a b -<<<<，则31
a b -<-<【答案】B 【解析】
【分析】对于AC ：举反例说明即可；对于BD ：根据不等式性质分析判断.【详解】对于选项A ：例如0c =，则220ac bc ==，故A 错误；对于选项B ：因为0a b >>，则110a b
<
<，且0m >，所以
m m
a b
<，故B 正确；对于选项C ：例如1,1a c b d ====-，满足题意，但1ac bd ==，故C 错误；对于选项D ：若23,12a b -<<<<，则21b -<-<-，所以42a b -<-<，故D 错误；故选：B.
5. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(x 1)(13x)f f -<-，则x 的取值范围是（ ）A. 10,
2éö
÷êëø
B. 10,2æöç÷
è
ø
C. 1,12æùç
úèû
D. 11,
2é
ö-÷êë
ø
的
【解析】
【分析】根据单调性解不等式即可，注意函数的定义域.
【详解】因为()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(x 1)(13x)f f -<-，
则11131x x -£-<-£，解得102
x £<
，所以x 的取值范围是10,2éö
÷êëø
.故选：A.
6. 在同一坐标系内，函数(0)a y x a =¹和1
y ax a
=-
的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.
【详解】对于A ，由函数(0)a y x a =¹的图象可知0a <，由1
y ax a
=-
的图象可知0a >，互相矛盾，错误；对于B ，由函数(0)a y x a =¹的图象可知1a >，由1
y ax a
=-
的图象可知0a <，互相矛盾，错误；对于C ，由函数(0)a y x a =¹的图象可知1a >，
由1y ax a
=-
的图象可知0a >且1
0a -<，符合题意，正确；
对于D ，由函数(0)a y x a =¹的图象可知0a <，由1y ax a
=-的图象可知0a <且1
0a -<，互相矛盾，错误.
故选：C
7. 正数x ，y 满足22x y +=，则8x y
xy
+的最小值为（ ）．A. 4 B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D 【解析】
【分析】将8x y xy +变形为18
y x
+，再用基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为,x y 为正数，且22x y +=，所以有
12
x
y +=，
所以
8181818815592
2x y x x y
y xy y x y x y x y x æöæö+æö=+=+´=++=++³+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，当且仅当4
43
x y ==
时，等号成立.所以
8x y
xy
+的最小值为9.故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，属于中档题.
8. 已知函数2
()1,()f x x g x x =-=，记{},()max ,,a a b F x a b b a b ³ì==í<î
，则下列关于函数的说法不正确的
是（ ）
A. 当(0,2)x Î时，2
()F x x
=
B. 函数()F x 的最小值为2-
C. 函数()F x 在(1,0)-上单调递减
D. 若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >【答案】C
【解析】
【分析】根据题中定义，结合分式不等式的解法、数形结合思想、一次函数与反比例函数的单调性逐一判断即可.
【详解】由222
102x x x x x x ---³Þ³Þ³，或10x -£<，
由222
1002x x x x x x
---<Þ<Þ<<，或1x <-，
所以1,[2,)[1,0)()2,(,1)(0,2)x x F x x x
¥¥-Î+È-ìï
=íÎ--Èïî，
因此选项A 正确；
当[2,)x Î+¥时，()(2)1F x F ³=，当[1,0)x Î-时，()()12F x F ³-=-，当(,1)x Î-¥-时，0()(1)2F x F >³-=-当(0,2)x Î时，()(2)1F x F ³=，
所以函数()F x 的最小值为2-，选项B 正确；
当(1,0)x Î-时，()1F x x =-显然单调递增，选项C 不正确；函数图象如下图所示：
因为关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，所以函数()F x 的图象与直线y m =有两个不同的交点，因此有21m -<<-或1m >，因此选项D 正确，故选：C
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想、转化法判断方程解的问题是解题的关键
二、多项选择题（每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列函数中，是偶函数且值域为[0,)+¥的有（ ）A. 2
1y x =
B. 2
2
y x =- C. 2
2
12y x x =+
- D. 22||
y x x =-【答案】BC 【解析】
【分析】对于AD ：根据值域即可排除；对于BC ：根据偶函数的对于以及函数值域分析判断.【详解】对于选项A ：因为2
1
0y x =
¹，即值域不为[0,)+¥，故A 错误；对于选项B ：因为2
2y x =-的定义域为R ，且()2
2
22x x --=-，可知2
2y x =-为偶函数，
又因为220y x =-³，当且仅当x =时，等号成立，可知2
2y x =-的值域为[0,)+¥，故B 正确；
对于选项C ：因为2
212y x x
=+-的定义域为{}|0x x ¹，且()()2222
1122x x x x -+-=+--，可知2
2
1
2y x x =+
-为偶函数，
又因为221220y x x =+
-³-=，当且仅当1x =±时，等号成立，可知2
21
2y x x
=+
-的值域为[0,)+¥，故C 正确；对于选项D ：当1x =时，1210y =-=-<，即值域不为[0,)+¥，故D 错误；故选：BC.
10. 受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为1T ，2T ，3T .甲有一半的时间以速度1V 米/秒奔跑，另一半的时间以
速度2V 米//秒奔跑；丙有一半的路程以速度1V 米/秒奔跑，另一半的路程以速度2V 米/秒奔跑.其中10V >，20V >.则下列结论中一定成立的是（）
A. 123T T T ££
B. 123T T T ³³
C. 2
132
TT T = D.
132
112
T T T +=【答案】AC 【解析】
【分析】分别列出1T ，2T ，3T 的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．
【详解】由题意知：11121110022TV TV +=，所以1121002
T V V =+
，2T =，3121212
50501002T VV V V V V =
+=
+，
由基本不等式可得122V V +³
，所以12122VV V V £=+
所以1212
12
202V V VV V V +³³>+故123T T T ££，当且仅且12V V =时等号全部成立.故A 选项正确，B 选项错误
又由
2
121212
22V V VV
V V +×=+，
故易知2
132TT T =，即C 项正确；
1212
12132)(411200)(V V VV T T V V +++=+
，22T =取121,2V V ==，此时132
112
T T T +¹，所以D 选项不一定成立，故选：AC ．11. 设函数()()1x
f x x x
=
Î+R ，则下列结论正确的有（ ）A. ()f x 的值域是(1,1)-；B 任意12,x x ÎR 且12x x ¹，都有
()()1212
0f x f x x x ->-；
.
C. 任意12,(0,)x x Î+¥且12x x ¹，都有
()()
12122
2f x f x x x f ++æö>ç÷èø
；
D. 规定()11()(),()()n n f x f x f x f f x +==，其中*n ÎN ，则1122n f n æö=ç
÷+èø
.【答案】ABD 【解析】
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性就能判断AB ；分别取特殊值代入即可验证C ；对D 由递推式得到
()10f x 的表达式即可判断.
【详解】对于A ：当0x ³时，()1
111
x f x x x ==-++单调递增，
所以有()()00f x f ³=，因为()1
101
f x x -=-
<+，所以()()101f x f x -<Þ<，因此当0x ³时，()01f x £<；因为()()1x
f x x x
=
Î+R 是奇函数，所以当0x <时，()10f x -<<，所以()f x 的值域是()1,1-，故A 正确；
对于B ：
()()()()()12121212
00f x f x x x f x f x x x -éù>Þ-->Ûëû-函数()f x 是增函数，
由A 可知：奇函数()()1x
f x x x
=
Î+R 在0x ³时，单调递增， ∴()f x 在0x <时也单调递增，所以该函数是实数集上的增函数，故B 正确；对于C ：当任意()12,0,x x ¥Î+且12x x ¹时，令121,3x x ==，则有
()()
()()1213
135242
228
f x f x f f +++===
，()122223x x f f +æö
==ç÷èø
，显然5283<，
因此
()()
12122
2f x f x x x f ++æö
>ç÷èø
不成立，故C 不正确；
对于D ：当0x ³时，()()()()()()1211,,112111
x
x x x x f x f x f x f x f f x x x x x x +======+++++，
()()()()()()32432131,3141112131
x x
x x
x x f x f f x f x f f x x x x x x x ++======++++++，
于是有()1n x f x nx =+，因此1
112122
12
n f n n æö=
=ç÷+èø+，故D 正确，
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算：1
22
2
3
01832(0.96)4272-æöæöæö---+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø____________.
【答案】1
2
##0.5【解析】
【分析】根据指数幂运算求解即可.【详解】由题意可得：
121
222
3
2
3
23
22344183322(0.96)14272113299232-éùéùæöæöæöæöæö---+=--êúêúç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷èøèøèøèøèøêúêúëæö+=--+=ç÷èûø
ûë.故答案为：
12
.13. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数，在(,0]-¥上为单调增函数，且(2)0f =，则不等式
(1)()0x f x ->的解集为______．
【答案】(,2)(1,2)-¥-U 【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【详解】由题意可得()f x 在[0,)+¥上为单调减函数，且(2)0f -=，则()0f x >时22x -<<，()0f x =时2x =±，()0f x <时<2x -或2x >；由(1)()0x f x ->可得1()0x f x <ìí
<î或1
()0x f x >ìí>î
，则<2x -或12x <<，
故不等式的解集为(,2)(1,2)-¥-U ．故答案为：(,2)(1,2)-¥-U ．14. 已知0a >，集合1|12A x x x ìü
=<-
>íýî
þ
或，集合{}
2|230B x x ax =--£，若A B Ç中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是____________.
【答案】131,1,148éö÷êëøæö
ç÷
èø
U 【解析】
【分析】分类讨论整数解的正负性，结合二次函数性质列式求解.
【详解】因为()2
23f x x ax =--的图象开口向上，对称轴为0x a =>，且()030f =-<，
当A B Ç中有负整数时，若负整数小于等于−2，根据对称性可知：2也符合题意，此时整数集不止2个，所以()0f x £恰有2个整数只能为1,2-，
则()()()()122021402140
3660
f a f a f a f a ì-=-£ï-=+>ïí=-£ïï=->î
，解得1
14a £<；
当A B Ç中没有负整数时，则()0f x £恰有2个整数2,3，
则()()()3660
413801220
f a f a f a ì=-£ï
=->íï-=->î
，解得1318a <<；
综上所述：实数a 的取值范围是113,11,
48éöæö
È÷ç÷êëøèø
.故答案为：113,11,
48éö
æö
È÷ç÷êëøèø
.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合U 为全体实数集，集合{2A x
x =<-∣或5}x >，{}
121B x a x a =+££+．（1）若2a =，求A B U 和U A ð；（2）若U B A Íð，求a 的取值范围．
【答案】（1）{|2A B x x È=<-或}3x ³，{}|25U A x x =-££ð.
（2）2
a £【解析】
【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；
（2）分B =Æ，B ¹Æ讨论，根据条件列出不等式，解之即得.
【小问1详解】
当2a =时，{}35B x x =££，
所以{|2A B x x È=<-或}3x ³，又{
2A x x =<-或x >5}，
所以{}|25U A x x =-££ð；
【小问2详解】
由题可得{}|25U A x x =-££ð，
当B =Æ时，则 121a a +>+，即0a <时，此时满足U B A Íð，②当B ¹Æ时，则12112215a a a a +£+ìï+³-íï+£î
，所以02a ££，
综上，实数a 的取值范围为2a £.
16. 已知函数()()2
0f x ax bx c a =++¹．（1）当1a =时，函数()f x 在()1,2-上单调，求b 的取值范围；
（2）若()0f x >的解集为()1,2-，求关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集．
【答案】（1）(][),42,-¥-+¥U
（2）()1,1,2¥¥æö--È+ç÷èø
【解析】
【分析】（1）根据()f x 在区间()1,2-上的单调性列不等式，由此求得b 的取值范围.
（2）根据()0f x >的解集求得,,a b c 的关系式，从而求得不等式20cx bx a ++>的解集.
【小问1详解】
当1a =时，()2f x x bx c =++的对称轴为2
b x =-，由于函数()f x 在()1,2-上单调，所以12b -£-或22
-³b ，解得4b £-或2b ³，
所以b 的取值范围是(][),42,-¥-+¥U .
【小问2详解】
由于()0f x >的解集为()1,2-，所以01212a b a c a ìï<ïï-+=-íïï-´=ïî，即012a b a
c a
ìï<ïï=-íïï=-ïî，所以02a b a c a <ìï=-íï=-î
，
所以不等式20cx bx a ++>，即220ax ax a --+>，
所以2210x x +->，()()2110x x -+>，
解得1x <-或12x >，所以不等式20cx bx a ++>的解集为()1,1,2¥¥æö--È+ç÷èø
.17. 习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为
3221805040,[120,144),3120080000,[144,500),2
x x x x y x x x ì-+Îïï=íï-+Îïî，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.
（1）当[200,300]x Î时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】（1）该项目会获利，当300x =时，S 取得最大值55000
（2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
【解析】
【分析】（1）当[200,300]x Î时，由项目获利为21400200800002S x x x æö=--+ç
÷èø求解；（2）根据题意求
y x
的解析式，结合二次函数以及基本不等式求解.【小问1详解】
当[200,300]x Î时，该项目获利为S ，则()2221114002008000060080000600100000222S x x x x x x æö=--+=-+-=--+ç÷èø
，当[200,300]x Î时，则()[]2
60090000,160000x -Î，可得[]20000,55000S Î，因此该项目会获利，当300x =时，S 取得最大值55000.
【小问2详解】
由题意可知，生活垃圾每吨平均处理成本为：
[)[)21805040120,1443180000200144,5002
x x x y x x x x ì-+Îïï=íï-+Îïî，，，当[120,144)x Î时，
2211805040(120)24033y x x x x =-+=-+，所以当120x =时，y x
取得最小值240；当[144,500)x Î时，1800002002y x x x
=-
+200400200200³-=-=，当且仅当800002x x =，即400x =时，y x
取得最小值200，因为240200>，
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
18. 已知2()4bx c f x x
+=+是定义在[2,2]-上的函数，若满足()()0f x f x +-=且(1)1f =.的
（1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 单调性，并利用定义证明你的结论；
（3）设函数2()24(R)g x x mx m =-+Î，若对12[1,2],[1,2]x x "Î$Î都有()()21g x f x <成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）2
5()4x f x x =+ （2）函数()f x 在[]22-,上为单调递增，证明见详解
（3
）)
¥+【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义和函数值求得0c =，5b =，即可得解析式；
（2）根据题意结合函数单调性的定义分析证明；
（3）根据题意分析可知2min 1min ()()g x f x <，结合单调性可知()2
241g x x mx =-+<在[1,2]上有解，利用参变分离结合存在性问题分析求解.
【小问1详解】
因为()()0f x f x +-=，可知()f x 为奇函数，则(0)04
c f =
=，即0c =，且(1)15b f ==，即5b =，则25()4x f x x
=+，且()()22225555()()04444x x x x f x f x x x x x -+-=+=-=++++-，可知()f x 为奇函数，即0c =，5b =符合题意，
所以2
5()4x f x x =+.【小问2详解】函数()254x f x x =
+在[]22-,上为单调递增，证明如下：对任意[]12,2,2x x Î-，且12x x <，
则()()()()
2121122122222112555()(4)4444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为1222x x -£<£，则21120,40x x x x ->->，221240,40x x +>+>，
的
可得()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，
所以函数()254x f x x =
+在[]22-,上为单调递增.【小问3详解】
对12[1,2],[1,2]x x "Î$Î都有()()21g x f x <成立，可知2min 1min ()()g x f x <，
由（2）可知()f x 在[1,2]单调递增，则()min ()11f x f ==，
可得()2241g x x mx =-+<在[1,2]上有解，只需32m x x
>+在[1,2]上有解，
因为()3h x x x
=+
在éë内单调递减，在2ùû上单调递增，
且h =()3h x x x =+在[1,2]上的最小值为
可得2m >m >，即实数m 的取值范围为)
¥+.19. 对于数集M ，定义M 的特征函数：1,()1,M x M f x x M Ïì=í-Îî
，对于两个数集M N 、，定义{}()()1M N M N x f x f x Ä=×=-∣.
（1）已知集合{1,3,7,9},{2,3,7,8}A B ==，
（i ）求(1)A f 的值，并用列举法表示A B Ä；
（ii ）若用card()M 表示有限集合M 所包含的元素个数，已知集合X 是正整数集的子集，求
card()card()X A X B Ä+Ä的最小值（无需证明）；
（2）证明：()()()A B A B f x f x f x Ä=×.
【答案】（1）①(1)1A f =-；{}1,2,8,9A B Ä=；②4
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）分析可知当元素x 与数集M N 、的关系相同时，x M N ÏÄ，不同时x M N ÎÄ.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案；
（2）结合（1）中结论分析证明即可.
【小问1详解】
对于两个数集M N 、，
若,x M x N ÎÎ，则()()1M N f x f x ==-，即()()1M N f x f x ×=，x M N ÏÄ；若,x M x N ÎÏ，则()()1,1M N f x f x =-=，即()()1M N f x f x ×=-，x M N ÎÄ；若,x M x N ÏÎ，则()()1,1M N f x f x ==-，即()()1M N f x f x ×=-，x M N ÎÄ；若,x M x N ÏÏ，则()()1M N f x f x ==，即()()1M N f x f x ×=，x M N ÏÄ；综上所述：当元素x 与数集M N 、的关系相同时，x M N ÏÄ，不同时x M N ÎÄ.①因为集合{1,3,7,9},{2,3,7,8}A B ==，
且1A Î，所以(1)1A f =-，
又因为{3,7}A B Ç=，所以{}1,2,8,9A B Ä=；
②对任意x X Î，
若元素x 与数集M N 、的关系相同时，x X M ÏÄ且x X N ÏÄ；
若元素x 与数集M N 、的关系不相同时，x X M ÎÄ或x X N ÎÄ；
若card()card()X A X B Ä+Ä取到最小值，则X A B ÍU ，
当X 为{}1,2,8,9的子集与{}3,7的并集时，此时card()card()X A X B Ä+Ä取到最小值4.
【小问2详解】
由（1）可知：对于两个数集M N 、，
综上所述：当元素x 与数集M N 、关系相同时，则x M N ÏÄ，
可得()1()()A B A B f x f x f x Ä==×；
当元素x 与数集M N 、的关系不同时，则x M N ÎÄ，
可得()1()()A B A B f x f x f x Ä=-=×；
综上所述：()()()A B A B f x f x f x Ä=×.的。