2021年中考数学专题习讲义——胡不归-阿氏圆问题

胡不归-阿氏圆问题
已知定点A 、B ，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)；
点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.
1.两点之间，线段最短；
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.垂线段最短；
构造出新的线段，使其等于aPA ；
构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=21、
2
2
和
2
3时，作相应30°、45°和60°角，构造出特
殊直角三角形；
2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；
注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（21PA+PB ）
，PA+2PB=2（
2
2
PA+PB ）.
一．胡不归问题
1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化
已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；
要求：在直线l 上找一点P ，使得21PA+PB 最小.
【分析】利用sin30°=21构造出PH=21PA ，当B 、P 和H 共
线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH 取得最小值
【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异
侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ， 则点P 即为所求，此时21PA+PB 最小，最小值即为 线段BH 的长.
问题概述
方法原理
解题思路
【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线； 2.系数a 为
2
2、
2
3时，作45°和60°角.
典型例题1-1
（1）如图1，直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上一动点，连接PB ，当P
点坐标为_________时，
2
1
PA+PB 取得最小值，最小值为__________； （2）如图2，直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为y 轴上一动点，连接PA ，当P
点坐标为________时，2PA+√2PB 取得最小值，最小值为_________.
图1 图2
【分析】（1）根据模型构造出21PA 找出P 点，借助含30°角的直角三角形解出OP 长和BH 长，从而
求出P 点坐标和21PA+PB 的最小值；
（2）2PA+√2PB=2（PA+
2
2
PB ），与（1）类似的方法求解.
【解答】（1）如图，过点A 作射线AC ，与y 轴正半轴交于点
C ，使∠OAC=30°，过点B 作BH ⊥AC 于H ，交x 轴于P ，则PH=21PA ，此时1
2 PA+PB 取得最小 值，即为BH 长；已知∠OBP=30°， ∴OP=3OB =3,则P （3，0）
又OC=3OA =3，∴BC=3+3，
∴BH=
2
3BC=2
333
+，
即1
2 PA+PB 的最小值为2
333
+；
（2）如图，过点B 作射线BC ，与x 轴的正半轴交于
点C ，使∠OBC=45°，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交 y 轴于点P ，此时2PA+√2PB 取得最小值，
∵∠BCO=45°，∴AH=√2
2
AC=2√2，
∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P （0，1）；即当P 点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB 取得最小值42.
【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；
2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.
典型例题1-2
如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为（ ）
A ．2＋5
B ．2＋6
C ．4
D ．32
【分析】由于AP=CP ，AP ＋BP ＋CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三
角形和等面积法可解出该最小值.
【解答】∵正方形ABCD 为轴对称图形，∴AP=PC ，
∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），∴即求PA+21
PB 的最小
值，连接AE ，作∠DBE=30°，交AC 于E ，过A 作AF ⊥BE ， 垂足为F ，在Rt △PBF 中，∵∠PBF=30° ，∴PF=21PB ， ∴PA+21PB 的最小值即为AF 长，易得∠PAO=30°， ∴OP=
3
AO
=
36，AP=2OP=362，BP=OB-OP=2-3
6， ∴
PF=21BP=
2
2-6
6，∴AP+PF=
2
6
2 ，AP+BP+CP 的最小值为2＋6 ，故选B.
【小结】1.求解AF 也可放到△ABE 中，用等面积法计算；
2.点P 为△ABC 的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.
变式训练1-1
如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)
13
5
l
B
A
变式训练1-2
如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为___________
2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题2-1
如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，22）， C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为线段AD 、DC ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______
【分析】设CD 上速度为v ，AD 上速度为3v ，则全程时间t=
v CD v
AD
+3=)(311CD AD v +，当31
AD+CD 最
小时，总时间最少；分析条件知CO=31AC ，过点D 作DH ⊥AC 于H ，构造△ADH 和△ACO 相似，则DH=31AD ，又CD=BD ，则需DH+BD 最小，此时B 、D 、H 共线且BH ⊥AC ，借助相似易得点D 坐标.
【解答】如图，作DH ⊥AC 于点H ，交AO 于D ，此时整个运动时
间最少，易证△BOD ∽△AOC ，则OA
OB OC OD ==
2
21，
∴OD=
2
21
OC =
4
2，∴D （0，
4
2）
【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；
2.找出图中含有两边之比等于系数a 的三角形；
3.构造相似三角形求解.
变式训练2-1
如图，抛物线y=﹣x 2
+x+3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求直线BD 的解析式；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点E ，使QE+
EB 的值最小，求E 的坐标和最小值．
二．阿氏圆问题
一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题3-1
如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 为直角边AC 上一 点，且CD=2，将CD 绕着点C 顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D 的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+21BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C 为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B 中，CD'=2
1BC ，据此在CB 上截取CF=21CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B ，将21BD'转化为D'F ，即求AD'+D'F 的最小值，A 、D'、F 共线时其值最小，由勾股定理易求该值.
【解答】在线段CB 上截取CF=21CD'=1，∴21==
'
'CB
D C D C CF ，又
∵∠FCD'=∠D'CB ，
∴△CFD'∽△CD'B ，∴2
1
=
''B D F
D ,即D'F=21BD'，要使
AD'+21BD'最小，则需AD'+D'F 最小，此时A 、D'、F 三点共线，AD'+D'F 的最小值即为AF 长，在Rt △ACF 中， AF=22CF AC +=2213+=10， 即AD'+21BD'的最小值是10.
变式训练3-1
如图1，抛物线y=ax 2
﹣6ax+6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动
点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值．
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．
①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，求出Q点坐标．②求BE′+AE′的最小值.
变式训练3-2
在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．
1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P
从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．
2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x
轴交于点D。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
中考真题
（2）P 为y 轴上的一动点，连接PD ，PD PB +2
1
的最小值为_____，此时P 点坐标为_____
（3）M （s ，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。

平面内存在点N ，使A 、B 、M 、N 为顶点的
四边形为菱形，则这样的点N 有 个；
3.如图，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。

（1）试说明CE 是⊙O 的切线。

（2）若△ACE 中AE 边上的高为h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB;
（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当2
1CD+OD 的最小值为6时， 求
⊙O 的AB 的长。

4.如图，抛物线y=（x+2）（x ﹣4）（k 为常数，且k ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y=﹣
x+b 与抛物线的另一交点为D ．
（1）若点D 的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值； （3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线
段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
5.如图1，平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴
负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的函数关系式；
S△ABC，（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=3
5求点D的坐标；
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线
个单位的速度运动到C后停止．若段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒5
3
点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．
6.已知抛物线）
)(
1
)(
3
(≠
-
+
=a
x
x
a
y，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，
经过点A的直线b
x
y+
-
=3与抛物线的另一个交点为D。

（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿
线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒
3
3
2个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
7.如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上
有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若1
2
C
C
＝
6
5
，求m的値；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋
2
3
E′B的最小值．
图1
x
y
M N
P
B
A
O E x
y
M
N
P
B
A
O E
E'
胡不归--阿氏圆问题
变式训练1-1
12+5√380
.提示：求1
80
PA+1
40
PB 的最小值，
1
80
PA+1
40
PB=1
40
（12
PA+PB ）
变式训练1-2
6√2.提示：PA+PB+PD=PA+2PB=2(1
2 PA+PB)
变式训练2-1
解：（1）当y=0时，-21x 2
+
2
5
x+3=0，解得x 1=6，x 2=﹣1，
∴A （﹣1，0）、B （6，0），当x=0时，y=3，则C （0，3）． ∵点 D 与点 C 关于 x 轴对称， ∴点D 为（0，﹣3）． 设直线BD 的解析式为y=kx+b ，
将D （0，﹣3）和B （6，0）分别代入得⎩⎨
⎧=+-=0
63
b k b ，
解得：k=21，b=﹣3， ∴直线BD 的解析式为y=21x ﹣3． （2）设P （m ，0），则Q （m ，-2
1
m 2
+
2
5m+3） M （m ，21m ﹣3）．
△QBD 的面积=21QM •QB= 21×6（-21
m 2
+2
5m+3﹣21m+3）=﹣2
3
（m ﹣2）2
+24，
∴当m=2时，△QBD 的面积有最大值，此时Q （2，6）． 如图1所示：过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ．
在Rt △OBD 中，OB=6，OD=3，则BD=35， ∴tan ∠EBF=tan ∠OBD=5
5=
BD OD
．
∴EF=
5
5BE ．∴QE+
5
5EB=QE+EF ．
∴当点Q 、E 、F 在一条直线上时，QE+5
5EB 有最小值．
过点Q 作QF ′⊥BC ，垂足为F ′，QF ′交OB 与点E ′．
设QF ′的解析式为y=﹣2x+b ，将点Q 的坐标代入得：﹣4+b=6，解得b=10， ∴QF ′的解析式为y=﹣2x+10．与y=21x ﹣3联立解得F （5
26，-
5
2），当y=0时，x=5，
∴点E ′的坐标为（5，0）．即点E 的坐标为（5，0）时QE+
5
5
EB 有最小值．最小值=QF=
55162
522526)6()2(=++-．
变式训练3-1
解：（1）把点A （8，0）代入抛物线y=ax 2
﹣6ax+6，得64a ﹣48a+6=0， ∴a=﹣83
， ∴y=﹣83
x 2
+
4
9x+6与y 轴交点，令x=0，得y=6，
∴B （0，6）．设AB 为y=kx+b ，将A （8，0），B （0，6）代入得，
∴⎩⎨⎧==+60
8b b k ，解得：⎩⎨⎧=-=6
43
b k ，
∴直线AB 的解析式为y=﹣4
3x+6，
（2）∵E （m ，0）， ∴N （m ，﹣
4
3
m+6）， P （m ，﹣83
m 2
+
4
9m+6）．
∵PE ∥OB ， ∴△ANE ∽△ABO ， ∴
OB
AB EN
AN =
，
∴
6
10
64
3=
+-m AN ，解得：AN=
3
)6(54
3m -，
∵PM ⊥AB ，
∴∠PMN=∠NEA=90°． 又∵∠PNM=∠ANE ， ∴△NMP ∽△NEA ． ∵
25362
1=S S ，
∴
5
6
=
AN PM ，
∴PM=5
6AN==12﹣
2
3m ． 又 ∵PM=﹣83
m 2
+4
9m+6﹣6+
4
3m=﹣83
m 2
+3m ，
∴12﹣
2
3m=﹣83
m 2
+3m ，整理得： m 2
﹣12m+32=0，
解得：m=4或m=8．
∵0＜m ＜8∴m=4. （3）①在（2）的条件下，m=4，
∴E （4，0），设Q （d ，0）．由旋转的性质可知OE ′=OE=4，若△OQE ′∽△OE ′A ．则OA
E O E O OQ
''=
．
∵0°＜α＜90°， ∴d ＞0， ∴
8
44
=
d ，解得：d=2，
∴Q （2，0）.
②由①可知，当Q 为（2，0）时， △OQE ′∽△OE ′A ，且相似比为2
142=
=
='
'
'E A E Q E O OQ
，
∴
2
1AE ′=QE ′，
∴BE ′+21AE ′=BE ′+QE ′，
∴当E ′旋转到BQ 所在直线上时，BE ′+QE ′最小，即为BQ 长度， ∵B （0，6），Q （2，0）， ∴BQ=102436=+，
∴BE ′+21AE ′的最小值为210．
变式训练3-2
42.提示：2PD ﹢PB=2（PD +
2
1
PB ），即求PD +
2
1
PB 的最小值； 如图，由∠CPA ﹦135°知，点P 在以O 为圆心，
OA 长为半径的劣弧AC 上运动，取OA 的中点M ，易知△OMP ∽△OPB ，则PM=
2
1PB ，则PD +
2
1PB =PD +PM ，当点P 为
DM 与弧AC 的交点时，PD+PM 取得最小值，即为DM 长，由两点之间距离公式易得DM=2
2.
中考真题
1.23.解：当DO ⊥AB 时，2OD+CD 有最小值，即t 有最小值， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠C=90°，
∵∠A=30°，AB=8cm ，
∴AC=43cm ，在 Rt △AOD 中，AD=2OD ， ∴t=322
2212
==
+=+AC
AD
CD OD CD
，即 t 的最小值是23s ．
2.解：（1）由题意
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
-
=
=
+
-
2
4
3
c
b
a
c
c
b
a
, 解得
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
=
3
2
3
2
3
c
b
a
，
∴抛物线解析式为 y=
2
3x2﹣
2
3x﹣3，
∴顶点（
2
1，﹣
8
3
9）
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时
2
1PB+PD最小．
理由：∵OA=1，OB=3，
∴tan∠ABO=
OB
OA=
3
3，
∴∠ABO=30°∴PH=1
2
PB，
∴1
2
PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时1
2
PB +PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，
∵∠AHD=90°，AD=
2
3，∠HAD=60°，
∴sin60°=
AD
DH，∴DH=
4
3
3，
∴
2
1PB+PD的最小值为
4
3
3；
（3）以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．
3.（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h．在Rt△OHC中，
CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=√3
2
OC，
∴OC=2h
√3
=2√3
3
h，∴AB=2OC=4√3
3
h；
(3)作OF 平分∠AOC ，交⊙O 于F ，连接AF 、CF 、DF ，如图3，则∠AOF=∠COF=12
∠AOC =1
2（180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC ，
∴△AOF 、△COF 是等边三角形， ∴AF=AO=OC=FC ， ∴四边形AOCF 是菱形，
∴由对称性得DF=DO ．过点D 作DH ⊥OC 于H ， ∵OA=OC ，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC •sin ∠DCH=DC •sin30°=1
2 DC ， ∴1
2 CD+OD=DH+FD ．当F 、D 、H 三点共线时，
DH+FD （即1
2
CD+OD ）最小，
此时FH=OF •sin ∠FOH=√3
2
OF=6， 则OF=4√3，AB=2OF=8√3．
∴当1
2 CD+OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为8√3．
4.解：（1）抛物线y=
8
k （x+2）（x ﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，
∴A （﹣2，0）， B （4，0）． ∵直线y=﹣3
3x+b 经过点B （4，0），
∴﹣
3
3×4+b=0，解得b=334， ∴直线BD 解析式为：y=﹣3
3x+
3
34．当 x=﹣5时，y=33，
∴D （﹣5，33）．
∵点 D （﹣5，33）在抛物线y=8
k （x+2）（x ﹣4）上，
∴
8
k （﹣5+2）（﹣5﹣4）=33，
∴k=9
38．∴抛物线的函数表达式为： y=
9
3（x+2）（x ﹣4），
即y=
9
3x 2
﹣
9
32x ﹣
9
38．
（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k ，
∴C （0，﹣k ），OC=k ．因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC ∽△APB 或△ABC ∽ △PAB ．
① △ABC ∽△APB ，则有∠BAC=∠PAB 如答图2﹣1所示．
设P （x ，y ），过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则ON=x ，PN=y ．tan ∠BAC= tan ∠PAB ，即：2
k =
2
x y +，
∴y=
2
k x+k ，
∴P （x ，
2
k x+k ），代入抛物线解析式得
8
k （x+2）（x ﹣4）=
2
k x+k ，
整理得：x 2
﹣6x ﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A 重合，舍去）， ∴P （8，5k ）． ∵△ABC ∽△APB ， ∴
AB
AC =
AP
AB ，即
6
42+K =
100
2562
+k ，k=
5
54；
②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC=∠PAB ，如答图2﹣2所示．
设P （x ，y ），过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则ON=x ，PN=y ．tan ∠ABC=tan ∠PAB ，2
y 4
+=
x k ，
∴y=
4
k x+
2k ． ∴P （x ，4
k x+
2
k ），代入抛物线解析式y=
8
k （x+2）（x ﹣4），得
8
k （x+2）（x ﹣4）=
4
k x+
2
k ，
整理得：x 2
﹣4x ﹣12=0，解得：x=6或x=﹣2（与点A 重合，舍去）， ∴P （6，2k ）． ∵△ABC ∽△PAB ，AB
AP =
CB AB
，解得k=±2，
∵k ＞0，∴k=2，综上，k=5
54或k=2．
（3）方法一：如图3，D （﹣5，33）
过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，则DN=33，ON=5，BN=4+5=9，∴tan ∠DBA=BN
DN
=33
， ∴∠DBA=30°．过点D
作DK ∥x 轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F 作FG ⊥DK 于点G ，则FG=2
1DF ．由题意，动点M 运动的路径为折线AF+DF ，
运动时间：t=AF+21DF ，∴t=AF+FG ，即运动的时间值等于折线AF+FG 的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG 的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH ⊥DK 于点H ，则t 最小=AH ，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵
A 点横坐标为﹣2，直线BD 解析式为：y=﹣3
3x+3
34
，∴y=﹣3
3×（﹣2）+3
34=23，∴F （﹣2，23）．综上
所述，当点F 坐标为（﹣2，23）时，点M 在整个运动过程中用时最少， 方法二：作DK ∥AB ，AH ⊥DK ，AH 交直线BD 于点F ，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF ×sin30°=FD 2
，∴当且仅当AH ⊥DK 时，AF+FH 最小，点M 在整个运动中用时为：t=
2
1
FD AF
+=AF+FH ，∵l BD ：y=﹣
3
3
x+
3
34，∴F X =A X =﹣2，∴F （﹣2，
）．
5.解：（1）∵C （0，3），∴OC=3，∵4CN=5ON ，∴ON=43
，∵∠OAN=∠NCM ，∴△AON ∽△COB ， ∴OA OC =ON OB
，即OA 3
=43
4
，解
得OA=1，∴A （﹣1，0） 设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣4），把C （0，3）代入得a•1•（﹣4）=3，解得a=﹣34
，∴抛物线解析式为y=﹣34
（x+1）（x ﹣4） =﹣34
x 2+9
4
x+3；
（2）设直线BC 的解析式为y=mx+n ，把 C （0，3），B （4，0）代入得⎩⎨⎧=+=043n m n ，解得⎩
⎨⎧=-=34
3n m ，∴
直线BC 的解析式为 y=﹣34
x+3，作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图1，设 P （x ，﹣34
x 2
+94
x+3），则Q （x ，﹣34
x+3），DQ=﹣3
4
x 2
+94
x+3﹣（﹣34
x+3）=﹣34
x 2
+3x ，∴S △BCD = S △CDQ +S △BDQ =12
×4×（﹣3
4
x 2
+3x ）=﹣3
2x 2
+6x ， ∵S △BCD =35
S △ABC ，∴﹣32
x 2
+6x=35
×1
2
×（4+1）×3，整理得x 2
﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3，∴D 点坐标为（1，9
2
）或（3，3）；
（3）点P 在整个运动过程中所用的最少时间为3秒，此时点F 的坐标为（2，32）．提示：即使得EF+3
5
CF 最小，过点C 作CG ∥AB ，过点E 作EH ⊥CG 于H ，交BC 于点F ，此时△CFH ∽△BCO ，FH=3
5CF
6.解：（1）∵y=a （x+3）（x ﹣1），∴点A 的坐标为（﹣3，0）、点B 两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣√3x+b 经过点A ，∴b=﹣3√3，∴y=﹣√3x ﹣3√3，当x=2时，y=﹣5√3，则点D 的坐标为（2，﹣5√3），∵点D 在抛物线上，
∴a （2+3）（2﹣1）=﹣5√3，解得，a=﹣√3，则抛物线的解析式为y=﹣√3（x+3）（x ﹣1）= ﹣√3x 2
﹣2√3x+3√3； （2）∵A 的坐标为（﹣3，0），C （0，3√3）∴直线AC 的解析式为：y=√3x+3√3，
①∵△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形， ∴CP ⊥AC ，∴设直线CP 的解析式为： y=﹣√33
x+m ，把C （0，
3√3）代入得m=3√3， ∴直线CP 的解析式为：y=﹣√3
3x+3√3，解⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=33323-y 33y 2
33x x x 得⎪
⎩⎪⎨⎧=-=933235y x 或
⎩⎨⎧==3
3y 0x （不合题意，舍去）， ∴P （﹣53，32√3
9
）； ②∵△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形， ∴AP ⊥AC ，∴设直线CP 的解析式为： y=﹣√33
x+n ，把A （﹣3，0）代入得n=﹣√3， ∴直线AP 的解析式为：y=﹣√3
3
x ﹣√3，
解⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=33323-y 3
y 233x x x 得⎩
⎨⎧=-=0y 3x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==93734y x ，∴P （43，﹣7
9
√3），
综上所述：点 P 的坐标为（﹣5
3
，
32√39）或 （43，﹣7
9
√3）；
（4）如图2中，作DM ∥x 轴交抛物线于M ，作DN ⊥x 轴于N ，作EF ⊥DM 于F ，则tan ∠DAN= DN AN
=√3，
∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，
∴DE=EDF EF
∠sin =
2√3
3
EF ，∴Q 的运动时间t=
BE 1
2√33
=BE+EF ，
∴当BE 和EF 共线时，t 最小，则BE ⊥DM ，此时点E 坐标（1，﹣4√3）． 7.解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2
＋(a ＋3)x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3)＋3＝0．
解得a ＝－3
4
．
∴抛物线的函数表达式为：y ＝－34x 2＋9
4x ＋3．
把x ＝0代入上式，得y ＝3． ∴点B 的坐标为（0，3）．
由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＝－3
4x ＋3．
（2）根据题意，得
OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－34m 2＋9
4m ＋3)．
∴PE ＝－34m 2＋9
4m ＋3……………………………………………………①
点N （m,－34m ＋3),∴PN=－34m 2＋94m ＋3-(－34m ＋3)=－34m 2
＋3m,
∵△AEN ∽△AOB ，∴AE AN
45==5
4(4－m)．
∵△PMN ∽△AEN ，且
12C C ＝6
5
， ∴PN AN ＝6
5．即5
6)
4(3-4
5
2
43=
-+m m m ． 解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去)． ∴m 的値为2．
（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 如图，取点F(0，43)，连接FE ′、AF ．则OF ＝4
3
，AF ＝
42
＋(43)2＝43
10．
∵OF OE ′＝4
32＝23，OE ′OB ＝23，且∠FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴FE ′E ′B ＝23．∴FE ′＝23E ′B ． ∴E ′A ＋23E ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝4
310．
∴E ′A ＋23E ′B 的最小值为4
3
10．
x
y
F B A
O
E
E'。