最新-学考优化设计2021学年高中数学北师大版选修21课件：221空间向量的加、减法及数乘运算 精品
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2 空间向量的运算
第1课时
空间向量的加、减法及数乘运算
学 习 目 标
思 维
1.会用图形说明空
间向量加法、减法、
数乘向量及它们的
运算律.
2.掌握利用空间两
个向量共线的充要
条件解决有关问
题.
3.能与平面向量的
运算进行类比与区
分,加深对空间向
量运算的理解.
脉 络
一
二
三
思考辨析
一、空间向量的加、减法
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断:
①( + )+1 = + 1 = 1 ;
②(1 + 1 1 )+1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;
③( + 1 )+1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;
务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由
平移获得更准确的结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 已知在四面体 A-BCD 中,=a,=b,=c,则等于
(
)
A.a+b-c
C.-a+b+c
B.-a-b+c
D.-a+b-c
解析:因为 = + + = − +
=b-a+c=-a+b+c,所以选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
1 1 =a,1 1 =b,1 =c,E,F,G,H,P,Q 分别是
AB,BC,CC1,C1D1,D1A 1,A 1A 的中点,求证: + + =0.
一
二
三
思考辨析
名师点拨空间向量的加、减法运算满足平行四边形法则和三角
形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
一
二
三
思考辨析
【做一做 1】 如图,在正方体 ABCD-A1B 1C1D 1
中,=a,=b,1 =c,则1 等于(
)
A.a+b+c
C.a-b-c
B.a+b-c
D.-a+b+c
二
三
思考辨析
【做一做3】 已知O是平面内任意一点,α是任意角,下列等式一定
可以判定A,B,C三点共线的是(
)
A.=sin α+cos α
B.=sin2α+cos2α
C.=sin α-cos α
D.=sin2α-cos2α
解析:因为sin2α+cos2α=1,故选B.
如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,
1
连接 AM,则1 + 1 1
2
1
+ 1 1 =
2
1 1 + 1 =
.
1
解析பைடு நூலகம்1 + 1 1
证明:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是
AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,
1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
+ = a+ b- c- a- b+ c=0.
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
1
2
1
2
1 1 =a,1 1 =b,1 =c,∴ = a+ b,=- c- a, =- b+ c.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算
的结果为向量 1 的有(
)
①( + )+1 ;②(1 + 1 1 )+1 1 ;
③( + 1 )+1 1 ;④(1 + 1 1 )+1 1 .
解析:1 = 1 + = 1 + +
= − − 1 =a-b-c.
答案:C
一
二
三
思考辨析
二、空间向量的数乘
一
二
三
思考辨析
特别提醒1.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减
运算,如λ±a等无法运算.
2.任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以
∴ +
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟先用a,b,c分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用
空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化.正确运
用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向.对向量算式
的化简或证明,要结合图形,充分利用图形的性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
把向量a的模扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1时);可以不改变
向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).
3.当λ=0时,λa=0;当λ≠0时,若a=0,则λa=0.
一
二
三
思考辨析
【做一做2】 如图,已知在四面体A-BCD中,点G是CD的中点,
则
1
+ (
答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)不论λ取什么实数,λa与a一定共线. ( √ )
(2)若λa=0,则必有λ=0. ( × )
(3)若a,b共线,则a与b所在直线平行. ( × )
(4)已知 A,B,C,D 是空间任意四点,则 + + + =0. ( √ )
④(1 + 1 1 )+1 1 = 1 + 1 1 = 1 .
所以所给 4 个式子的运算结果都是1 .
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用相反向量:灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而
便于运算.
巧用平移:利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的运算时,
2
A.
解析:
答案:B
+ )等于(
B.
1
+ (
2
)
C.
1
2
D.
+ )= + = .
一
二
三
思考辨析
三、共线向量定理
一
二
三
思考辨析
特别提醒对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确
把握:
(1)在此充要条件中,要特别注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一
定成立.例如,若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.
(2)该充要条件包含两个命题:
①a∥b⇒存在唯一的实数λ,使a=λb;
②存在唯一的实数λ,使a=λb⇒a∥b.
(3)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注
意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.
一
第1课时
空间向量的加、减法及数乘运算
学 习 目 标
思 维
1.会用图形说明空
间向量加法、减法、
数乘向量及它们的
运算律.
2.掌握利用空间两
个向量共线的充要
条件解决有关问
题.
3.能与平面向量的
运算进行类比与区
分,加深对空间向
量运算的理解.
脉 络
一
二
三
思考辨析
一、空间向量的加、减法
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断:
①( + )+1 = + 1 = 1 ;
②(1 + 1 1 )+1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;
③( + 1 )+1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;
务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由
平移获得更准确的结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 已知在四面体 A-BCD 中,=a,=b,=c,则等于
(
)
A.a+b-c
C.-a+b+c
B.-a-b+c
D.-a+b-c
解析:因为 = + + = − +
=b-a+c=-a+b+c,所以选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
1 1 =a,1 1 =b,1 =c,E,F,G,H,P,Q 分别是
AB,BC,CC1,C1D1,D1A 1,A 1A 的中点,求证: + + =0.
一
二
三
思考辨析
名师点拨空间向量的加、减法运算满足平行四边形法则和三角
形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
一
二
三
思考辨析
【做一做 1】 如图,在正方体 ABCD-A1B 1C1D 1
中,=a,=b,1 =c,则1 等于(
)
A.a+b+c
C.a-b-c
B.a+b-c
D.-a+b+c
二
三
思考辨析
【做一做3】 已知O是平面内任意一点,α是任意角,下列等式一定
可以判定A,B,C三点共线的是(
)
A.=sin α+cos α
B.=sin2α+cos2α
C.=sin α-cos α
D.=sin2α-cos2α
解析:因为sin2α+cos2α=1,故选B.
如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,
1
连接 AM,则1 + 1 1
2
1
+ 1 1 =
2
1 1 + 1 =
.
1
解析பைடு நூலகம்1 + 1 1
证明:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是
AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,
1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
+ = a+ b- c- a- b+ c=0.
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
1
2
1
2
1 1 =a,1 1 =b,1 =c,∴ = a+ b,=- c- a, =- b+ c.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算
的结果为向量 1 的有(
)
①( + )+1 ;②(1 + 1 1 )+1 1 ;
③( + 1 )+1 1 ;④(1 + 1 1 )+1 1 .
解析:1 = 1 + = 1 + +
= − − 1 =a-b-c.
答案:C
一
二
三
思考辨析
二、空间向量的数乘
一
二
三
思考辨析
特别提醒1.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减
运算,如λ±a等无法运算.
2.任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以
∴ +
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟先用a,b,c分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用
空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化.正确运
用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向.对向量算式
的化简或证明,要结合图形,充分利用图形的性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
把向量a的模扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1时);可以不改变
向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).
3.当λ=0时,λa=0;当λ≠0时,若a=0,则λa=0.
一
二
三
思考辨析
【做一做2】 如图,已知在四面体A-BCD中,点G是CD的中点,
则
1
+ (
答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)不论λ取什么实数,λa与a一定共线. ( √ )
(2)若λa=0,则必有λ=0. ( × )
(3)若a,b共线,则a与b所在直线平行. ( × )
(4)已知 A,B,C,D 是空间任意四点,则 + + + =0. ( √ )
④(1 + 1 1 )+1 1 = 1 + 1 1 = 1 .
所以所给 4 个式子的运算结果都是1 .
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用相反向量:灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而
便于运算.
巧用平移:利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的运算时,
2
A.
解析:
答案:B
+ )等于(
B.
1
+ (
2
)
C.
1
2
D.
+ )= + = .
一
二
三
思考辨析
三、共线向量定理
一
二
三
思考辨析
特别提醒对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确
把握:
(1)在此充要条件中,要特别注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一
定成立.例如,若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.
(2)该充要条件包含两个命题:
①a∥b⇒存在唯一的实数λ,使a=λb;
②存在唯一的实数λ,使a=λb⇒a∥b.
(3)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注
意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.
一