七年级数学考点大串讲(人教版)：专题01 有理数(原卷版)

专题01有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练）
【知识导图】
【知识清单】
1.有理数：(1)凡能写成
)0p q ,p (p
q
为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数；
(2)有理数的分类:
①
负分数负整数负有理数零
正分数正整数正有理数有理数②
负分数正分数分数负整数零
正整数
整数有理数
(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；
a ＞0 a 是正数；
a ＜0 a 是负数；
a≥0 a 是正数或0 a 是非负数；a≤0 a 是负数或0 a 是非正数.
【例1】把下列各数填在相应的大括号里：
2 ，－3.14，0，18%，435
，2019，227，1
32 ，－1
整数： ______...；正分数： ______...；非负有理数： ______...．
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.
【例2】．（2023•馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数a 和﹣2，则a 可以是（
）
A ．﹣3
B ．﹣1
C ．1
D ．2
3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c 的相反数是-(a-b+c)=-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.(4)相反数的商为-1.（5）相反数的绝对值相等
【例3】如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是它本身，则m n 的值为（）
A ．1
B ．0
C ．2
D ．-1
4.绝对值：
(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：
)
0a (a )
0a (0)
0a (a a 或
)0()
0(a a a a a ；
(3)
0a 1a
a ；
0a 1a
a ；
(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；
【例4】（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．（1）a ＝
，b ＝
．
（2）已知|m ﹣a |+|b +n |＝0，求mn 的值．
5.有理数比大小：
（1）正数永远比0大，负数永远比0小；（2）正数大于一切负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；
（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

【例5】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－11
2
，4，0.
6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；
若ab=1 a 、b 互为倒数；
若ab=-1 a 、b 互为负倒数.
等于本身的数汇总：
相反数等于本身的数：0倒数等于本身的数：1，-1绝对值等于本身的数：正数和0平方等于本身的数：0,1立方等于本身的数：0,1，-1.
【例6】．（2023•绥化模拟）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．1或﹣1
7.有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.【例7】计算：
(1) 33 2.71 1.695
(2)1
15 4.25
7522
．
8．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.【例8】阅读理解下题的计算方法，并解决问题：计算：(−556)+(−923)+1734+(−312
)．
解：原式=[(−5)+(−56)]+[(−9)+(−23)]+(17+34)+[(−3)+(−12)]
=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−1
2)]=0+(−5
4)=−54
上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：(−201856)+(−201723)+403623+(−12
)．
9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.【例9】(1)2－(－3)；(2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)；(3)41
373
．
10有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与零相乘都得零；
（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

【例10】.计算：
（1） 2.50.49 1.2548 ；
（2） 232133083 ；
（3）111111*********
．
11有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .（简便运算）【例11】（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算：①
；
②
．
12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0
a .【例12】计算：121123031065
13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
【例13】已知三个互不相等有理数a ，b ，c ，既可以表示为1，a ，a +b 的形式，又可以表示为0，，b 的形式，则a 2020b 2021值是
．
14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 a=0,b=0；
（4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

【例14】（2022秋•兰溪市期中）已知（a ﹣2）2与|b +1|互为相反数，求（a ﹣b ）a +b 的值．
15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1,整数位数=10的指数+1
【例15】（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S 1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S 1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）
A ．0.22819×1010
B ．0.22819×1011
C ．2.2819×1010
D ．2.2819×1011
16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.
【例16】（2022秋•青田县期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）
A ．0.1（精确到0.1）
B ．0.05（精确到千分位）
C ．0.05（精确到百分位）
D ．0.0502（精确到0.0001）
17.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；
注意：不省过程，不跳步骤。

【例17】（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）计算：
2
41112624
【提升练习】
1．（2023•南召县模拟）如果定义新运算“※”，满足a※b＝2a+3b+（﹣a），那么﹣1※2＝．2．（2023春•沈阳月考）有4个不同数字1，﹣2，2，3，用学过的运算方法（加，减，乘，除，乘方）使其结果为24，写出运算式子．
（写出两种等式）．
3．（2023春•长宁区期末）计算：．
4．（2023春•浦东新区期末）计算：﹣23+|﹣5|﹣18×（﹣）2．
5．（2022秋•硚口区期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．
6．（2022秋•鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
7．（2022秋•鞍山期末）计算：
（1）；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．
8．（2022秋•泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小玲想的数是﹣5，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；
（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？
9．数学老师布置了一道思考题“计算：
115
--
1236
”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这
个问题．
小明的解法：原式的倒数为
15115
-(-)(-)(12)
361236
＝－4＋10＝6，所以
1151
--
12366
(1)请你判断小明的解答是否正确？
(2)请你运用小明的解法计算：
1113 --48368
10．已知一些两位数相乘的算式：62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11.利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式.观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上：
.
11．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB BC ，设点A ，B ，C 所对应数分别为a 、b 、c ，且a b c m ．
（1）若点C 为原点，1BC ，则 a __________，b _________，m _________；（2）若点B 为原点，6AC ，求m 的值．
（3）若原点O 到点C 的距离为8，且OC AB ，求m 的值．
12．解答下列问题：
（1）画出数轴，并在数轴上表示1
14
与2；
（2）数轴上表示1
14
的点与表示2的两点之间的距离为
；
（3）若|a ﹣3|=2，|b +2|=1，且点A ，点B 在数轴上表示的数分别是a ，b ，则A 、B 两点间的最大距离是，
最小距离是
；
（4）数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c ．点A 在点C 左侧，点A 与点B 之间的距离为3，
点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每分钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每分钟4个单位长度从点C向左运动．
①如图1，分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等；
②如图2，分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等．
13．（2022秋•澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
14．
（2022秋·七年级单元测试）阅读材料：因为0x x ，所以x 的几何意义可解释为数轴上表示数x 的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：12x x 的几何意义是数轴上表示数1x 的点与表示数2x 的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)等式23x 的几何意义是什么？这里x 的值是多少？
(2)等式45x x 的几何意义是什么？这里x 的值是多少？
(3)式子13x x 的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？
15．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）点O 为数轴的原点，点A ，B 在数轴上分别表示数a ，b ，且a ，
b 满足2(5)30a b ．
(1)填空： a ___________，b ___________，AB ___________．
(2)如图1，在数轴上有一点M ，若点M 到点B 的距离是点M 到点A 的距离的3倍，求点M 在数轴上表示的数；
(3)如图2，在数轴上有两个动点P ，Q ，点P ，Q 同时分别从A ，B 出发沿数轴正方向运动，点P 的运动速
度为m 个单位/秒，点Q 的运动速度为n 个单位/秒，在运动过程中，取线段AQ 的中点C （点C 始终在线段PQ 上），若线段PC 的长度总为一个固定的值，求出m 与n 的数量关系．
16.点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB a b =-，例如：数轴上表示1 与2 的两点间的距离 12121 ；而 22x x ，所以2x 表示x 与2 两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2 和5 两点之间的距离；
(2)若数轴上表示点x 的数满足12x ，那么x
；(3)若数轴上表示点x 的数满足43x ，求34x x 的值；
(4)|348x x x 的最小值是．
17．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A 在数轴上的对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且满足 2
350a b ．
(1)点A 到点B 的距离为_________；
(2)如图，点P 是数轴上一点，点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的3倍（即3PA PB ），求点P 在数轴上对应的数．。