衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题六 异面直线问题求解攻略最新修正版

衡水独家秘籍之2019高中期末复习
专题六异面直线问题求解攻略
【方法综述】
异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中一类最重要的位置关系，它在立体几何中占有重要的地位，是历年考查的重点和热点，围绕异面直线设计的命题，主要有以下类型，一是概念的辨析，二是判定与证明，三是角的计算.下面举例说明．
1．概念的辨析
异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的这种不共面特性．应该明确分别在不同平面内的两条直线不一定是异面直线，在某一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线也不一定是异面直线．
例1.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）
A．与都不相交 B．与都相交
C．至多与中的一条相交 D．至少与中的一条相交
解析在A中，直线与、可以相交，如图，
所以选项B错误；
在B中，直线可以与、中的一个平行，如上图，所以选项B错误；
在C中，直线与、可以都相交，如图，
所以选项C错误；
在D中，“至少与中的一条相交”正确，
假设直线与、都不相交，
因为直线与、都共面，
所以直线与、都平行，
所以，这与直线和是异面直线矛盾，所以选项D正确.
答案D.
点评：异面直线的定义强调的是这两条直线不同在任何一个平面内，而不是指在某特定平面内．
2．异面直线的判定与证明
异面直线的判定方法有：①定义法，由定义判断两直线不可能在同一平面内；②反证法，用此方法可以证明两直线是异面直线．
例2.M，N，E，F，G，H，P，Q是正方体ABCD－A1B1C1D1所在棱的中点，则PQ，EF，GH中与直线MN异面的直线是________．
分析要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断．
解析首先，我们不难看出PQ∥MN；其次，根据平面的基本性质，可得MN，EF交于一点，即MN与EF共面；最后，我们可直观地得到GH与MN异面．
答案GH
点评：判断两条直线是不是异面直线，除了根据定义及平面的基本性质外，直观上的感知也是十分重要的一方面．
3．求异面直线所成的角
求异面直线所成的角的解题思路是：把空间两异面直线通过平移，转化为平面内相交直线所成的角，具体的平移过程应视题而定．主要有以下四种平移途径：
①利用三角形的中位线平移；②利用平行线分线段成比例的推论平移；③利用平行四边形平移；④利用补形平移．
例3.如图，在每个面都为等边三角形的四面体S－ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角．
分析要求异面直线EF与SA所成的角，首先依定义作出其所成角，为此取SB的中点D，连接ED，FD，根据三角形中位线性质知∠EFD是异面直线EF与SA所成的角．
解如图，连接CF，SF，设四面体S－ABC的棱长为a，
则SF ＝CF ＝32
a . 因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .
在Rt△SEF 中，SE ＝12SC ＝12
a ， 所以EF ＝SF 2－SE 2＝22
a . 取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .因为BC ＝SA ＝a ，
而FD ∥SA 且FD ＝12SA ，ED ∥CB 且ED ＝12
CB ， 所以FD ＝ED ＝12
a ，于是FD 2＋ED 2＝EF 2. 故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，
即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.
点评： 本题以正四面体为依托，通过求异面直线所成的角，考查了异面直线的有关概念，明确了求异面直线所成角的具体求解方法，即“作—证—求”．
【针对训练】
1．下列命题中，正确的是( )
A ．a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线
B ．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
C ．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
D ．异面直线所成的角的范围是[0°，90°]
【答案】C
【解析】
分析 根据异面直线有关概念进行判断，将错误的选项逐一排除．
解：选项A 中，a ，b 的位置关系有可能相交、平行或异面；选项B 中，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线；选项D 中，两条平行或重合的直线所成的角为0°，因此异面直线所成角的范围是(0°，90°]，故答案选C.
2．正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
取中点，连结，
设正四面体的棱长为,
则，且，
是异面直线与所成的角，
取中点，连结
则，
平面,
⊂平面,，
，
，
异面直线与所成的角为,故选B .
3．如图，多面体, ,,且两两垂直．给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②经过四点的球的直径为;
③直线∥平面；
④直线所成的角为；
其中真命题的个数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，
则x2+y2=2，x2+z2=4，y2+z2=4，解得，x=y=1，z=，
对于①，三棱锥O﹣ABC的体积为OC×OA×OB=，故①对；
对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为，故②对；
对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．
对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE=，则∠DAE=60°，故④对；
故选：C
4．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，，，
，，．
故选：A．
5．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC, △PBC, △PAB, △PDA 为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）
A．平面BCD⊥平面PAD B．直线BE与直线AF是异面直线
C．直线BE与直线CF共面 D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
【答案】A
【解析】
由展开图恢复原几何体如图所示：
折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直，不正确；
由点不在平面内,直线不经过点,根据异面直线的定义可知：直线与直线异面，所以正确；
在中，由，
根据三角形的中位线定理可得,又，
故直线与直线共面，所以正确；
面，
由线面平行的性质可知面与面的交线与平行，正确，故选A.
6．如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线BN与MB1是异面直线；
③直线AM与BN是平行直线；④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为（）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】
四点不共面，
直线与是异面直线，故①错误；
直线与不同在任何平面内，是异面直，故②正确；
直线与不同在任何平面内，是异面直线，故③错误；
直线与不同在任何平面内，是异面直，故④正确，故选D.
7．关于异面直线，有下列四个命题：
（1）过直线有且仅有一个平面，使//;
（2）过直线有且仅有一个平面，使;
（3）在空间中存在平面，使//,//;
（4）在空间中不存在平面，使,;
其中正确命题的序号是____________.
【答案】（1）（3）（4）
【解析】
在直线选一点，过作直线，由公理3的推论可知存在平面，使得⊂⊂，因异面，故，所以，若存在不同的平面，使得⊂⊂，则，故，与异面矛盾，故（1）正确.
对于（2），若存在平面，使得，因⊂，故，所以当不垂直时，（2）就不成立，故（2）错.
对于（4），如存在平面，使得，则，与异面矛盾，故（4）正确.
对于（3），在空间中取，过分别作的平行线，设相交直线确定的平面为（如果中有一条直线在该平面中，可平移该平面使得均在平面外），则，故（3）正确.
综上，填（1）（3）（4）.
8．异面直线成角，直线，则直线所成角的范围是_____________
【答案】
【解析】
如图：
所有与垂直的直线平移到点组成一个与直线垂直的平面点是直线与平面的交点, 做的平行线,交于点,
在直线上取一点,做垂线平面,交平面于 ,角是与面的线面夹角为，在平面中，所有与平行的线与的夹角都是，为最小角，
在平面 内所有与 垂直的线（由于 垂直于平面 ,所以该线垂直与 ，则该线垂直平面 ,所以该线垂直与 )与 的夹角等于 ，为最大角，故答案为 .
9．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，问：
(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；
(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．
【答案】（1）不是异面直线（2）是异面直线
【解析】
(1)不是异面直线，理由：连结MN ，A 1C 1、AC ，如图，因为M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.又因为A 1A // D 1D ，D 1D //C 1C ，所以A 1A //C 1C ，四边形A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC ，故MN ∥A 1C 1∥AC ，所以A 、M 、N 、C 在同一个平面内，故AM 和CN 不是异面直线．
(2)是异面直线，证明如下：假设D 1B 与CC 1在同一个平面CC 1D 1内，则B ∈平面CC 1D 1，C ∈平面CC 1D 1，所以BC ⊂平面CC 1D 1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线．
10．已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，求证：AE 与DF 是异面直线.
【答案】详见解析
【解析】试题分析：首先说明D 、E 、F 三点均在面BCD 内，而A 不在面内，故而可得结论.
试题解析：由已知，得E 、F 不重合．
设BCD 所在平面为α，则DF α⊂，A α∉，E α∈，E DF ∉，∴AE 与DF 异面．。