2020-2021学年大同中学高一上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷

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2020-2021学年大同中学高一上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分100分，考试时间100分钟）
一、 填空题（每题3分，共30分）
1. 若集合{
}
2
=1,A x x
x R ≤∈，{}
2=,B y y x x R =∈，则A
B =______.
2. 函数
1x y +=
的定义域是 .
3. 函数()f
x 是1,b a ⎡⎤-⎣⎦上的奇函数，且,a b R
+
∈，则a b ⋅的最大值为 .
4. 已知()2
y f x x
=+是奇函数，且()11f =.若()()2g x
f x =+，则()1
g -=____.
5. 已知不等式
11
ax
x <-的解集为()()12,,-∞+∞，则a
= .
6.
函数y =
单调递减区间是 .
7. 已知函数()f
x 在(),-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，那么命题“如果0a b +≥，则
()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的逆命题的真假性是 .（填：真或假）
8. 若关于x 的不等式2
22x x a -+≥-无解，则实数a 的取值范围是 .
9. 已知()10=10，，x f
x x ⎧≥⎨-<⎩
，则不等式()()225x x f x ++⋅+≤的解集是 .
10. 已知函数()f
x 的定义域为R ，则下列命题中：
①若()2f
x -是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线2x =对称；
②若()
()22f
x f x +=--，则函数()f x 的图像关于原点对称；
③函数()2y f
x =+与函数()2y
x f =-的图像关于直线2x =对称；
④函数()2f
x -与函数()2y
x f =-的图像关于直线2x =对称.
其中正确的命题序号是 .
二、 选择题（每小题4分，共16分） 11.下列各组函数中，表示同一函数的是（）
【A 】
1,x
y y x =
=
【B
】y
=,
y
【C 】
,y x y ==
【D 】
2
,y x y ==
12.如果,a b 为非零实数，则不等式
11
a b
>成立的充要条件是（ ） 【A 】0a >且0ab < 【B 】0a <且0ab > 【C 】0a >或0ab >
【D 】22
0a b ab -<
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13.对于函数()f x ，若()()250f f -⋅<，则（）
【A 】函数
()f x 在区间
(]2,5-上一定有零点 【B 】函数()f x 在区间
(]2,5-上一定无零点 【C 】函数()f x 在区间
(]2,5-上一定有两个零点 【D 】函数()
f x 在区间
(]
2,5-上可能无零点
14.已知函数23,1f(x)2
,1x x x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪
⎩
，设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
【A 】47,216⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【B 】4739,1616⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【C
】2⎡⎤-⎣⎦
【D
】3916⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
三、解答题（共54分）
15. （本题满分10分）
已知集合2212x A x +⎧⎫
=<⎨
⎬-⎩⎭
，{}254B x x x =>-，{}1,C x x m m R =-<∈，
（1）求A B ；
（2）若()A B C ⊆，求m 的取值范围.
16. （本题满分10分）
已知函数2
()32f x x ax b =--，其中,a b R ∈
（1）若不等式()0f x ≤的解集是[0,6]，求a 与b 的值；
（2）若3b a =，对任意x R ∈，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2
()23
f x a ≤-，求实数a 的取值范围.
17. （本题满分10分）
迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为
260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，
（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；
（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.
18. （本题满分12分）已知函数1()()x a
f x x a a x
+-=
≠-.
（1）求(2)()f a x f x -+的值；
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（2）当的定义域为1,12a a ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域；
（3）设函数2()()()g x x x a f x =+-，若
13
22
a ≤≤，求g()x 的最小值.
19. （本题满分10分） 已知函数()2,m
y f x x x
==+
+（m 为实常数） （1）若函数()y f x =图像上动点(,)P x y 到定点(0,2)Q
，求实数m 的值； （2）若函数()y f x =在区间[
)2+∞，上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；
（3）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
有解，k 的取值范围.
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数学学科
参考答案
一、填空题（本大题共有 10 小题，每题3分，共 30 分）
1.=01,A
B ⎡⎤⎣⎦
2.()()
1
10,,-∞--
3.
14 4.-1 5.12 6.322,⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
7.真 8.3a ≥或1a ≤ 9.3
2x ≤
10.①④
二、选择题（本大题共有 4小题，每题4分，共 16 分）
11.C 12.D 13.A 14.A
三、解答题（本大题共5小题，15-17题每题10分，18-19题每题12分，共54分）
15.解：（1）根据题意,由 2212x A x +⎧⎫
=<⎨
⎬-⎩⎭
得: 224
104222
x x x x x ++<⇒<⇒-<<-- 由{}
254B x x x =>-得：1x >或5x <-
由{}
1,C x x m m R =-<∈得：11m x m -<<+
得: (1,2)A B =
（2）因()A B C ⊆
则11
1212
m m m -≤⎧⇒≤≤⎨
+≥⎩
综上所述,结论是：实数m 的取值范围是12m ≤≤
16.解：（1）依题意,206,0633
a b
+=
⨯=-解得2()32f x x ax b =-- （2）若3b a =,则2
()323f x x ax a =--
依题意,22
4+360
36422123a a a a a ⎧≤⎪
⎨--≤-⎪
⎩
， 所以,96a -≤≤-或0a =为所求
17.解：（1）设矩形栏目的高为acm ,宽为bcm ,则20000ab =,所以20000
b a
=
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（2）由题2b a ≥，20000
b a
=
，解得0100a <≤ 由（1）可得40000
30()60600S a a
=++ 当100a =时，广告的面积最小为2
75600cm
故当广告矩形栏目的高为100cm ，宽为400cm 时，可使广告的面积最小为2
75600cm
18.解（1）
112()
(2)()2a x x a a x f a x f x x a a x x a
-++---+=
+==----
（2）函数11
()()1x a f x x a a x a x
+-=
≠=-+--
当112a x a +
≤≤+时,11,2a x a --≤-≤--11,2a x -≤-≤-121a x
-≤≤-- 于是1
312a x
-≤-+
≤-- 得()f x 值域为[]3,2--.
（3）当1a =时,2()(1)g x x x x =+≠-
(i)
当0x ≥时，2
11g()()2
4
x x =+-
则函数()g x 在[0,)+∞上单调递增
min ()
(0)0g x g ==
(ii)
当0x ≤时，2
11g()()2
4
x x =--
则函数g()x 在(,0]-∞且1x ≠-时单调递减
min ()(0)0g x g ==
综合得:当1x ≠-时，g()x 的最小值是0
19.解：（1）设(,)P x y 则2,m
y x x
=+
+
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2
22(2)PQ x y =+-
2
2222m
x m x
=+
+
2m ≥+
=2
当0m >
时，解得1m =
;当0m <时,
解得1m =
1m ∴=
或1m =
（2）由题意,任取[
)12,2,x x ∈+∞,且12x x <
则121221212112
()()2(2)()0x x m m m
f x f x x x x x x x x x =-=+
+-++=-⋅> 21120,4x x x x ->>所以4m ≤;
m ∴的取值范围(],4-∞
（3）由()f x kx ≤,得2m
x kx x
+
+≤ 212,1,12m x k x x ⎡⎤
∈∴++≤⎢⎥⎣⎦
令1t x =
,则1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
有解,当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈ 0m <
min ()(1)3g t g m ∴=-+
综上, 当2
3
m ≤-
时,[)45,k m ∈++∞ 当2
03
m -
<<时, [)3,k m ∈++∞。