高考数学一轮复习第十章 第七讲离散型随机变量的分布列期望与方差学案理含解析新人教版

第七讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差(理)
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为__随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为__离散型__随机变量．
知识点二 离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
X x 1 x 2 … x i … x n P p 1
p 2
…
p i
…
p n
称为离散型随机变量X 的__概率分布列__，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质
①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑n
i ＝1p i ＝__p 1＋p 2＋…＋p n __＝1． 知识点三 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n ．
(1)均值：称E (X )＝__x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：称D (X )＝∑n
i ＝1
(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__．
(3)均值与方差的性质 ①E (aX ＋b )＝__aE (X )＋b __． ②D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__． *③D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2．
知识点四 常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为
X 0 1 P
1－p
p
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．
若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．
(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X
＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n
N
，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布．
归纳拓展
1．若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量． 2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1．( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) (4)由下列给出的随机变量X 的分布列服从二点分布．( × )
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (6)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) 题组二 走进教材
2．(P 77A 组T1改编)(此题为更换后新题)设随机变量X 的概率分布列为
则P (|X －3|＝1)＝__5
8
__．
[解析] 由14＋m ＋18＋38＝1，解得m ＝1
4，
P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋38＝5
8
．
2．(P 77A 组T1改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)设随机变量X 的概率分布列为
则P (|X －3|＝1)＝__5
12
__．
[解析] 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝1
4，
P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝5
12
．
3．(P 49A 组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是__0,1,2,3__．
[解析] 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3． 题组三 走向高考
4．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝__
13__，E (ξ)＝__1__．
[解析] 由题意知，随机变量ξ的可能取值为0,1,2； 计算P (ξ＝0)＝C 11C 14＋C 11·C 11
C 14·C 13＝13
；
P (ξ＝1)＝C 12·C 11A 24＋C 12C 11A 22C 1
1
A 34＝13；
P (ξ＝2)＝A 22·C 11A 34＋C 22C 11A 33C 11
A 44
＝13；
所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×1
3＝1．
故答案为1
3
，1．
5．(2020·课标Ⅲ，3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且 i ＝1
4
p
i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(
B )
A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4
B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1
C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3
D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2
[解析] 根据均值E (X )＝∑i ＝1
4x i p i ，方差D (X )＝∑i ＝1
4
[x i －E (X )]2·p i ，标准差最大即方差最大，由
各选项对应的方差如下表
选项 均值E (X ) 方差D (X
) A 2.5 0.65 B 2.5 1.85 C 2.5 1.05 D
2.5
1.45
由此可知选项B 对应样本的标准差最大，故选B ．
考点突破·互动探究
考点一 离散型随机变量分布列的性质——自主练透
例1 (1)(2021·河南南阳联考)随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)
(n ＝
1,2,3,4)，其中a 为常数，则P (54＜X ＜13
4
)的值为( D )
A ．2
3
B ．34
C ．45
D ．516
(2)(2021·银川质检)若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( B )
ξ 0 1 2 3 P
0.1
a
b
0.1
A ．0.2 C ．0.8
D ．－0.8
[解析] (1)∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，
∴a ⎝
⎛⎭⎫11×2＋12×3＋…＋14×5＝1，即⎝⎛⎭⎫1－15a ＝1， ∴a ＝54，∴P ⎝⎛⎭⎫54＜X ＜134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝5
16
． (2)易知a ，b ∈[0,1]，由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，所以a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2．
名师点拨
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
〔变式训练1〕
(2020·天津和平区期末)设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望E (X )＝__9
4
__．
X 1 2 3 4 P
13
m
14
16
[解析] 13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝1
4．
所以E (X )＝1×13＋2×14＋3×14＋4×16＝9
4
．
考点二 离散型随机变量的期望与方差——多维探究
例2 角度1 期望、方差的简单计算
(1)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1
6(k ＝1,2,3,4,5,6)，则E (X )＝__3.5__，E (2X ＋3)＝
__10__，D (X )＝__3512__，D (3X －1)＝__105
4
__．
[解析] E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＋…＋x 6p 6＝3.5， E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝10．
D (X )＝(x 1－
E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x 6－E (X ))2p 6 ＝1
6[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋…＋(6－3.5)2] ＝17.5×16＝35
12．
D (3X －1)＝9D (X )＝105
4．
角度2 期望、方差与函数性质
(2)(2019·浙江卷，7)设0＜a ＜1．随机变量X 的分布列是
X 0 a 1 P
1
3
13
13
则当a 在(0,1)内增大时，( D ) A ．D (X )增大 B ．D (X )减小
C ．
D (X )先增大后减小
D ．D (X )先减小后增大
[解析] 随机变量X 的期望E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋1
3
，
D (X )＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a ＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋132×1
3
＝2
9(a 2－a ＋1) ＝29⎝
⎛⎭⎫a －122＋16， 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，D (X )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1
2，1时，D (X )单调递增，故选D ． 角度3 实际问题中的期望、方差问题
(3)(2021·天津红桥区期中)某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
①求顾客所获的奖励额为60元的概率； ②求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． [解析] ①设顾客所获取的奖励额为X ， 依题意，得P (X ＝60)＝C 11·C 13
C 24＝12，
即顾客所获得奖励额为60元的概率为1
2．
②依题意得X 得所有可能取值为20,60， P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23
C 24＝12，
即X 的分布列为
所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E (X )＝20×12＋60×1
2
＝40．
(4)(入座问题)有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，
每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．
(1)求n 的值；
(2)求随机变量X 的数学期望和方差． [解析] (1)由题意知C 2n ＝6，解得n ＝4． (2)X 所有可能取值为0,2,3,4， 又P (X ＝0)＝1A 44＝124，
P (X ＝2)＝C 24
A 44＝624＝14，
P (X ＝3)＝8A 44＝824＝1
3，
P (X ＝4)＝9A 44＝924＝3
8，
∴随机变量X 的分布列为
X 0 2 3 4 P
124
14
13
38
∴E (X )＝0×124＋2×14＋3×13＋4×3
8
＝3，
D (X )＝(3－0)2×124＋(3－2)2×14＋(3－3)2×13＋(3－4)2×3
8
＝1．
名师点拨
求离散型随机变量的分布列、期望与方差，应按下述步骤进行： (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率； (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证； (4)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．
说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、排列组合及常见概率模型．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2021·江苏镇江调研)随机变量ξ的分布如下表，则E (5ξ＋4)＝__13__．
ξ
2
4
(2)(角度当a 在⎝⎛⎭
⎫0，2
3内增大时( D ) X 0 1 2 P
1－a
2
12
a 2
A ．D (X )C ．D (X )先减小后增大
D ．D (X )先增大后减小
(3)如图，A 、B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ．
①写出最大信息总量ξ的分布列； ②求最大信息总量ξ的数学期望．
[解析] (1)由题意知E (ξ)＝2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝13． (2)由题意：
E (X )＝0×1－a 2＋1×12＋2×a 2＝a ＋1
2
，
所以D (X )＝1－a
2⎝⎛⎭⎫0－a －122＋12⎝⎛⎭⎫1－a －122＋a 2⎝⎛⎭⎫2－a －122＝－a 2＋a ＋14＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋12， 因为1
2∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以D (ξ)先增后减，故选D ． (3)①由已知，ξ的取值为7,8,9,10，
∵P (ξ＝7)＝C 22C 1
2
C 35＝15，
P (ξ＝8)＝C 22C 12＋C 22C 11C 3
5＝3
10， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11
C 3
5＝25， P (ξ＝10)＝C 22C 11
C 35＝110
．
∴ξ的概率分布列为
P
15
310
25
110
②E (ξ)＝15×7＋310×8＋25×9＋110×10＝42
5＝8.4．
考点三,超几何分布——师生共研
例3 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗
示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48
C 510＝518
．
(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则
P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 1
4
C 510＝521，
P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝4)＝C 16C 44
C 510＝142
．
因此X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
1
42
521
1021
521
142
[引申1]用X 表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X 的分布列为___________． [解析] 由题意可知X 的取值为1,2,3,4,5，
则P (X ＝1)＝C 16C 44C 510＝142，P (X ＝2)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝3)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝4)＝C 46C 14
C 510＝521
，
P (X ＝5)＝C 56
C 510＝142
．
因此X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 P
1
42
521
1021
521
142
[引申2]用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X 的分布列为___________．
[解析] 由题意知X 可取的值为3,1，－1，－3，－5．
则P (X ＝3)＝C 44C 16C 510＝142，P (X ＝1)＝C 34C 26
C 510＝521，
P (X ＝－1)＝C 24C 36C 510＝1021，P (X ＝－3)＝C 14C 46
C 510＝521
，
P (X ＝－5)＝C 56
C 510＝142，
因此X 的分布列为
X 3 1 －1 －3 －5 P
1
42
521
1021
521
142
名师点拨
1．超几何分布的两个特点： (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型．
〔变式训练3〕
(2021·安徽省淮北市模拟)有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标λ＝a ＋b ＋c 的值评定石榴的等级，若λ≥4则为一级；若2≤λ≤3则为二级；若0≤λ≤1则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地
市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果： 种植园编号 A B C D E F (a ，b ，c ) (1,0,0) (2,2,1) (0,1,1) (2,0,2) (1,1,1) (1,1,2) 种植园编号 G H I J K L (a ，b ，c ) (2,2,2)
(0,0,1)
(2,2,1)
(0,2,1)
(1,2,0)
(0,0,2)
(1)若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；
(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
[解析] (1)计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表
编号 A B C D E F G H I J K L 综合指标 1
5
2
4
3
4
6
1
5
3
3
2
由上表可知等级为一级的有5个， 所以等级为一级的频率为5
12
，
所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个． (2)由题意ξ可以取0、1、2，
其中P (ξ＝0)＝C 02C 25C 27＝10
21，
P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝10
21，
P (ξ＝2)＝C 22C 05
C 27＝121
，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
1021
1021
121
故E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝4
7
．
名师讲坛·素养提升
离散型随机变量的分布列与统计综合
例4 (2021·吉林长春实验中学期中)某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，
对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分，最低分20分)．根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：
(1)依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； (2)学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．
[解析] (1)得分[20,40)的频率为0.005×20＝0.1；得分[40,60)的频率为0.010×20＝0.2；得分[80,100]的频率为0.015×20＝0.3；所以得分[60,80)的频率为1－(0.1＋0.2＋0.3)＝0.4．
设班级得分的中位数为x 分，于是 0.1＋0.2＋x －6020×0.4＝0.5，解得x ＝70．
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70．
(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4,0.2,0.1．又班级总数为40．于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1．
由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6
P (X ＝1)＝C 11C 12
C 210＝245，P (X ＝2)＝C 22＋C 11C 14C 2
10＝19， P (X ＝3)＝C 11C 13＋C 12C 14C 210＝1145，P (X ＝4)＝C 24＋C 12C 13C 2
10＝4
15， P (X ＝5)＝C 14C 13C 210＝415，P (X ＝6)＝C 23
C 210＝115
，
所以X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 P
245
19
1145
415
415
115
E (X )＝1×245＋2×19＋3×1145＋4×415＋5×415＋6×115＝17145＝19
5．
所以X 的数学期望E (X )＝19
5．
〔变式训练4〕
(2021·湖南湘潭模拟)为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，将他们的化学成绩(满分为100分)分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a 的值；
(2)记A 表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A 发生的概率；
(3)在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．
[解析] (1)∵(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a ＋0.010)×10＝1， ∴a ＝0.025．
(2)∵成绩不低于70分的频率为 (0.030＋0.025＋0.010)×10＝0.65， ∴事件A 发生的概率约为0.65．
(3)抽取的100名理科生中，成绩在[60,70)内的有100×0.020×10＝20人， 成绩在[70,80)内的有100×0.030×10＝30人，
故采用分层抽样抽取的10名理科生中，
成绩在[60,70)内的有4人，在[70,80)内的有6人，由题可知，X 的可能取值为0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝C 46
C 410＝15210＝114，
P (X ＝1)＝C 36·C 14
C 410＝80210＝821，
P (X ＝2)＝C 26·C 24
C 410＝90210＝37，
P (X ＝3)＝C 16·C 34
C 410＝24210＝435，
P (X ＝4)＝C 44
C 410＝1210．
∴X 的分布列为
∴E (X )＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝8
5．。