河南省周口市高级中学校高二数学理联考试卷含解析

河南省周口市高级中学校高二数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
首先计算出基本事件的个数，再计算出重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数，然后用古典概型概率计算公式直接计算求解即可.
【详解】所有重卦中随机取一重卦基本事件的个数为，重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数为，因此在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概
率是，故本题选C.
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，正确计算出每个事件包含的基本事件的个数是解题的关键.
2. 设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
3. 执行如右图所示的程序框图，若输出的值为-105，则输入的n的值可能是（）
A．5 B．7 C．8 D．10
参考答案：
C
4. 已知双曲线的一个焦点为,点位于该双曲线上，线段的中点坐标为，则该双曲线的标准方程为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
5. 下图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在
A．“集合的概念”的下位 B．“基本关系”的下位
C．“集合的表示”的下位D．“基本运算”的下位
参考答案：
B
略
6. 已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为
A．或
B．C．D．
或
参考答案：
D
7. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）
A．对立事件B．不可能事件
C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件
参考答案：
C
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案．
【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；
又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．
故选：C．
8. 欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，
是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为（）A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据题意代入化简即得复数，再根据虚部概念得结果
【详解】根据欧拉公式，可得，
∴的虚部为．
故选：B．
【点睛】本题考查复数运算以及概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
9. 设函数可导，的图象如图1所示，则导函数可能为（）
参考答案：
D
略
10. 已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是函数的导数，有，，若
，则实数的取值范围为．
参考答案：
.
12. ______________.
参考答案：
1
略
13. 已知，且满足，则xy的最大值为 .
参考答案：
3
14. 如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有
A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
参考答案：
AC⊥BD
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证
即可得答案．
【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，
∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1
则B1D1⊥平面A1AC1C
∴B1D1⊥AC，
又由B1D1∥BD，
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1
故答案为：BD⊥AC．
【点评】本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．
15. 某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是．
参考答案：
16. 若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r (a＋b＋c)，根
据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，
S4，则四面体的体积V＝________。

参考答案：
R(S1＋S2＋S3＋S4)
略
17. 已知函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1（b∈R），若当x∈时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围
是．
参考答案：
（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】考查函数f（x）的图象与性质，得出函数f（x）在上是单调增函数，由f（x）min＞0求出b 的取值范围即可．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1的对称轴为x=1，
且开口向下，
∴函数f（x）在上是单调递增函数，
而f（x）＞0恒成立，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1﹣2+b2﹣b+1＞0，
解得b＜﹣1或b＞2，
∴b的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了利用函数的图象与性质求不等式的解集的问题，解题时应熟记基本初等函数的图象与性质，是基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知平面直角坐标系中的动点M与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（Ⅱ）记动点M的轨迹为C，过点P（﹣2，3）的直线l被C所截得的弦长为8，求直线l的方程．参考答案：
【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意得： =5，
化简得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25…
所以动点M的轨迹方程是：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，
动点M的轨迹是以（1，1）为圆心，5为半径的圆…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，
此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，
∴l：x=﹣2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，
由题意，得（）2+42=52，解得k=．
∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．
综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．…
19. 如图，四棱锥—中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，.
（1）求二面角——的大小
(2)求点O到平面的距离。

参考答案：
解：（1）取AB的中点E，连接EO,VE,VO，则由题可知且，
∴为二面角——的平面角，
易知
∴中由,有
，∴=
∴二面角——的大小为
（2）设点O到平面的距离为，
则由有
即，∴
故点O到平面的距离为。

20. 已知p：，q：.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案：
解：：
：
∵是的充分不必要条件，∴，即
∴且两个等号不同时成立，解得
故实数的取值范围是.
21. 已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围。

参考答案：
略
22. 已知向量
(1)当向量与向量共线时，求的值；
(2)求函数的最大值,并求函数取得最大值时的的值.
参考答案：
(1)共线,∴,∴.
(2),
，函数的最大值为,得函数取得最大值时。