【精品】学2020年甘肃省金昌市永昌一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2017学年甘肃省金昌市永昌一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°
2．（5分）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）
A．6，12，18 B．7，11，19 C．6，13，17 D．7，12，17
3．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0相互垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．或1
4．（5分）数4557、1953、5115的最大公约数应该是（）
A．651 B．217 C．93 D．31
5．（5分）已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）
A．8 B．11 C．14 D．17
6．（5分）直线l通过两直线7x+5y﹣24=0和x﹣y=0的交点，并且点（5，1）到l的距离为，则l的方程是（）
A．3x+y+4=0 B．3x﹣y+4=0 C．3x﹣y﹣4=0 D．x﹣3y﹣4=0
7．（5分）如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
8．（5分）给出的是计算++++的值的一个流程图，其中判断框内应填人的条件是（）
A．i＞10 B．i≥10 C．i＞5 D．i≥5
9．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）
A．2 B．C．D．
10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
12．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，
且有，那么k的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：．
14．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为．
15．（5分）运行如图所示的程序，其输出的结果为．
16．（5分）已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为．
三.解答题（本大题共6个小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出过程或演算步骤）
17．（10分）分别求满足下列条件的直线方程．
（Ⅰ）过点（0，1），且平行于l1：4x+2y﹣1=0的直线；
（Ⅱ）与l2：x+y+1=0垂直，且过点P（﹣1，0）的直线．
18．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣．
19．（12分）某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩如下：
甲：9.48.77.58.410.110.510.77.27.810.8
乙：9.18.77.19.89.78.510.19.210.1 9.1
（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；
（2）根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
（3）分别计算两个样本的平均数和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．
20．（12分）已知点A（4，0），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，且圆心C在l上．（1）若CO=CA，O为坐标原点，求圆C的方程；
（2）若圆心C在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线方程．
21．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
22．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
2017学年甘肃省金昌市永昌一中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°
【解答】解：若直线经过两点，则直线的斜率等于=．
设直线的倾斜角等于θ，则有tanθ=．
再由0≤θ＜π可得θ=，即θ=30°，
故选：A．
2．（5分）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）
A．6，12，18 B．7，11，19 C．6，13，17 D．7，12，17
【解答】解：由题意，某单位总人数为27+54+81=162
由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为=6人
中年人应抽取的人数为=12人
青年人应抽取的人数为=18人
故老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是6，12，18
故选：A．
3．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0相互垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．或1
【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y+6=0，直线l2：x+a2﹣1=0，显然两直线不垂直．
当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，
解得a=．
故选：B．
4．（5分）数4557、1953、5115的最大公约数应该是（）
A．651 B．217 C．93 D．31
【解答】解：4557=1953×2+651
1953=651×3
∴4557，1953的最大公约数是651；
5115=4557×1+558
4557=558×8+93
558=93×6，
故4557，5115的最大公约数为93，
由于651=93×7
三个数4557，1953，5115的最大公约数93．
故选：C．
5．（5分）已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）
A．8 B．11 C．14 D．17
【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．
故弦心距d==．
再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；
故选：B．
6．（5分）直线l通过两直线7x+5y﹣24=0和x﹣y=0的交点，并且点（5，1）到l的距离为，则l的方程是（）
A．3x+y+4=0 B．3x﹣y+4=0 C．3x﹣y﹣4=0 D．x﹣3y﹣4=0
【解答】解：联立，解得x=y=2．∴两直线7x+5y﹣24=0和x﹣y=0的交点为P （2，2）．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣2），化为kx﹣y+2﹣2k=0．
∵点Q（5，1）到l的距离为，则，化为k2﹣6k+9=0，解得k=3．
∴直线l的方程为3x﹣y﹣4=0．
当直线l的斜率不存在时不满足题意．
因此直线l的方程为3x﹣y﹣4=0．
故选：C．
7．（5分）如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
【解答】解：根据频率分布直方图，得；
∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，
0.3+0.08×5=0.7＞0.5；
∴中位数应在20～25内，
设中位数为x，则
0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，
解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．
故选：C．
8．（5分）给出的是计算++++的值的一个流程图，其中判断框内应填人的条件是（）
A．i＞10 B．i≥10 C．i＞5 D．i≥5
【解答】解：由流程图知，
s=0，
第1次循环有i=1，s=，
第2次循环有i=2，s=；
第3次循环有i=3，s=++；
…
第5次循环有i=5，s=++++；
第6次循环有i=6，满足判断框内条件，退出循环，输出s的值．
故判断框内应填入的条件是：i≥5．
故选：D．
9．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）A．2 B．C．D．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
∴圆心为（1，1），半径为1
圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，
则所求距离最大为，
故选：B．
10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得PO=AB=m，故有m≤6，
故选：B．
11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d==1，
整理得：m+n+1=mn≤，
设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
12．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，
且有，那么k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB
∵，
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，
∴
∴4＞
∴4＞
∵k＞0，∴
故选：C．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：51．
【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51
故答案为：51
14．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为﹣或﹣．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=﹣，或k=﹣．
故答案为：﹣或﹣．
15．（5分）运行如图所示的程序，其输出的结果为1．
【解答】解：由程序语句知，第一次运行s=0+5，n=5﹣1=4；
第二次运行s=0+5+4=9，n=4﹣1=3；
第三次运行s=9+3=12，n=3﹣1=2；
第四次运行s=12+2=14，n=2﹣1=1，不满足条件s＜14，输出n=1．
故答案为：1．
16．（5分）已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为2．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，
由圆的性质知：S
=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，
四边形PACB
∴S
的最小值S=1=rd（d是切线长）
△PBC
=2
∴d
最小值
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k=2
故答案为：2
三.解答题（本大题共6个小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出过程或演算步骤）
17．（10分）分别求满足下列条件的直线方程．
（Ⅰ）过点（0，1），且平行于l1：4x+2y﹣1=0的直线；
（Ⅱ）与l2：x+y+1=0垂直，且过点P（﹣1，0）的直线．
【解答】解：（Ⅰ）所求直线行于l1，
∴所求直线的斜率为﹣2，又过点为（0，﹣1），
∴由点斜式可得直线方程为y+1=﹣2（x﹣0），
即2x+y+1=0；
（Ⅱ）所求直线直线与l2垂直，
可设直线方程为x﹣y+m=0，
过点P（﹣1，0），则m=1，
故所求直线方程为x﹣y+1=0．
18．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资
料：
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣．
【解答】解：（1）=4，=5，
==1.230，
=﹣=5﹣1.230×4=0.080，
∴线性回归方程为：=bx+a=1.230x+0.080；
（2）当x=10时，
=1.23×10+0.08=12.38（万元），
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
19．（12分）某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩如下：
甲：9.48.77.58.410.110.510.77.27.810.8
乙：9.18.77.19.89.78.510.19.210.1 9.1
（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；
（2）根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
（3）分别计算两个样本的平均数和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．
【解答】解：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字．
（2）由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大． （3）=
×（9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8）=9.11；
S 甲==1.3；
（3）=×（9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1）=9.14；
S 乙=
=0.9．
因为S 甲＞S 乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定．
20．（12分）已知点A （4，0），直线l ：y=2x ﹣4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在l 上． （1）若CO=CA ，O 为坐标原点，求圆C 的方程；
（2）若圆心C 在直线y=x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程． 【解答】解：（1）∵CO=CA ， ∴点C 在OA 的中垂线x=2上， 又C 在y=2x ﹣4， ∴C （2，0）， ∵圆C 的半径为1，
∴圆的方程为C ：（x ﹣2）2+y 2=1； （2）联立得：，
解得：
，即C （3，2），
设切线为y=k （x ﹣4），
依题意有，
解得：k=﹣，
此时切线方程为3x +4y ﹣12=0， 当切线斜率不存在时：x=4也适合， 则所求切线的方程为3x +4y ﹣12=0或x=4．
21．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则，．
由题意可得：．
即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵k ON=3，
∴直线l的斜率为﹣．
∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为．
又N到l的距离为，
∴|PM|==．
∴．
22．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，
即|4m﹣29|=25．
因为m为整数，故m=1．
故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．
（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得
（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，解得a＜0，或．
所以实数a的取值范围是．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，
l的方程为，
即x+ay+2﹣4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2﹣4a=0，解得．
由于，
故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
O
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，
DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
F
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则
AE、PE与
PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。