2020年广东省湛江市官渡中学高三数学文模拟试题含解析

2020年广东省湛江市官渡中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 三棱锥D-ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若，则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（）
A． B． C. D．
参考答案：
B
设，则三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥,
设三棱锥外接球的半径为R，则 , 体积为，选B.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
2. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则( )
A．1 B． C. D．
参考答案：
B
本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力
设,M,则，两式作差得.
因为,所以.即.
由,解得,即.
3. P为椭圆+=1（a＞b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为
定值﹣，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则（）
A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值
B．直线PA1与PA2的斜率之积为定值
C．直线PA1与PA2的斜率之和为定值
D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程；推理和证明．
【分析】由已知椭圆的性质类比可得直线PA1与PA2的斜率之积为定值．然后加以证明即可．
【解答】解：设P（x0，y0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则A1（﹣a，0），A2（a，0），
∴=，
又P（x0，y0）在双曲线﹣=1上，
∴，
∴=，
∴直线PA1与PA2的斜率之积为定值．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题．
4. 已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．
解答：解：∵抛物线方程为x2=4y，
∴p=2，准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）；
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；
∵|AF|=3|FB|，
∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；联立方程组，
消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，
由根与系数的关系得，y1+y2=4k2﹣2，
即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，
解得y2=k2﹣1；
代入直线方程y=kx﹣1中，得x2=k，
再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中，
得k2=4k2﹣4，
解得k=，或k=﹣（不符合题意，应舍去），
∴k=．
故选：D．
点评：本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．
5. 已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合
是（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
略
6. 某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
此人从小区A前往H的所有最短路径共3条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共2个．由此能求出经过市中心的概率．
【详解】此人从小区A前往H的所有最短路径为：A→G→O→H，A→E→O→H，A→E→D→H，共3条．
记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→G→O→H，A→E→O→H,共2条．
∴，即他经过市中心的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查古典概型的概率，注意列举法的灵活运用，属于基础题．
7. 直线的倾斜角为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 已知f′（x）是函数的f（x）=sinx的导数，要得到y=f'（2x+）的图象，只需将y=f（2x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：
D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】求出函数的导函数，推出的表达式，写出y=f（2x）的表达式，即可推出选项．
【解答】解：函数f（x）=sinx的导函数为：f′（x）=cosx，所以=cos，
y=f（2x）=sin2x=cos（2x+），因为y=cos（2x++）=cos，要得到
的图象，只需把y=f（2x）的图象向左平移个单位，即可．
故选D．
【点评】本题是中档题，考查三角函数的图象的平移，导数的求法，注意平移的方向，x的系数，考查计算能力．
9. 已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点
，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
10. 设数列的前项和为，若，则（）
A．B． C．
D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平行四边形ABCD中，，则
．
参考答案：
－
7
在平行四边形ABCD
中，，
，
则.
12. 已知圆的方程为x 2 + y2 + ax + 2y + a 2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围为________
参考答案：
13. (07年全国卷Ⅱ文)的展开式中常数项为．（用数字作答）
参考答案：
答案：57
解析：的展开式中常数项为．
14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA=acosC，则cosA= 。

参考答案：
15. 已知，且，则的最小值是 .
参考答案：
16. 已知定义在R上的函数，若存在实数a，使得对任意实数x都有成立，则实数k的最小值为▲．
参考答案：
17. 已知，且，则
sinα= ．
参考答案：
【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题．
【分析】由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），
∴α﹣β∈（0，π），
又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，
∴sin（α﹣β）==，cosβ==，
则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ
=×+×（﹣）=．
故答案为：
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，.
(1) 求证：函数必有零点；
(2) 设函数，若在上是减函数，求实数的取值范围．参考答案：
(1)略(2) m≤0或m≥2
(1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x2＋2x＋m)＝－x2＋(m－2)x＋(3－m)．
由Δ1＝(m－2)2＋4(3－m)＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．
(2) 解：|G(x)|＝|－x2＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x2－(m－2)x＋m－2|，
Δ2＝(m－2)2－4(m－2)＝(m－2)(m－6)，
① 当Δ2≤0，即2≤m≤6时，
|G(x)|＝x2－(m－2)x＋(m－2)，
若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．
② 当Δ2＞0，即m＜2或m＞6时，
若m＜2，则＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；
若m＞6，则＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m＞6.
综上，m≤0或m≥2.
略
19. 如图，已知四棱锥是直角梯形沿着CD折叠而成，其中
，且二面角的大小为
参考答案：略
20. （本小题满分13分）已知函数，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，若对一切成立，求最小正整数m.
参考答案：
21. （12分）圆C的方程是（x＋2）2+（y+1）2=R2，轴被圆截得的弦长为。

（1）求圆的方程；
（2）直线：y=-x+b交圆C于，且AC⊥CB,求直线的方程.
参考答案：
22. （13分）（2015?河南二模）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．参考答案：
单调递减单调递增。