(完整word版)空间向量与立体几何学案 人教课标版(精品教案)

选修 第三章《空间向量与立体几何》
一、本章知识结构
二、典型问题
设平面αβ，的法向量分别是u ，v ，直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ,
平行关系：①////l m a b a b λ⇔⇔=；②//0l a u a u α⇔⊥⇔⋅=；③////u v u v αβλ⇔⇔= 垂直关系：①0l m a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=;②//l a u a u αλ⊥⇔⇔=；③0u v u v αβ⊥⇔⊥⇔⋅= 知识点一:平面的法向量定义：;
．已知(1,2,1),(3,1,2),(2,4,1)A B C ,则平面的一个法向量为; 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系、垂直关系 ．已知(2,1,3)a =，(4,2,)b x =-，且a b ⊥,则||a b -=。

．若向量a （，，x )，b (，，），c （，，），满足条件()1c a b -⋅=-,则x 。

知识点三：利用向量求空间角 （一)求异面直线所成的角
直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ，直线1l ,2l 所成的角为θ，则=cos θ． （二)求直线和平面所成的角
直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ,a 与u 的角为ϕ，则有． (三)求二面角
如图，若⊥PA α于，⊥PB β于,平面交l 于，则∠为二面角--l αβ的平面角，∠∠．若
12⋅n n 分别为面α,β的法向量，12〈〉=n ,n
则二面角的平面角∠=AEB ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的．
（）当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于．
A B
C
N M
O
D
A
B
C
P
（）当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于． 知识点四:利用向量求空间距离
（一)空间两点间距离公式：设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ,则=|AB |． （二)两异面直线距离的求法：
如图，设1l ，2l 是两条异面直线,n 是1l 与2l 的公垂线段的方向向量，又，分别是1l ，
2l 上任意两点，则1l 与2l 的距离是==d |AB |．
（三）点面距离的求法：
如图，⊥平面α，垂足为，则点到平面α的距离就是线段的长度． 若是平面α的任一条斜线段,设平面α的法向为n
则在△中，BA n BA n |BO ||BA|cos ABO |BA||BA||n|
|n|
⋅⋅=⋅∠=⋅
=⋅．
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解．
例．如图，在四棱锥-O ABCD 中，底面ABCD 为边长为的正方形， 4=OA ,⊥OA ABCD 底面， M 为OA 的中点，
N 为BC 的中点．
（)求异面直线与所成角的大小； ()证明：直线MN OCD 平面‖； （）求直线与平面所成角的余弦； （）求二面角B OC D --的余弦值； （)求点到平面的距离．
举一反三：
【变式】如图,三棱锥-P ABC 中，90∠=︒ABC ,1=PA ，3=AB 2=AC ，⊥PA 面ABC , 则二面角--A PC B 的余弦值为．
【变式】如图,PCBM 是直角梯形，90∠=︒PCB ，120∠=︒ACB ,PM //BC ，
1===PM AC PC ,2=BC ，⊥AB PC ,为中点．
(）求证:平面PAC ⊥平面ABC ; （）直线AM 与PC 所成的角； （）求二面角--M AC B 的余弦值；
（）求三棱锥
P M AC的体积．
D
E
A
B
C
D
A
B
C
O E
例． 如图,四面体ABCD 中，=BO OD ，=BE CE ，
2====CA CB CD BD ，==AB AD
（）求证：⊥平面；
()求异面直线与所成角的余弦； （）求点到平面ACD 的距离．
【变式】四棱锥-S ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形，
45=ABC ∠，2=AB ，
=BC ⊥SBC 底面
ABCD ．=SA SB
（）证明⊥SA BC ；
（）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．
D
B
C
A
S
【变式】如图，已知四棱锥-P ABCD 的底面是直角梯形,90∠=∠=ABC BCD ，1=CD ，2====AB BC PB PC ，
侧面⊥PBC 底面ABCD ．求二面角--P BD C 的正切值．
【变式】如图，直二面角-—中,四边形是边长为的正方形，，且⊥．
()求二面角--B AC E 的余弦值; (）求点D 到平面ACE 的距离．
P D
A
B
C
类型三：存在性问题
例．如图,棱长为的正方体—1C 中，、、分别为棱、、的中点．
(）证明：1⊥PB MB ；
（）在线段上求一点Q ，使得DQ ∥平面1MNB ；
举一反三：
【变式】在正方体1111-ABCD A B C D 中,E 、F 分别是AB 和BC 的中点，试问在棱1DD 上能否找到一点M 使⊥
BM 平面1B EF ，若能,试确定M 点的位置，若不能,说明理由．
【变式】如图，在直四棱柱—1C 中，已知，⊥，∥．
（）求证：1C ⊥;
（）设是上一点，试确定的位置,使∥平面,并说明理由．
【变式】如图，在棱长为的正方体1111-ABCD A B C D 中,P 是侧棱1CC 上的一点,=CP m ．试确定m ，使直线AP 与
平面11BDD B
所成角的正切值为
E
F
1D A
B
C
D 1
A 1
B 1
C M
P
1D A
B
C
D 1
A 1
B 1
C P 1
D A B
C
D
1
A 1
B 1
C M
N
1D 1
A 1
C A
B C
D E
1
B
面对着学习，你就要有毅力。

因为你就如身在干旱的沙漠之中,没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强,要努力走出这个荒芜的沙漠,找回生存的希望，仅此无他。

在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神,累了，渴了，你仍要坚持下去,因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水,廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。

希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步,像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。

学习就是如此痛快，它能放松人的心灵,但必须是在热爱的基础上。

瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实.踏踏实实的学吧!加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋,天才在于积累。

人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。

生活中处处都有语文，更不缺少语文,而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。

让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.。