(通用版)2020高考数学二轮复习单科标准练(一)文
2020高考数学理二轮课标通用综合能力训练：含解析
球O1和O2的表面积之和为4π( )≥4π·2 =2π(R1+R2)2=3(2- )π.故选A.
12.已知f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在区间(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在区间[-1,1]上的值域为()
A.[-4,0]B.[-4,1]
答案:C
解析:∵f(x)是R上的奇函数,
∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.
∴g(-log25.1)=g(log25.1).
∵奇函数f(x)在R上是增函数,
∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.
∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,
∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
故 的夹角为锐角”是“| |>| |”的充要条件,故选C.
9.已知双曲线 =1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()
A B
C D.2
答案:A
解析:设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则 =0,
即
由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2, =1,
∴c=4.
由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
∵|MF1|+|MF2|=2a=12,
∴|MF2|=4.
设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),
则 |F1F2|×y0=4y0.
又 4 =4 ,
∴4y0=4 ,解得y0=
(广西课标版)2020版高考数学二轮复习 题型练1 选择、填空综合练(一) 文
题型练1 选择、填空综合练(一)一、能力突破训练1.(2018全国Ⅲ,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}(a∈R)的实部是2,则z的虚部是()2.(2019山西吕梁二模,2)若复数z=1+a i1+iA.iB.1C.2iD.23.(2019全国Ⅰ,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.(2019全国Ⅲ,文4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位.阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8),tan x>x,则下列命题中的真命题是5.已知命题p:∃x0∈(-∞,0),3a0<4a0;命题q:∀x∈(0,π2()A.p∧qB.p∨(q)C.p∧(q)D.(p)∧q6.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.87.(2019全国Ⅰ,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生8.过椭圆a2a2+a2a2=1(a>b>0)的两个焦点作垂直x轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为()A.√5+12B.√5-12C.√3-12D.√3+129.设a=sin(2019π-π6),函数f(x)={aa,a>0,a(-a),a<0,则f(log216)的值等于()A.14B.4C.16D.610.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)11.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为()A.92B.9 C.-92D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在区间[-π,π]上的图象大致为()13.若双曲线x2-a2a=1的离心率为√3,则实数m= .14.模拟从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是.15.(2019全国Ⅰ,文14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4= .16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=A+π3,b=2a,则B= .二、思维提升训练17.已知i是虚数单位,a是z=1+i的共轭复数,则aa2在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19.某算法的程序框图如图,若输出的y=1,则输入的x的值可能为()2A.-1B.0C.1D.520.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是D1B,A1C上不重合的两个动点,给出下列四个结论:①C1E∥AF;②平面AFD∥平面B1EC1;③AB1⊥EF;④平面AED⊥平面ABB1A1.其中,正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④21.设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉A时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤3222.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为√3,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离2之和为12,则椭圆G的方程为()A .a 236+a 29=1 B .a 29+a 236=1 C .a 24+a 29=1D .a 29+a 24=123.函数y=x sin x 在区间[-π,π]上的图象是( )24.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 所对的边,若函数f (x )=13x 3+bx 2+(a 2+c 2-ac )x+1有极值点,则∠B 的取值范围是( ) A .(0,π3)B .(0,π3]C .[π3,π]D .(π3,π)25.将函数y=sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m>0)个单位、向右平移n (n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin (2a +π3)(x ∈R )的图象重合,则|m-n|的最小值为( ) A .π6B .5π6C .π3D .2π326.若样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为8,则数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的标准差为( ) A .8B .15C .16D .3227.已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心,∠A=60°,cos asin a ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cos asin a ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2m ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m 的值为( ) A .√32B .√2C .1D .1228.(2019全国Ⅰ,文10)若双曲线C :a 2a 2−a 2a2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为 ( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50°D.1cos50°29.(2018全国Ⅱ,文14)若x,y满足约束条件{a+2a-5≥0,a-2a+3≥0,a-5≤0,则z=x+y的最大值为.30.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+√2=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点M在圆O上,则实数k= .31.(2019湖北武汉4月调研,15)将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱,则该圆柱的高为.32.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a55−a22=3,则数列{a n}的公差为.题型练1选择、填空综合练(一)一、能力突破训练1.C解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.2.B解析∵z=1+a i1+i =(1+a i)(1-i)(1+i)(1-i)=a+12+a-12i,∴a+12=2,即a=3.∴z的虚部为3-12=1.3.B解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B.4.C解析由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7.故选C.5.D解析由图象可知命题p是假命题,a p是真命题;当x∈(0,π2)时,tan x>x,成立,命题q是真命题,a q是假命题,故选D.6.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.7.C解析由已知得将1000名新生分为100组,每组10名学生,用系统抽样抽到46号学生,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列{a n},所以a n=10n-4,n∈N*,若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;若10n-4=616,则n=62,符合题意; 若10n-4=815,则n=81.9,不合题意. 故选C .8.B 解析∵过椭圆a 2a 2+a 2a 2=1(a>b>0)的两个焦点作垂直x 轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,∴c=a 2a ,∴ac=a 2-c 2,∴e 2+e-1=0.∵0<e<1,∴e=√5-12,故选B .9.C 解析a=sin (2019π-π6)=sin (2018π+π-π6)=sin (π-π6)=sin π6=12,则f (x )={(12)a,a >0,a (-a ),a <0,得f (log 216)=f (log 26)=(12)log 26=16,故选C .10.D 解析由题意可知x 2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x 2-2x-8在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t 在t ∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f (x )的单调递增区间为(4,+∞).故选D . 11.C 解析∵aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.又|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3≥2√|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⇒|PO⃗⃗⃗⃗ |·|PC ⃗⃗⃗⃗ |≤94, ∴(PA⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ ≥-92.故答案为-92. 12.C 解析由函数f (x )为奇函数,排除B;当0≤x ≤π时,f (x )≥0,排除A;又f'(x )=-2cos 2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-12,结合x ∈[-π,π],求得f (x )在区间(0,π]上的极大值点为2π3,靠近π,排除D .13.2 解析由题意知a=1,b=√a ,m>0,c=√a 2+a 2=√1+a ,则离心率e=aa =√1+a =√3,解得m=2.14.15 解析根据题意,从5个数中一次随机取两个数,其情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,其中这两个数的和为5的有(1,4),(2,3),共2种;则取出两个数的和为5的概率P=210=15.故答案为15.15.58解析设等比数列{a n }的公比为q.S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=34,即q 2+q+14=0.解得q=-12.故S 4=a 1(1-a 4)1-a=1-(-12)41+12=58.16.π2 解析在△ABC 中,因为b=2a ,由正弦定理,得sin B=2sin A ,则sin (a +π3)=2sin A ,化简,得32sin A-√32cos A=0,即√3sin (a -π6)=0,解得A=π6,则B=A+π3=π2. 二、思维提升训练 17.C 解析a =1-i,则aa 2=1-i (1+i)2=1-i2i=-12−12i,对应复平面内点的坐标为(-12,-12),在第三象限. 18.A 解析若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P ∈a ,P ∈b. 又因为a ⊆α,b ⊆β,所以P ∈α,P ∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l ,当a ,b 都与直线l 不相交时,则有a ∥b. 显然a ,b 可能相交,也可能异面或平行.综上,“直线a ,b 相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.19.C 解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y={sin (π6a ),a ≤2,2a ,a >2,当x>2时y=2x>4,若输出的y=12,则sin (π6a )=12,结合选项可知选C .20.D 解析当点E 与点D 1重合,点F 与点A 1重合时,C 1E 与AF 不平行,平面AFD 与平面B 1EC 1不平行,所以①②错误.因为AB 1⊥平面BCD 1A 1,EF ⊂平面BCD 1A 1,所以AB 1⊥EF.因为AD ⊥平面ABB 1A 1,所以平面AED ⊥平面ABB 1A 1,因此③④正确,故选D . 21.D 解析若(2,1)∈A ,则{2-1≥1,2a +1>4,2-a ≤2,化简,得{a >32,a ≥0.所以a>32.所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D .22.A 解析根据题意知2a=12,得a=6,离心率e=a a =√32,所以c=3√3,于是b 2=9,椭圆方程为a 236+a 29=1.23.A 解析容易判断函数y=x sin x 为偶函数,可排除D;当0<x<π2时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C .故选A .24.D 解析函数f (x )的导函数f'(x )=x 2+2bx+(a 2+c 2-ac ),若函数f (x )有极值点,则Δ=(2b )2-4(a 2+c 2-ac )>0,得a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理,得cos B=a 2+a 2-a 22aa<12,则B>π3,故选D .25.C 解析函数y=sin2x (x ∈R )的图象向左平移m (m>0)个单位可得y=sin2(x+m )=sin(2x+2m )的图象,向右平移n (n>0)个单位可得y=sin2(x-n )=sin(2x-2n )的图象.若两图象都与函数y=sin (2a +π3)(x ∈R )的图象重合,则{2a =π3+2a 1π,2a =-π3+2a 2π(k 1,k 2∈Z ), 即{a =π6+a 1π,a =-π6+a 2π(k 1,k 2∈Z ).所以|m-n|=|π3+(a 1-a 2)π|(k 1,k 2∈Z ),当k 1=k 2时,|m-n|min =π3.故选C .26.C 解析设数据x 1,x 2,…,x 10的平均数为a ,标准差为s ,则2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的平均数为2a -1,方差为[(2a 1-1)-(2a -1)]2+[(2a 2-1)-(2a -1)]2+…+[(2a 10-1)-(2a -1)]210=4(a 1-a )2+4(a 2-a )2+…+4(a 10-a )210=4s 2,因此标准差为2s=2×8=16.故选C .27.A 解析如图,当△ABC 为正三角形时,A=B=C=60°,取D 为BC 的中点,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有√3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2m ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴√3aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2m ×23aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴√3·2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43aaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴m=√32,故选A .28.D 解析由已知可得-a a =tan130°=-tan50°,则e=a a =√1+(a a )2=√1+tan 250° =√1+sin 250°cos 250°=√sin 250°+cos 250°cos 250°=1cos50°. 故选D . 29.9 解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y 取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,z max =9.30.±1 解析如图,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形,此时,点O 到AB 距离为1.由√2=1,解得k=±1.31.10√33 解析由S=4πR 2,得100π=4πR 2,解得R=5.如图,设球心到圆柱底面的距离为d ,圆柱底面半径为r ,则r 2=R 2-d 2=25-d 2. ∴圆柱体积V (d )=πr 2·2d=2d π(25-d 2)=-2πd 3+50πd ,故V'(d )=-6πd 2+50π,令V'(d )=0,得d=5√33. 当d=5√33时,圆柱体积V (d )最大,则圆柱的高为2d=10√33. 32.2 解析∵S n =na 1+a (a -1)2d , ∴a a a =a 1+a -12d ,∴a 55−a 22=(a 1+5-12a )−(a 1+2-12a )=32d , 又a 55−a 22=3,∴d=2.。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版(跟踪检测)：解答题分类特训解答题分类特训9含答案
综合①②可知m的最小整数值为2.
当x∈ 时、f′(x)≤0、f(x)是减函数；
当x∈ 时、f′(x)>0、f(x)是增函数．
③若a>1、则0< <1.
当x∈ 时、f′(x)>0、f(x)是增函数；
当x∈ 时、f′(x)≤0、f(ห้องสมุดไป่ตู้)是减函数；
当x∈(1、＋∞)时、f′(x)>0、f(x)是增函数．
综上所述、当a＝1时、f(x)在(0、＋∞)上是增函数；
①当a≥0时、因为f′(x)＝－1－alnx－a<0、所以f(x)在[1、＋∞)上单调递减、
所以f(x)max＝f(1)＝0、无最小值．
②当－1<a<0时、f(x)在(1、e－ －1)上单调递减、在(e－ －1、＋∞)上单调递增、
所以f(x)min＝f(e－ －1)＝ae－ －1＋1、无最大值．
③当a≤－1时、因为f′(x)＝－1－a(lnx＋1)≥0、当且仅当 时、等号成立、
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若1＜a＜e、试判断f(x)的零点个数．
解析(1)函数f(x)的定义域为(0、＋∞)、f′(x)＝a(x－1)－1＋ ＝ 、令f′(x)＝0、则x1＝1、x2＝ .
①若a＝1、则f′(x)≥0恒成立、所以f(x)在(0、＋∞)上是增函数．
②若0<a<1、则 >1.
当x∈(0,1)时、f′(x)>0、f(x)是增函数；
②当0<x<1时、因为0<a≤1、所以f(x)≤1－x－xlnx、所以g(x)≤ 、
令h(x)＝ 、x∈(0,1)、由条件可知h(x)≤m在(0,1)上恒成立、
通用版2020版高考数学大二轮复习 大题专项练习 分类汇编全集 文
大题专项练(一) 三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.因为c cos B+(b-2a)cos C=0,所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,所以sin(B+C)=2sin A cos C.又因为A+B+C=π,所以sin A=2sin A cos C.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,.所以cos C=12.又C∈(0,π),所以C=π3(2)由(1)知,C=π,3所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12aa sin a)max=12×4×sinπ3=√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2√3.(2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt△MCD中,MC=1sin a;在Rt△MAB中,MB=2sin(60°-a),由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sinθ,所以√3cosθ-sinθ=sinθ,即2sinθ=√3cosθ,整理可得tanθ=√32.3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√32,函数f (x )在y 轴上的截距为√32,与y 轴最近的最高点的坐标是(π12,1). (1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√32,由f (0)=2a-√32=√32,得a=√32,此时,f (x )=√32cos2x+a2sin2x ,由f (x )≤√34+a24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f (x )=sin (2a +π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f (x )=sin (2a +2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f (x )=sin (2a +π3).(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ), 因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f (x )=A sin (aa +π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.由已知f (x )最小正周期为2π,所以2πa=2π,解得ω=1.因为f (x )的最大值为2, 所以A=2,所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (a +π6).(2)因为f (x )=2sin (a +π6)=2sin x cos π6+2cos x sin π6=√3sin x+cos x ,所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin2x+1+cos2a2=sin (2a +π6)+12.因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:(1)求f (x )的解析式;(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积.由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π4−(-π4)=π,所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π2.所以函数的解析式为f (x )=sin (2a +π2)=cos2x.(2)∵f (A )=cos2A=-12,且A 为锐角,∴A=π3. 在△ABC 中,由正弦定理得,aa sin a=aasin a, ∴sin B=aa ·sin aaa=2×√323=√33, ∵BC>AC ,∴B<A=π3,∴cos B=√63,∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√32×√63+12×√33=3√2+√36,∴S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=12×2×3×3√2+√36=3√2+√32.6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.已知C=π4,b=4,因为S △ABC =12ab sin C ,即6=12×4a×√22,解得a=3√2,由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.(2)由(1)得cos B=a 2+a 2-a 22aa=√55, 由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2a =2√55,所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√55×√22+2√55×√22=3√1010.B 组 能力提升7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.(1)写出cos C 与cos A 的关系式;(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.(2)S=12·BC ·CD ·sin C=√3·sin a 2,T=12AB ·AD sin A=12sin A ,所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+34=-32(cos a -√36)2+78.由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C ∈(0,√32),当cos C=√36时,S 2+T 2有最大值78.8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cos∠BCD=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=62+42-(2√7)22×6×4=12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos∠BAD ,将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×2×4sin120°+12×4×6sin60°=8√3(km 2),即绿化空间的面积为8√3km 2.(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得BD 2=62+42-2×6×4cos θ, ① BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34.S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =12BC ·CD sin θ=12×6×4sin θ=12sin θ.因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元.y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),令f'(θ)>0,解得-12<cos θ<1,又cos θ<34,不妨设cos θ0=34,)上为增函数;则函数f(θ)在(a0,2π3,令f'(θ)<0,解得cosθ<-12,π)上为减函数,则函数f(θ)在(2π3所以当θ=2π时,f(θ)max=36√3a.3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a百答:(1)绿化区域的面积为8√3km2;(2)当θ=2π3万元.大题专项练(二) 数列A组基础通关1.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3,a2+a4=14.(1)求{a n}的通项公式;(2)设S n是等比数列{b n}的前n项和,若b2=a2,b4=a6,求S7.设等差数列{a n}的公差为d,∵a3-a2=3,a2+a4=14.∴d=3,2a1+4d=14,解得a1=1,d=3,∴a n=1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ,b 2=a 2=4=b 1q ,b 4=a 6=16=b 1q 3,联立解得{a 1=2,a =2,或{a 1=-2,a =-2.∴S 7=2×(27-1)2-1=254,或S 7=-2×[1-(-2)7]1-(-2)=-86.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 2=15,S n+1=S n +3a n +6. (1)证明:{a n +3}是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n .S n+1=S n +3a n +6中,令n=1,得S 2=S 1+3a 1+6,得a 1+a 2=a 1+3a 1+6,即a 1+15=4a 1+6, 解得a 1=3. 因为S n+1=S n +3a n +6, 所以a n+1=3a n +6.所以a a +1+3a a +3=3a a +9a a +3=3.所以{a n +3}是以6为首项,3为公比的等比数列.(1)得a n +3=6×3n-1=2×3n,所以a n =2×3n-3.∴S n =2×(3+32+33+…3n)-3n=2×3×(1-3a )1-3-3n=3n+1-3-3n.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =1-a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{1a a a a +1}的前n 项和T n .因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S n-1=1-a n-1(n ∈N *,且n ≥2),则S n -S n-1=(1-a n )-(1-a n-1)(n ∈N *,且n ≥2).即a n =12a n-1(n ∈N *,且n ≥2).因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S 1=1-a 1=a 1,即a 1=12.所以{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列.故a n =(12)a(n ∈N *).(2)b n =log 2a n ,所以b n =log 2(12)a=-n.所以1a a a a +1=1a (a +1)=1a−1a +1,故T n =(1-12)+(12-13)+…+(1a -1a +1)=1-1a +1=aa +1.4.设等差数列{a n }的公差为d ,d 为整数,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知a 1=b 1,b 2=2,d=q ,S 10=100,n ∈N *.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设c n =aa a a,求数列{c n }的前n 项和T n .由题意可得{10a 1+45a =100,a 1a =2,解得{a 1=9,a =29(舍去)或{a 1=1,a =2,所以a n =2n-1,b n =2n-1.(2)∵c n =aa a a,c n =2a -12a -1,∴T n =1+32+522+723+…+2a -12a -1, ①12T n =12+322+523+724+925+…+2a -12a, ②①-②可得12T n =2+12+122+…+12a -2−2a -12a=3-2a +32a,故T n =6-2a +32a -1.5.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n +1=2a a 2+a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知对于n ∈N *,不等式1a 1+1a 2+1a 3+…+1a a<M 恒成立,求实数M 的最小值.n=1时,2a 1+1=2a 12+a 1,又a n >0,所以a 1=1,当n ≥2时,2S n +1=2a a 2+a n (n ∈N *), 2S n-1+1=2a a -12+a n-1(n ∈N *),作差整理,得a n +a n-1=2(a n +a n-1)(a n -a n-1),因为a n >0,故a n +a n-1>0,所以a n -a n-1=12,故数列{a n }为等差数列,所以a n =a +12.(2)由(1)知S n =a (a +3)4,所以1a a=4a (a +3)=43(1a -1a +3), 从而1a 1+1a 2+1a 3+…+1a a=43(1-14)+(12-15)+(13-16)+…+(1a -2-1a +1)+(1a -1-1a +2)+(1a -1a +3)=431+12+13−1a +1−1a +2−1a +3=43116−1a +1−1a +2−1a +3<229.所以M ≥229,故M 的最小值为229.6.已知数列{a n }是公比为q 的正项等比数列,{b n }是公差d 为负数的等差数列,满足1a 2−1a 3=aa 1,b 1+b 2+b 3=21,b 1b 2b 3=315. (1)求数列{a n }的公比q 与数列{b n }的通项公式; (2)求数列{|b n |}的前10项和S 10.由已知,b 1+b 2+b 3=3b 2=21,得b 2=7,又b 1b 2b 3=(b 2-d )·b 2·(b 2+d )=(7-d )·7·(7+d )=343-7d 2=315, 得d=-2或2(舍),b 1=7+2=9,b n =-2n+11.于是1a 2−1a 3=-2a 1,又{a n }是公比为q 的等比数列,故1a 1a−1a 1a2=-2a 1,所以,2q 2+q-1=0,q=-1(舍)或12.综上,q=12,d=-2,b n =11-2n.(2)设{b n }的前n 项和为T n ;令b n ≥0,11-2n ≥0,得n ≤5,于是,S 5=T 5=5(a 1+a 5)2=25.易知,n>6时,b n <0,|b 6|+|b 7|+…+|b 10|=-b 6-b 7-…-b 10=-(b 6+b 7+…+b 10)=-(T 10-T 5)=-(0-25)=25,所以,S 10=50.B 组 能力提升7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{1a a a a +2}的前n 项和为T n ,不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.∵点(n ,S n )在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上,∴S n =12n 2+12n.①当n ≥2时,S n-1=12(n-1)2+12(n-1),②①-②,得a n =n.当n=1时,a 1=S 1=1,符合上式.∴a n =n (n ∈N *).(2)由(1),得1a a a a +2=1a (a +2)=12(1a -1a +2),∴T n =1a1a 3+1a2a4+…+1a a a a +2=121-13+12−14+…+1a −1a +2=34−121a +1+1a +2. ∵T n+1-T n =1(a +1)(a +3)>0,∴数列{T n }单调递增,∴{T n }中的最小项为T 1=13.要使不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,只要13>13log a (1-a ),即log a (1-a )<log a a.解得0<a<12,即实数a 的取值范围为(0,12).8.设{a n }是各项均不相等的数列,S n 为它的前n 项和,满足λna n+1=S n +1(n ∈N *,λ∈R ). (1)若a 1=1,且a 1,a 2,a 3成等差数列,求λ的值;(2)若{a n }的各项均不为零,问当且仅当λ为何值时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列?试说明理由.令n=1,2,得{aa 2=a 1+1=2,2aa 3=a 2+1=a 1+a 2+1,又由a 1,a 2,a 3成等差数列, 所以2a 2=a 1+a 3=1+a 3,解得λ=3±√52.(2)当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 证明如下:由已知λna n+1=S n +1,当n ≥2时,λ(n-1)a n =S n-1+1, 两式相减得λna n+1-λna n +λa n =a n , 即λn (a n+1-a n )=(1-λ)a n ,由于{a n }的各项均不相等, 所以aa 1-a=a aa a +1-a a(n ≥2),当n ≥3时,有a (a -1)1-a=a a -1aa -a a -1, 两式相减可得a1-a =a a aa +1-a a−a a -1aa -a a -1, ①当λ=12,得a a aa +1-a a=a a -1aa -a a -1+1=a aa a -a a -1, 由于a n ≠0,所以a n+1-a n =a n -a n-1, 即2a n =a n+1+a n-1(n ≥3), 故a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.②再证当a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列时,λ=12,因为a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 所以a n+1-a n =a n -a n-1(n ≥3),可得a a aa +1-a a−a a -1aa -a a -1=a a aa -a a -1−a a -1aa -a a -1=1=a1-a , 所以λ=12,所以当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.大题专项练(三) 立体几何A组基础通关1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明:(1)AC∥平面A1BC1;(2)平面AB1C⊥平面A1BC1.几何体为三棱柱⇒四边形ACC1A1为平行四边形⇒AC∥A1C1,又A1C1⊂平面A1BC1,AC⊄平面A1BC1,∴AC∥平面A1BC1.(2)∵BC=CC1且四边形BCC1B1为平行四边形,∴四边形BCC1B1为菱形,∴B1C⊥BC1.又平面A1BC1⊥平面BCC1B1,平面A1BC1∩平面BCC1B1=BC1,∴B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面A1BC1.2.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA∥平面PCD;(2)求圆锥SO的表面积和体积.PO,∵P、O分别为SB、AB的中点,∴PO ∥SA ,由于PO ⊂平面PCD ,SA ∉平面PCD , ∴SA ∥平面PCD ;SO=2,OB=2,SO 为圆锥的高,OB 为圆锥底面圆的半径,∴V=13πr 2h=13π×22×2=8π3,由于SO 为圆锥的高,则母线SB=√aa 2+aa 2=2√2,∴S 侧面=12l ·SB=12×2×π×2×2√2=4√2π,S 底面=πr 2=π×22=4π,故S=S 底面+S 侧面=(4+4√2)π.3.等边三角形ABC 的边长为3,点D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且满足aaaa =aaaa =12,如图甲,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使平面A 1DE ⊥平面BCED ,连接A 1B ,A 1C ,如图乙,点M 为A 1D 的中点.(1)求证:EM ∥平面A 1BC ; (2)求四棱锥A 1-BCED 的体积.取BD 的中点N ,连接NE ,则NE ∥BC ,在四棱锥A 1-BCED 中,NE 与BC 的平行关系不变.连接MN ,在△DA 1B 中,MN ∥A 1B ,又NM ∩NE=N ,BA 1∩BC=B ,∴平面MNE ∥平面A 1BC , 又EM ⊂平面MNE ,∴EM ∥平面A 1BC.(2)∵等边三角形ABC 的边长为3,且aa aa =aa aa =12,∴AD=1,AE=2.在△ADE 中,∠DAE=60°,由余弦定理得DE=√1+2-2×1×2×cos60°=√3, 从而AD 2+DE 2=AE 2,∴AD ⊥DE.折起后有A 1D ⊥DE ,∵平面A 1DE ⊥平面BCED , 平面A 1DE ∩平面BCED=DE ,A 1D ⊂平面A 1DE ,∴A 1D ⊥平面BCED.∴四棱锥A 1-BCED 的体积V=13S 四边形BCED ·A 1D ,连接BE ,则S 四边形BCED =12CB ·CE sin ∠BCE+12BD ·DE=12×1×3×sin60°+12×2×√3=7√34,∴V=13×7√34×1=7√312.4.如图所示,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF ∥AB ,EF ⊥FB ,∠BFC=90°,BF=FC ,H 为BC 的中点.(1)求证:FH ∥平面EDB ; (2)求证:AC ⊥平面EDB ; (3)求四面体B-DEF 的体积.AC 与BD 交于点G ,则G 为AC 的中点,如图所示,连接EG ,GH.∵H 为BC 的中点,∴GH ∥AB.∵EF ∥AB ,∴EF ∥GH.又∵EF=GH=12AB , ∴四边形EFHG 为平行四边形,∴EG ∥FH.∵EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.∵EF∥AB,∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC,又FH⊂平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.∵BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC.∵FH∥EG,∴AC⊥EG.∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB,BF⊥FC,EF∩FC=F,∴BF⊥平面CDEF,∴BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF⊥平面BFC,∴EF⊥FC.又∵EF∥AB∥CD,∴FC为△DEF中EF边上的高.∵BC=AB=2,∴BF=FC=√2,∴V四面体B-DEF=13×12×1×√2×√2=13.5.如图,在五面体ABCDEF 中,四边形CDEF 为矩形,AD ⊥CD. (1)证明:AB ⊥平面ADE ;(2)连接BD ,BE ,若二面角E-CD-A 的大小为120°,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD 的体积.CD ⊥AD ,CD ⊥DE ,AD ∩DE=D ,所以CD ⊥平面ADE ,因为四边形CDFE 为矩形,所以EF ∥CD. 又EF ⊄平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以EF ∥平面ABCD.因为EF ∥平面ABCD ,EF ⊂平面ABFE ,平面ABFE ∩平面ABCD=AB , 所以EF ∥AB ,又EF ∥CD ,所以CD ∥AB ,又CD ⊥平面ADE ,所以AB ⊥平面ADE.CD ⊥AD ,CD ⊥DE ,所以∠ADE 即为二面角A-CD-E 的平面角,所以∠ADE=120°.S △ADE =12DA ·DE ·sin ∠ADE=12×2×1×√32=√32.于是V 三棱锥E-ABD =V 三棱锥B-ADE =13S △ADE ·AB=13×√32×1=√36.6.如图,在四棱锥E-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB=√2,BC=2,截面EBD 是等边三角形,M ,N 分别是AD ,CE 的中点.(1)求证:MN ∥平面EAB ;(2)若EC=EA ,AB ⊥DE ,求三棱锥E-BMN 的体积.,取EB 的中点F ,连接AF ,NF ,在△ECB 中,易得NF a 12BC ,又在平行四边形ABCD 中,AM a 12BC ,∴NF a AM ,∴四边形AMNF 是平行四边形, ∵MN ∥AF ,AF ⊂平面EAB ,MN ⊄平面EAB , ∴MN ∥平面EAB.,连接AC 交BD 于点O ,连接EO ,在等腰△EAC 中,EA=EC ,∴EO ⊥AC , 又在等边△EBD 中,EO ⊥BD ,∴EO ⊥平面ABCD.∴EO ⊥AB.又AB ⊥DE ,EO ∩DE=E , ∴AB ⊥平面BDE ,∴AB ⊥BD.∴V E-BMN =V N-EBM =12V C-EBM =12V E-BCM =16S △BCM ·EO ,又S △BCM =S △ABC =12AB ·BD=12·√2·√2=1,EO=√2·√32=√62, ∴V E-BMN =16×1×√62=√612. B 组 能力提升7.如图,四棱锥A-BCDE 中,CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD ,AB ⊥BC ,M 为AD 上一点,EM ⊥平面ACD. (1)求证:EM ∥平面ABC ;(2)若CD=2BE=2,求点D 到平面EMC 的距离.AC 的中点F ,连接BF ,因为AB=BC ,所以BF ⊥AC ,又因为CD ⊥平面ABC ,所以CD ⊥BF ,又CD ∩AC=C ,所以BF ⊥平面ACD , 因为EM ⊥平面ACD ,所以EM ∥BF ,EM ⊄平面ABC ,BF ⊂平面ABC , 所以EM ∥平面ABC ;EM ⊥平面ACD ,EM ⊂平面EMC ,所以平面CME ⊥平面ACD ,平面CME ∩平面ACD=CM ,过点D 作直线DG ⊥CM ,则DG ⊥平面CME.由已知CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD=2BE ,可得AE=DE , 又EM ⊥AD ,所以M 为AD 的中点.在Rt △ABC 中,AC=√2BC=2√2,在Rt △ADC 中,AD=√aa 2+aa 2=2√3,S △CDM =12S △ACD =12×12×2×2√2=√2,在△DCM 中,CM=12AD=√3,由等面积法知12×CM ×DG=√2,所以DG=2√63,即点D 到平面EMC 的距离为2√63.8.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D ,E 分别为AB 和BB'上的点,且aaaa =aaaa '=λ.(1)求证:当λ=1时,A'B ⊥CE ;(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE 的体积最小,并求出最小体积.=1,∴D ,E 分别为AB 和BB'的中点,又AB=AA',且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE ⊥A'B.∵AC=BC ,D 为AB 的中点,∴CD ⊥AB. ∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱, ∴CD ⊥平面ABB'A',又A'B ⊂平面ABB'A', ∴CD ⊥A'B ,又CD ∩DE=D ,∴A'B ⊥平面CDE ,∵CE ⊂平面CDE , ∴A'B ⊥CE.BE=x ,则AD=x ,DB=6-x ,B'E=6-x ,由已知可得C 到平面A'DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对的高,h=√aa 2-(aa 2)2=4,∴V A'-CDE =V C-A'DE =13(S 四边形ABB'A'-S △AA'D -S ΔDBE -S △A'B'E )·h=1336-3x-12(6-x )x-3(6-x )·h =23(x 2-6x+36)=23[(x-3)2+27](0<x<6), ∴当x=3,即λ=1时,V A'-CDE 有最小值18.大题专项练(四) 概率与统计A 组 基础通关1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访. (1)求应从各年级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为A i ,高二学生记为B i ,高三学生记为C i ,i=1,2,3…).①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.高一:66+12+24×7=1;高二:126+12+24×7=2; 高三:246+12+24×7=4;所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人.(2)由(1)知高一1人记为A 1,高二2人记为B 1、B 2,高三4人记为C 1、C 2、C 3、C 4,①从中抽取两人,所有可能的结果为:A 1B 1、A 1B 2、A 1C 1、A 1C 2、A 1C 3、A 1C 4、B 1B 2、B 1C 1、B 1C 2、B 1C 3、B 1C 4、B 2C 1、B 2C 2、B 2C 3、B 2C 4、C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共21种.②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27.2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A ,B 两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A 校样本数据条形图B 校样本数据统计表(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为a a=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3=6,60×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-A校样本数据的方差为a a2=1606)2+3×(9-6)2]=1.5.从B校样本数据统计表可知,B校样本数据的均值为=6,a a=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×360B校样本数据的方差为a a2=1×[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21×(6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-606)2+3×(9-6)2]=1.8.因为a a=a a,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又a a2<a a2,所以A校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B校好.(2)依题意,从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+3×12=4,分别设为a,b,c,d;从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为f.所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=915=35.3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x(分钟)与乘客等候人数y(人)之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数a^,再求y^与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率;(2)若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程a^=a^x+a^,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)参考公式:a^=∑a =1aa a a a -aaa ∑a =1aa a 2-aa 2,a^=a −a ^a .设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A ,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种,所以P (A )=1-515=23. (2)后面4组数据是:因为a =12+13+14+154=13.5,a =26+29+28+314=28.5,∑a =14x i y i =1546,∑i =14a a 2=734,所以a^=∑a =1aa a a a -aaa∑a =1a a a2-aa 2=1546-4×13.5×28.5734-4×13.52=1.4,a^=a −a ^a =28.5-1.4×13.5=9.6, 所以a^=1.4x+9.6. 当x=10时,a^=1.4×10+9.6=23.6,23.6-23=0.6<1;当x=11时,a^=1.4×11+9.6=25,25-25=0<1, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.(3)由1.4x+9.6≤35,得x ≤1817,故间隔时间最多可设置为18分钟.4.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果:已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.附:K2=a (aa -aa )2(a +a )(a +a )(a +a )(a +a )由从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.可知:支持技术改造的企业共有320家,故列联表为所以K2的观测值k=560(80×200-40×240)2120×440×320×240≈5.657>5.024故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为1∶3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为1528.5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”.(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.附:K2=a (aa -aa )2(a +a )(a +a )(a +a )(a +a ).设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A ,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共15个.事件A 包含的基本事件有10个,∴P(A)=1015=23.(2)列表∴K2的观测值k=40×(1×15-5×19)26×34×20×20≈3.137>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30(人),女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45(人).(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含男生人数为30×115=2(人),女生人数为45×115=3(人).设两名男生为A 1,A 2,三名女生为B 1,B 2,B 3. 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共10个,每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C :“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C 包含的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},共7个.所以P (C )=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.B 组 能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数,并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1);(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查,得到如表1中数据,根据表1及临界值表2中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?图1表1附:临界值表2(参考公式:K2=a (aa -aa )2(a +a )(a +a )(a +a )(a +a ),其中n=a+b+c+d )设各组的频率为f i (i=1,2,3,4,5,6),由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后四组的频数成等差数列,所以后四组频数依次为27,24,21,18, 则后四组频率依次为0.27,0.24,0.21,0.18, 视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82(人),故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×82100=820(人).设100名学生视力的中位数为x ,则有(0.15+0.35+1.35)×0.2+(x-4.6)×(0.24÷0.2)=0.5,x ≈4.7.(2)K 2的观测值k=100(42×16-34×8)250×50×76×24=20057≈3.509<3.841.因此不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.8.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植脐橙,并利用互联网电商进行销售,为了更好销售,现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间[200,500](单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,.其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为710(2)方案B好,理由如下:由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购:∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000(个),脐橙质量不低于350克的个数为55000个,∴收益为45000×2+55000×3=255000(元).若按方案A收购:根据题意各段脐橙个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000.于是总收益为(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150(元), ∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.大题专项练(五) 函数与导数A组基础通关ax2(a∈R).1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f(x)=(x2-2x+2)e x-12(1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:当a≤-2时,f(x)≥2.a=e时,f(x)=(x2-2x+2)e x-1e x2,2所以f'(x)=x2e x-e x=x(x e x-e),讨论:①当x<0时,x e x-e<0,有f'(x)>0;②当0<x<1时,由函数y=x e x为增函数,有x e x-e<0,有f'(x)<0;③当x>1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e >0,有f'(x )>0.综上,函数f (x )的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).a ≤-2时,有-12a ≥1,所以-12ax 2≥x 2,所以f (x )≥(x 2-2x+2)e x +x 2.令g (x )=(x 2-2x+2)e x +x 2,则g'(x )=x 2e x +2x=x (x e x+2). 令h (x )=x e x+2,有h'(x )=(x+1)e x. 令h'(x )=0,得x=-1.分析知,函数h (x )的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).所以h (x )min =h (-1)=2-1e >0.所以分析知,函数g (x )的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0), 所以g (x )min =g (0)=(02-2×0+2)×e 0+02=2, 故当a ≤-2时,f (x )≥2.2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间),每单位时间的用氧量为a 103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为a2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式;(2)若c ≤v ≤15(c>0),求当下潜速度v 取什么值时,总用氧量最少.由题意,得下潜用时60a (单位时间),用氧量为a 103+1×60a =3a 250+60a(升);水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升);返回水面用时60a 2=120a(单位时间),用氧量为120a×1.5=180a (升), ∴总用氧量y=3a 250+240a+9(v>0).(2)y'=3a 25−240a 2=3(a 3-2000)25a 2,令y'=0,得v=10√23,当0<v<10√23时,y'<0,函数单调递减, 当v>10√23时,y'>0,函数单调递增,∴当0<c<10√23时,函数在(c ,10√23)上单调递减,在(10√23,15)上单调递增,∴当v=10√23时总用氧量最少,当c ≥10√23时,y 在[c ,15]上单调递增,∴当v=c 时总用氧量最少.综上,若0<c<10√23,则当v=10√23时总用氧量最少;若c ≥10√23, 则当v=c 时总用氧量最少.3.(2019安徽淮北模拟)已知函数f (x )=aa -1+ln x.(1)若函数f(x)在(e,+∞)内有极值,求实数a的取值范围;(2)在(1)的条件下,对任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求证:f(t)-f(s)>e+2-1e.(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=1a −a(a-1)2=a2-(a+2)a+1a(a-1)2,设h(x)=x2-(a+2)x+1,要使y=f(x)在(e,+∞)上有极值,则x2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1,x2,∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①且至少有一根在区间(e,+∞)上,又∵x1·x2=1, ∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x2>e,∴0<x1<1e<e<x2,又h(0)=1,∴只需h1e <0,即1e2-(a+2)1e+1<0,∴a>e+1e-2,②联立①②可得a>e+1e-2.即实数a的取值范围是e+1e-2,+∞.(1)知,当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,∴f (x )在(1,+∞)上有最小值f (x 2),即∀t ∈(1,+∞),都有f (t )≥f (x 2), 又当x ∈(0,x 1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,∴f (x )在(0,1)上有最大值f (x 1),即对∀s ∈(0,1),都有f (s )≤f (x 1), 又∵x 1+x 2=2+a ,x 1x 2=1,x 1∈0,1e ,x 2∈(e,+∞), ∴f (t )-f (s )≥f (x 2)-f (x 1) =ln x 2+a a 2-1-ln x 1-aa 1-1=ln a 2a 1+aa2-1−aa 1-1=ln a 22+x 2-1a 2(x 2>e),设k (x )=ln x 2+x-1a =2ln x+x-1a (x>e),则k'(x )=2a+1+1a 2>0(x>e),∴k (x )在(e,+∞)上单调递增,∴k (x )>k (e)=2+e -1e ,∴f (t )-f (s )>e +2-1e .4.(2019河南商丘模拟)已知函数f (x )=(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x (a>0).(1)如图,设直线x=-12,y=-x 将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f (x )的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围;(2)当a>12时,求证:∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,有f (x 1)+f (x 2)<2fa 1+a 22.(1)解函数f (x )的定义域为-12,+∞,且当x=0时,f (0)=-a<0. 又∵直线y=-x 恰好通过原点,∴函数y=f (x )的图象应位于区域Ⅳ内,于是可得f (x )<-x ,即(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x<-x.∵2x+1>0,∴a>ln(2a +1)2a +1.令h (x )=ln(2a +1)2a +1x>-12,则h'(x )=2-2ln(2a +1)(2a +1)2x>-12.∴当x ∈-12,e -12时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈e -12,+∞时,h'(x )<0,h (x )单调递减.∴h (x )max =he -12=1e ,∴a 的取值范围是1e ,+∞.f'(x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,设u (x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,则u'(x )=42a +1-8a x>-12, ∵当x>0时,42a +1<4,当a>12时,8a>4,∴u'(x )=42a +1-8a<0, ∴当x>0时,f'(x )为减函数,不妨设x 2>x 1>0,令g (x )=f (x )+f (x 1)-2f a +a 12(x>x 1),可得g (x 1)=0,g'(x )=f'(x )-f'a +a 12,∵x>a +a 12且f'(x )是(0,+∞)上的减函数,∴g'(x )<0,∴当x>x 1时,g (x )为减函数, ∴g (x 2)<g (x 1)=0,。
【2020最新】人教版最新高考数学二轮复习测试题(文科)Word版
教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学二轮复习测试题(文科)Word版编辑：__________________时间：__________________数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.集合，集合，则P 与Q 的关系是{|1}P x y x ==+{|1}Q y y x ==-A. P ＝ QB. P QC. P QD. P ∩Q ＝≠⊂∅2.复数的虚部是（ ）．121ii ++A ．B ．C ．D ．2i 1212i 32 3.已知平面向量 ，， 则向量1,m -a=（）r 2,m m b=（）r +a b r r A ．平行于轴 B ．平行于第一、三象限的角平分线 x C ．平行于轴 D ．平行于第二、四象限的角平分线 y4.（文）下列函数中，在上是增函数的是(0,)πA. B. C. D.sin y x =1y x =2x y =221y x x =-+5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为A.24B. 80C. 64D. 2406.设等差数列的前n 项和为，若, 则={}n a nS 25815a a a ++=9S A ．18 B ．36 C ．45 D ．607. 角终边过点，则=(1,2)P -sin αA . B. C. D.8. 在△中，角的对边边长分别为,ABC ,,A B C 3,5,6a b c === 则的值为cos cos cos bc A ca B ab C ++A ．38B ．37C ．36D ．359.方程的根所在的区间为（ ）。
1()202x x --=A ． B.C ．D .(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)10.将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16………………………………… 则数表中的数字20xx 出现的行数和列数是A ．第44 行 75列B ．45行75列C ．44 行74列D ．45行74列二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11—13题）11. 已知点M （1，0）是圆C:内的一点，那么过点M 的最短弦所在的直线方程是 。
2020版新高考数学二轮复习-典型习题Word版含解析
一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.因为f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B.因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1解析：选D.通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D. 4．(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：选C.因为函数y ＝x 2＋12x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y ＝12x 2＋1x 2＝121＋1x2，所以函数y ＝x 2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝22<1，所以排除选项A ，故选C. 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1， 故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.7．(2019·湖南省五市十校联考)若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则满足f (x －1)>1e 2－e 2的x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选B.由f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即e －x －a e x ＝a e －x －e x ，得a ＝1，所以f (x )＝e x －e －x ，则f (x )在R 上单调递增，又f (x －1)>1e 2－e 2＝f (－2)，所以x －1>－2，解得x >－1，故选B.8.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0，1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ︵＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t ，0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.9．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f (x )的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式f (x )≥x 2－x －a 的解集中有且仅有1个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <－1}B ．{a |－2≤a <－1}C ．{a |－2≤a <2}D ．{a |a ≥－2}解析：选B.根据题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，不等式f (x )≥x 2－x －a 等价于a ≥x 2－x －f (x )，令g (x )＝x 2－x －f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2，x ≤0，x 2－2，x >0，作出g (x )的大致图象，如图所示，又g (0)＝－2，g (1)＝－1，g (－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a <－1，即实数a 的取值范围是{a |－2≤a <－1}．故选B.10．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x >0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－2)C ．(－2，2)D ．(－∞，0)解析：选B.易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0－x 3－x ＋5，x >0在x ∈R 上单调递减， 又f (2m －x )<f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x >x ＋m ，即2x <m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)<m ，解得m <－2，故选B.11．(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称解析：选BD.f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.12．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：选CD.已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，所以π>3>e>2，所以⎝⎛⎭⎫π3e>1，πe >3e，故A 错误；因为0<3π<1，1>e －2>0，所以⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，所以3e －2π>3πe －2，故B 错误；因为π>3，所以log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.13．(多选)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1B ．有最大值1C ．无最大值D ．无最小值解析：选AC.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝________．解析：当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.答案：－151615．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是________．解析：依题意，⎩⎨⎧a >1，a ＋a －2≤a ，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围为(1，2]．答案：(1，2]16．已知函数f (x )的图象关于点(－3，2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1)．答案：(－4，－1)17．(2019·广东惠州调研改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，则f (3)＝________；若在(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即f (4＋x )＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数．则f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1－1＝2－1.画出函数f (x )与函数y ＝log a (x ＋2)在(－2，6)上的图象如图所示．要使函数f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎨⎧a >1，log a（6＋2）<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)．答案：2－1 (8，＋∞)。
2020数学二轮高考辅导与训练 小题标准练
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通用版2020高考数学文二轮复习附4套124限时提速练 含解析
附：4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)6??|∈x N，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝(1．已知N是自然数集，设集合A＝)??1x＋??A．{0,2}B．{0,1,2}DC．{2,3}．{0,2,4}6解析：选B∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝31＋x或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－iDC．1＋i．1－i，z＝2ii)解析：选C因为(1＋?i?1－2i2ii.＝1＋＝所以z＝?－1＋ii?1＋i??1) 1)b＝(m，m＋，若a∥b，则实数m的值为(，3．设向量a＝(1,2)1 A．1 B．－13 C．－D．－3解析：选A因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，所以2m＝m＋1，解得m＝1.*)，则m＝N() ＝2.若aaaaa(m∈＝．在等比数列4{a}中，a2，公比q＝411mn32A．11 B．10 D．C．98n，2 }的通项公式为a＝解析：选B由题意可得，数列{a nn4610，所以m2＝10.q又a＝a＝1m22yx5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆164的标准方程为()2222＝72 6)(y－B ．x2)．A(x－＋＋y＝1688100100????2222＋x－xD. ＋y＝C.＝y＋????3399．2)，C由题意得圆C经过点(0，±解析：选222＋y)＝r，设圆C的标准方程为(x－a2222＝r－a 由a)＋4＝r，，(610082 a＝，＝，r解得938100??22－x所以该圆的标准方程为y＋. ＝??39单(年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额6.据统计，2018元，)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88位：元)(乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为6 A．5 B．8DC．7 ．，解析：选B因为甲群抢得红包金额的平均数是8892＋?90＋m?＋8878＋86＋84＋＋95 所以＝88，73.m＝解得9. ＝，所以因为乙群抢得红包金额的中位数是89n93＋n＋m6.＝＝的等差中项为所以m，n22的正方形，正．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为27视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是)(2 A．2 B．213C．＋D.2 ，因为正方形的边长为2选解析：D所以正方形的对角线长为2，R，设俯视图中圆的半径为1.＋如图，可得R2＝．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十8，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a)(81 B．A．12149DC．74．a＝16；S＝9，n＝3，，解析：选B第一次循环：S＝1n＝2，a＝8；第二次循环：；＝32＝49，n＝5，a＝第三次循环：S＝25，n＝4，a24；第四次循环：S81. 的值为，退出循环，输出S，a＝40，不满足a≤32第五次循环：S＝81，n＝6π)af(0，|θ|≤的部分图象如图所示，且9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞2，＝3f(x＋x)，有，b]，若f(x)＝f(x)a＝f(b)＝0，对不同的x，x∈[211212)(则π5π??，－在x)上是减函数A．f(??1212π5π??，－在) B．f(x上是增函数??12125ππ??，(x)在上是减函数C．f??635ππ??，(x)在上是增函数D．f??63，＝＝f(0)3(0＋m)＝f(m)f[，设m∈a，b]，且f(0)＝f(m)，则由题图知解析：选B A＝2ππππππ3??＋x22sin)＝f(x＝|≤，∴θ，∴2，令－＋2k∴2sin θsin ＝3，θπ＝≤x＋≤，又|θ??32232235ππ＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．121210.已知正四棱柱ABCD-ABCD的体积为36，点E，F分别为棱BB，CC上的点(异111111于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A-AEFD的体积为()1A．2 B．4DC．6．12解析：选D连接AF，易知四棱锥A-AEFD的体积为三棱锥F-AAD和三棱锥F-AAE1111112的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则V＝××a×h×a＝ah，V263AEADF-AAF-111111222h＝36，所以四棱锥aa的体积为-Aa＝×××＝×ahah，所以四棱锥AEFDh，又13623．A-AEFD的体积为12.12x的图象大致是(x)e)＝(2x)＋3．函数11f(x3解析：选A由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；22x，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A. f′(x)＝(2x＋＋7x3)e又12＋ax－1(a)x＝ax＞0)的图象有且只有一个公共点，f(x)＝ln x＋x与g(12．已知函数2则a所在的区间为() 122????，，1 B. A.????33233????，21，D.C. ????2212－ax＋1x－ax，－g(x)＝ln x＋)解析：选D设T(x＝f(x)2由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．x＋1111??a－＝(x＋1)·T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)··(1－ax)．??xxxx因为a＞0，x＞0，1??，0在)T(x所以上单调递增，??a1??，＋∞上单调递减，如图，在??a当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，1111??＝0，即ln ＋－－1所以T＋1＝0，??aaaa211所以ln＋＝0.aa211因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，xx211所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．aa2111当a＝时，ln＋>0，aa22111当a＝1时，ln ＋＝＞0，aa22311当a＝时，ln＋＜0，aa22．11当a＝2时，ln ＋＜0，aa23??，1∈a. 所以??2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)2＋axx13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.3x解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则由f(x)＋f(－x)＝0，22－xxax＋ax得＋＝0，33xx－即ax＝0，则a＝0.答案：0，≤－1x???，0＋25≥53x－y则目标函数14．已知x，y满足约束条件z＝3x＋y的最大值为??，≥0x＋4y－3 ．________ 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，解析：，平移该直线，作出直线3x＋y＝0当直线经过点A时，z取得最大值．，1x＝－??联立?，＝0－5y＋253x??，＝－1x??722.＝(－解得1)所以z＝3×22max55，＝y??57 答案：52x2轴上，x1有相同渐近线，焦点位于xOy中，与双曲线－y＝15．在平面直角坐标系 3 ________的双曲线的标准方程为．且焦点到渐近线距离为222xx22，y＝λ1解析：与双曲线－y＝有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－33 2，，又焦点到渐近线的距离为x轴上，故λ＞0因为双曲线焦点在22yx1. ＝，所求方程为－＝所以λ441222yx1＝答案：－412．2，若＝AB＝2，AC＝8，sin∠ACB．如图所示，在△16ABC中，∠ABC为锐角，6BAEsin∠24________. ＝，则，S＝BE＝2DE ADE△3DAEsin∠2 ＝2，AC＝8，sin∠，ACBABC解析：因为在△中，AB＝6ACAB ，由正弦定理得＝ABCsinsin∠∠ACB22.＝∠所以sinABC31.ABC＝又∠ABC为锐角，所以cos∠ 3. 2SDE，所以S＝因为BE＝2ADEABE△△242. 4S，所以又因为S＝＝ABDADE△△316.，所以BD＝AB×BD××sin∠ABC因为S＝ABD△22222. 4，可得ADBD×cos∠由余弦定理AD ＝＝AB＋BDABD－2AB×1 ∠BAE，×AB×AE×sin因为S＝ABE△21 DAE，∠AD×AE×sinS ＝×DAE△2BAEsin∠AD42.＝＝所以2×ABDAE∠sin答案：42“12＋4”限时提速练(二)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)a＋1为纯虚数，则实数a＝(1．若复数z＝) 1＋i B．－1 A．－2C．1D．2?1－i?aaaa解析：＋＋1＝1＝＋选A因为复数z i1－为纯虚数，＝22?i1＋?1??i－i1＋aa所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.22．1???x2＜≤2 xA＝＝() 2．设集合，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B???2??1??，01,0) －B ．A.[ ??21??1，1,1]C.．[－D??211x＜2，∴－12≤x＜，解析：选A∵≤221??|－1≤x ＜x.∴A＝??2??∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，1??|0＜x＜x.∩B＝∴A??2??x(x＜0)，其值域为D，在区间(2－1,2)上随机取一个数x，则x∈D3．已知函数f(x)＝的概率是()11 B.A. 3221 C. D. 34x是R上的增函数，＝2 解析：选B因为函数y所以函数f(x)的值域是(0,1)，1－01＝＝.由几何概型的概率公式得，所求概率P3?1?2－－4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则―→―→AC·AB＝()A．1 B．2D．4C．3解析：选D连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，―→―→―→―→―→―→∴AB⊥BC，AC在AB上的投影|AC|cos〈AC，AB〉＝|AB|＝2，―→―→―→―→―→―→∴AC·AB＝|AC||AB|cos〈AC，AB〉＝4.，≤xy???，1＋y≤x则z＝2x．已知，y满足约束条件x＋y的最大值为()5??，1y≥－3 ．－A3 B. 24C．3 ．D解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，，＝2y＝1，xx＋????所以取得最大值．由得＝2x＋y平移该直线，当直线过点B时，z??，＝－1y ＝－1，y????B(2，－1)，故z＝2×2－1＝3.max6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是()A．i≤4? B．i≥4?≤5?D．i≥5?C．i解析：选C执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.π????＋x＋x2siny将函数＝个单位长度，所得图象对应7．的图象向左平移φ(φ＞cos0) ????33的函数为奇函数，则φ的最小值为()ππ B.A. 612ππ D. C.342π??＋2xsin＝根据题意可得yy解析：选Bφ，将其图象向左平移个单位长度，可得??32π2π??φ22x＋＋因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，sin 的图象，＝??33πππkφ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φ＝，故选B.min236中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》8“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四222b－c＋a1????222，－＝c约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积Sa????42，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十cb>，c，且a>其中△ABC的三边分别为a，b三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的)(面积为平方里．83平方里BA．82 ．84平方里平方里．85DC里，代入三角形1314里、由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、解析：选C22213＋15－141????222×＝13×15－＝84(的面积公式可得三角形沙田的面积S平方????42C.)．故选里，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何19．如图，网格纸上小正方形的边长为)体的表面积为(A．5π＋18 B．6π＋18D．10π＋C．8π＋66解析：选C由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体11122＋2×3＋×2π×1×2××π×13＝8π＋×的表面积为2×4π×16.＋22210．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x －1)≤f(2x)的解集为()21????，－－1，1B. A.????331??，1 D.．C[－1,1]??3解析：选B∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，上单调递减，[0,2]在)x(f上单调递增，∴函数2,0]－[在)x(f又函数．，－1≤2≤－2x??1?，2x≤－2≤2.≤解得－1(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴≤xf∵f(x－1)≤3??，||2x|x－1|≥41的最小值是＝81，则＋a＋2aa＋aa11．在各项均为正数的等比数列{a}中，a1291n5114aa86) (79 B．A. 33D．1．C 为等比数列，解析：选C因为{a}n222 aa＋a＝(a＋a)81，＝＋所以aa2aa＋aa＝a2＋84611211685896＝9，a}的各项均为正数，所以a＋a又因为等比数列{8n641aa411411aa4????6868＋1a＋a)，＝5＋＋≥＝＋所以＝(×5＋2??86??aa99aaa9aaa86866886aa468 6时等号成立，3，a＝＝＝，a＋a＝9，即a当且仅当8686aa86411.＋的最小值是所以aa8612上，1C在直线y＝－x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点12．过抛物线y＝4) ABC为正三角形，则其边长为(若△12 ．11 BA．14C．13． D ，由题意可知，焦点F(0,1)解析：选B，k≠0)的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(易知过焦点F1?2?，xy＝42? 0，－4kx－联立4消去y，得x＝??，＋1y＝kx ＝－xx4，)y，∴x＋x＝4k，)设A(x，y，B(x，211221122 k，＋1)的中点为M，则M(2k,2设线段AB22] x－4?[x＋x?|AB|＝1＋k??x2211222 )．＝4(1＋1＋kk??16k＋16??＝MC，m，－1)，连接设C( 为等边三角形，ABC∵△222k＋13＝||1kxy1)mCkk＝，＝－＝∴km2＋4，点(，－到直线＝＋的距离MC MC km－k2．2||km＋3 ，AB||＝22k1＋2||km＋32，4(1＋k)＝×∴22k1＋242＋＋42kk2 )3(1＋k，即＝221＋k解得k＝±2，2)＝12.4(1＋k∴|AB|＝二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________. 解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.答案：514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙22yx15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端22ab―→―→点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若AB＝3FA，则此双曲线的离心率为________．解析：由F(－c,0)，A(0，b)，b得直线AF的方程为y＝x＋b.cb根据题意知，直线AF与渐近线y＝相交，x ab?，＋by＝x cbc?. y＝联立得消去x得，B ac－b?，y＝x a→―→―b，由AB＝3FA，得y＝4B bc a所以，＝4b，化简得3c＝4a－c4.＝所以离心率e34答案：3的正三棱柱的侧棱上，则该直角216．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为．三角形斜边的最小值为________为斜边．解析：记该直角三角形为△ABC，且AC 与正三棱柱的一个顶点重合，法一：如图，不妨令点A 取AC的中点O，连接BO，1 ∴B＝AC， 2 BO取得最小值，即点B到平面ADEF 的距离．∴AC取得最小值即∵△AHD是边长为2的正三角形，的距离为3到平面ADEF，∴点B3.∴AC的最小值为2 与正三棱柱的一个顶点重合，法二：如图，不妨令点A(n≥0)，n设BH＝m(m≥0)，CD＝222222. ＋n－m)4，ACAB∴n＝4＋mBC，＝＝4＋( 的斜边，△ABC∵AC为Rt222∴ABBC＋，＝AC222＝4＋n，4即＋mn＋4＋(－m)2＋2＝0，∴mnm－22＋m2 ，m＋≠∴m0，n＝＝mm22??22＋m＋4 ＝，即m＝2时等号成立，∴AC＝m1284≥＋＝，当且仅当??mm3. 的最小值为2AC3AC∴≥2，故23答案：) 12＋4”限时提速练(三“)(满分80分，限时45分钟) 12小题，每小题5分，共60分一、选择题(本大题共2i) (，则∈R，复数a＋bi＝a＋b＝1．已知a，b i1－1 B．A2．2D．－C．0?i2i2i?1＋i??1＋2i i解析：选C因为a＋b＝，＝＝＝－1＋i2?1＋iii?1－1－??0.b＝＝－1，b＝1，a＋所以a) B＝A，则a的取值范围是(B＜x＜2}，＝{x|x<a}，若A∩{2．设集合A＝x|11] －∞，2] B．(－∞，A．()C．[1，＋∞)D．[2，＋∞2. a≥a}，所以x{|1<x<2}，B＝{x|x<，可得D解析：选由A∩B＝AA?B，又A＝5π5π??cos sin ，．若点) 3(在角α的终边上，则sin α＝??6613 B. A. 2213．－．－C D22πππ5ππ5π1????－ππ－sin 因为解析：选＝－cos ＝C＝sin＝＝＝sin ，cos cos ????66666623 －，21????313??22＝1r的终边上，所以点在角α且该点到角α顶点的距离，＝＋－，－??????22223. ＝－αsin 所以24．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．)根据该统计图判断，下列结论正确的是(A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱月的方差小于11月的方差C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10 1月的平均值．从该关键词的搜索指数来看，D2017年12月的平均值大于2018年由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，D解析：选；BA排除；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除2017月的波动较小，所以由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月该关键词的搜索指月的方差，排除10月的方差大于11C；由统计图可知，2017年12年10 ，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000数大多高于D.10 000，故选000，该月平均值小于．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，5)的等边三角形，则该几何体的体积等于(侧视图是边长为223 B A.333C.．2由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱解析：选D是边长分别ABCD3，底面锥P＝-ABCD，如图，该四棱锥的高h1132×＝V所以该四棱锥的体积＝S×h×3为2，的矩形，ABCD四边形33D.2.故选×3＝)S＝1，则输出的＝(b1a6．在如图所示的程序框图中，如果输入＝，20．B 7．A．54D．C．22，2＝3；k＝，0，k＝0，k≤4，S＝2a＝2，b，解析：选B执行程序，a＝1，b＝1S＝，退出46，不满足k≤≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝，，k≤4S＝7，a＝5，b＝8；k＝4k20.＝循环．则输出的S22，°若∠ACB：x＝＋(y－3)120＝6相交于A，Bl7．已知直线：y两点，＝3x＋m与圆C)的值为(则实数m6 2－263或＋6或33－6 B．3＋A．23D．8或－C．9或－，CD，半径为6，取AB的中点为D解析：选A由题知圆C的圆心为C(0,3)，连接6，由点到直线的距离公＝60°，所以|CDAB，在△ACD中，|AC||＝6，∠ACD＝则CD⊥2||－3＋m66. ＝3±，解得m＝式得221＋3??8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为()ππ???Z k∈kπ＋，πk＋≤x＜x A.???26??ππ???Z k∈x＜kπ＋，kπ＋≤x B.???24??ππ???Z∈kπ＋，kxkπ＋≤＜xC.???23??ππ???Zπ＋，k∈≤kπ－x≤kx D.???44??解析：选B由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tan x的图象没有公ππ??1?Z k∈，x＜kπ＋kπ＋≤. 1，即tan x≥，其解集是x≥共点时，a＝，所以tan x2a???242??11＋，则b＝log a＝项和，若a＝2且S2S，设为数列9．已知S{a}的前nnnn11nnn2＋bbbb32211)＋…＋的值是(bb2 0182 0174 0354 033A.B. 2 0182 0172 0172016C.D.2 0182 017解析：选B由S＝2S可知，数列{S}是首项为S＝a＝2，公比为2的等比数列，1nn1n1＋n.2S＝所以nnn1n1－－，S－＝a2n当≥时，S2＝2－2＝1nnn－，11，n＝??＝b＝loga所以?n2n2.1，n≥n－??1111 ，当n≥2时，＝＝－n1nnbb－?n－1?1nn＋111 ＋＋＋…所以bbbbbb2 0182322 017111111 －＋…＋＝1＋1－＋－ 2 0172 0162234 0331.＝＝2－ 2 0172 0172，x＜1－4x＋a，x??的取值范则实数a(x)＝2有两个解，若方程10．已知函数f(x)＝f?，≥1ln x＋1，x??)(围是2] ．(－∞，(－∞，2) BA．5]．C．(－∞，5)(－∞，D有两个解知，＝2由方程f(x)＋时，由ln x1＝2，得x＝e.解析：选C法一：当x≥1222)(x－6，则2＝(x－2)g＋(x＋a＝2有唯一解．令gx)＝xa－4x＋a－当x＜1时，方程x4－有唯一解，x)＝01)上单调递减，所以当x＜1时，g(，在(－∞C.，故选，得a＜5则g(1)＜0的图象上下平移，作出函数1))(x＜f随着a的变化引起y＝(x法二：f(x)＝2有两个解，则y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使<5.a－3<2，得a22yx交于l与椭圆Eb>0)的左焦点，经过原点O的直线a11．已知F是椭圆＝1(2 ba)，则椭圆E的离心率为(°＝2|Q F|，且∠PF Q＝120，P Q两点，若|PF|11 B.A. 2323 D.C.23解析：选C设F是椭圆E的右焦点，如图，连接PF，Q F.根111据对称性，线段FF与线段P Q在点O处互相平分，所以四边形PF Q F11是平行四边形，|F Q|＝|PF|，∠FPF＝180°－∠PF Q＝60°，根据椭圆11的定义得|PF|＋|PF|＝2a，又|PF|＝2|Q F|，124所以|PF|＝a，|PF|＝a，而|FF|＝2c，在△FPF中，11133．242c412????222aa 由余弦定理，得(2c)＝，，化简得＋＝－2×a×a×cos 60°2????333a33c3.＝＝所以椭圆E的离心率e a3x e的取k)的唯一极值点，则实数x＝2是函数f(xln 12．已知函数f(x)＝＋2kx－kx，若2x)(值范围是2ee????－∞，－∞，B.A. ????24)D．[2C．(0,2] ，＋∞2xx?ex?x－2?k?2－??x－2??ekx－，选解析：A f′(x)＝＋＝(x＞0)33xxx2x．x＞或e0)＝kx(＝令f′(x)＝0，得x22x2x 0)≤kx恒成立，(的唯一极值点知ex ≥kx0)(x＞恒成立或e＞＝由x2是函数f(x)2xx2 (x＞e(x＞0)的图象可知，只能是恒成立．≥kx0)e 由y＝＝(x＞0)和ykx x e2x.≤＞当x0时，由e≥kx，得k2x x e.g)(xg(x)＝，则k≤设2min x x?2xe－?)(x＜x＜2时，g′0时，g′(x)＞，g(x)单调递增，当02′由g(x)＝，得当x＞3x )单调递减，＜0，g(x22ee.≤＝g(2)＝，所以k所以g(x)min44)分4小题，每小题5分，共20二、填空题(本大题共________. ＝，则|bb，|2a＋||＝22a，13．已知向量ab满足a⊥b，||＝1 ，＝22＋解析：法一：因为|2ab|228. ＋b＝4a·＋4ab所以0.＝a·b因为a⊥b，所以22. |＝＝8，所以|b4＝1，所以×1＋4×0＋b|又|a→→――→―ba＋，＝，OB b，OC＝22法二：如图，作出OA＝a，＝22＋1|，因为a|＝，|2ab|OBOA ba因为⊥，所以⊥→――→，22＝|OC|，2＝|OA|所以．→―2.＝＝|b|所以|OB|轴的正方向y的方向分别为x轴，⊥法三：因为ab，所以以O为坐标原点，以a，b，b＝(2(0，y)(y＞0)，则2a＋＝)建立平面直角坐标系(图略，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b22.b|y4＋＝＝8，解得y＝2，所以y)，因为|2a＋b|＝|22，所以2答案：，≥0x＋3???，0－xy＋4≥________．则14．已知变量x，y满足约束条件z＝x＋3y的最大值为??，2x＋y－4≤0作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作解析：时，目标4)＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，出直线x12.＝函数z＝x＋3y取得最大值，且z max12答案：a1，且，若cos C＝，c＝3ABC15．在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c A4cosb ＝，则△ABC的面积等于________．BcosBAsin absin ，即＝BB，所以A，即解析：由＝及正弦定理，得＝tan A＝tanBAcos cos Acos Bcos1222＝，又＝Ccsin ，得a＝bC＝＝a＝b.由cos C且c＝3，结合余弦定理a＋b6－2abcos 41515132. ＝sin CS，所以△ABC的面积1－cos＝Cab＝424153 答案：4AB分别为PA，，AB＝4，CD ⊥16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PAPB，所在分成两部分，把点P将△内经过点G 的直线lPAB为的中点，GCD的中点．平面α恰好HP′在平面α内的射影平面P′(P′?α)．若点P的部分沿直线l翻折，使点到达点的长度的取值范围是________．H在翻折前的线段AB 上，则线段P′，4⊥PB，AB＝PAB解析：在等腰三角形中，∵PA2.2＝PA＝PB∴AB的中点，PAC∵，D分别为，.CD⊥PC且2＝CD＝PC∴．G，连接PG，P′10. ＝CD的中点，∴PG＝P′G∵G为2 恰好在翻折前的线段AB上，P′在平面α内的射影H连接HG，∵点10. ＝，∴HG＜P′G⊥∴P′H⊥平面α，∴P′HHG21 易知点G到线段AB的距离为，21011.HG≥，∴≤HG＜∴222??1022，又P′H－＝HG??23∴0＜P′H≤.23??，0答案：??2“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)2＋i的共轭复数对应的点在复平面内位于(＝) 1．复数z1－i B．第二象限A．第一象限C ．第三象限D．第四象限3ii?＋12＋i?2＋i??1＋131解析：选D＝＋zi，则复数的共轭复数为z＝－复数z＝＝＝2222???1i＋i1－i?1－133??，－的共轭复数对应的点的坐标是z i，所以复数，该点位于第四象限．??2222??|2{}x－＝1y|y1≥x，则＝M∩N＝(2．已知集合M＝)，N??x??A．(－∞，2] B．(0,1]DC．[0,1]．(0,2]2x－2 0，≥解析：选B由1得≤xx 2，则M；x≤2}＝{x|0<≤解得0<x2，(－∞，1]1函数y＝－x的值域是则N＝{y|y≤1}，因此M∩N＝{x|0<x≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a}的前n项和为S，且a＋a＋a＝24，则S)(＝131272nn78 ．A．52 B208．DC．104?a13?a＋131＝＝24，a＝8，Sa＝13＝104，选C. 解析：选C依题意得3a137772 )＝＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x是定义在4．已知f(x)R上的偶函数，且满足f(x＋4)x) f(4)等于2－(，则f(1)＋33 B ．－ A.221D．C．－14的周期函数，x)是周期为f(x＋4)＝f(x)知f(解析：选B由，(－1)f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f R又f(x)是定义在上的偶函数，故3111－.f(4)2＝－＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋，所以又－1∈[－2,0]f(－1)＝－222→―→―) ，D(3,4)，则向量CD在AB方向上的投影是((5．已知点A－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)2323 ．－A.B2253 C．35D．－→――→―→―→―→，AB|＝(2,1)·(5,5)＝15，|5＝解析：选C依题意得，AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD→――→CD·AB15→――→5. ＝方向上的投影是＝3因此向量CD在AB →―5|AB|6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)63016378591695556719981050?第8行?717512867358074439523879? 33211234297864560782524207?第9行?443815510013429966027954?B．25 A．07C．42 D．52解析：选D依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.x2≤y满足)y，x(的坐标P则点，P内随机投入一点2}≤y≤1,1≤x≤)|0y，x{(在平面区域．7．)的概率为(23 B.A. 3411 D. C. 42作出不等式表示的平面区域如图所示，D解析：选111××221.＝＝x)故所求概率P(y≤241×1，则其外接球的表面438．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，，2)(积为32πA．48πB．12π20 πD．C．可将题中的三棱锥补形成一R，解析：选B依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为12222.＝＋432＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4π个长方体，则R＝2R＋?23?π222xy的，PBA，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，9．已知点P22ab1) 斜率之积为，则双曲线的离心率为(31523 A. B.3310 ．2D.C2，)，y(Ax，y)，P(x解析：选A根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设211?11，1－＝22ba2222222 y－x x－y yy－b?221121，两式相减得＝，即＝－(则B 222x y－x，y)，所以22222 1122baa －x x yx2122?，－1＝22ba222yy－y－yy－－yb1121 2 2 1 1，＝＝·，PB的斜率之积为，所以k·k＝＝因为直线PA222PBPA33a x－x x－x－xx－21 2 1 1 22b312. ＋所以双曲线的离心率为e ＝＝＋1＝123a3ππ??|<|φ)x＋φsin(2个单位长度后的图象关于原点对的图象向左平移10．将函数f(x)＝??26π??，0在)x) 称，则函数f(上的最小值为(??213 A.B. 2231C．－．－ D 22．ππ??????φ＋x＋2x＋2是奇函数，则解析：选D依题意得，函数＋φy＝sin＝sin ??????63ππππππ??????，02x－φ＋sin.当|<＝0，又|φ，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sinx∈时，??????233332πππππ2π??3????????，2x－0－，2x－∈x 上－)＝sin在∈2(，所以fx＝，所以f(x)sin1－，??????????33233323. 的最小值为－2．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正11) (方形，则其俯视图中椭圆的离心率为21. B.A4232 D. C. 22，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a选C 依题意得，解析：2、2aa因此其俯视图中椭圆的长轴长为、母线长为a则斜边长为2a，，圆锥的底面半径为2a2??2. ＝1－a，其离心率e＝短轴长为??2a23) x)]＝1的实根的个数是((x)＝xf－3x，则方程f[(12．已知函数f7 B．A．93D．5C．，＋1)(x－1)fA依题意得′(x)＝3(x解析：选；′(x)>0x当<－1或x>1时，f)<0.f′(xx当－1<<1时，－1,1)上单调递减，且f((1，＋∞)上单调递增，在(－∞所以函数f(x)在区间(－，－1)，0.(0)＝f，f(±3)＝＝1)f(1)(2)＝2，f＝－2，结合图象可知，它们)图略x)的图象(与函数在平面直角坐标系内画出直线y＝1y＝f( 共有三个不同的交点，x，x，x记这三个交点的横坐标由小到大依次为，312则－3<x<－1<x<0，3<x<2.321再画出直线y＝x，y＝x，y＝x，结合图象可知，直线y＝x，y＝x，y＝xy与函数321321．，且这些交点的横坐标各不相同，x)的图象的交点个数均为3＝f(9.)]x＝1的实根个数是所以方程f[f()5分，共20分二、填空题(本大题共4小题，每小题x________. (log9)2R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝＝，则f．已知13f(x)是定义在4xx－是定义)，故f(－x＝2)，又因为f(x解析：因为当x<0时，f()＝2x，令x>0，则－x<0x－3)3>09＝log，所以f(log9)＝f>0在R上的奇函数，所以当x时，f(x)＝－2(log，又因为log244211.＝－＝－2－log3＝－2log22331 答案：－3ππ????α－0，∈α，则sin 2α＝，cos________. 14．若＝α22cos 2????422 )，sin α)·(cos α＋解析：sin 由已知得)(cos α＋sin αα＝22(cos α－21 ，0或cos α－sin α＝所以cos α＋sin α＝ 4 tan ＝0得α＝－1，由cos α＋sin απ??，0∈因为α0不满足条件；α，所以cos α＋sin ＝??21 α＝，－sin α由cos 4151. ＝sin 2α两边平方得1－sin 2α＝，所以161615 答案：162为半径的FA|F15．已知点A是抛物线y＝2px(p>0)上一点，为其焦点，以F为圆心，|128，则抛物线的方程为ABC圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△的面积为 3________．p2到准线的距则由抛物线的定义知点|，＝A解析：如图，可得|BF3pp22p21281128，8×＝，解得p＝离也为又△，ABC的面积为，所以×3323332. 16故抛物线的方程为yx＝2x 16答案：y＝2222＋b－a＋b，a＝＝ab，＋＋ba＝＋中，}{}a．在数列16{和baab1，b11n1nnnnnnnnnnn1＋＋11 ．项和为________{c＝＋，则数列c}的前2 018＝1.设nn ba nn2222a＝＋b2(－a＋b，得a ＋b＋ab＋b，b＝a＋a＝解析：由已知a nnnnn1nnnnnn11nn1＋＋＋＋ba＋1nn1＋＋＋b)，所以＝2，n ba ＋nnn，a＋b＝2{所以数列a＋b}是首项为2，公比为2的等比数列，即nnnn ba1nn1＋＋2222－a＋b相乘，得＋＋b，b＝a＋将a＝abb＋a＝2，nnnn1n1nnnnn＋＋ba nn所以数列{ab}是首项为1，公比为2的等比数列，nn11n1－，因为c＝＋，所以ab＝2nnn ba nnn b＋a2nn所以c＝＝＝2，1nn－ba2nn数列{c}的前2 018项和为2×2 018＝4 036. n答案：4 036。
(课标专用)2020高考数学二轮复习题型练汇编全集
题型练1 选择题、填空题综合练(一)一、能力突破训练1.(2019全国Ⅱ,理1)设集合A={x|x 2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A ∩B=( ) A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞)答案:A解析:由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A ∩B={x|x<1},故选A . 2.若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c<b cB.ab c <ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c答案:C解析:特殊值验证法,取a=3,b=2,c=12. 因为√3>√2,所以A 错;因为3√2=√18>2√3=√12,所以B 错; 因为3log 212=-3<2log 312=-2log 32,所以C 正确; 因为log 312=-log 32>-1=log 212,所以D 错.故选C .3.(2019北京,理4)已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a=2bD.3a=4b答案:B解析:椭圆的离心率e=xx=12,c 2=a 2-b 2,化简得3a 2=4b 2,故选B .4.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当a>0,b>0时,a+b ≥2√xx ,若a+b ≤4,则2√xx ≤a+b ≤4,所以ab ≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab ≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案:A解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.5答案:A解析:令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+π,k∈Z.2∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在该区间上的零点的个数为2,故选A.7.如图,半圆的直径AB 的长为6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ,B 的任意一点.若P 为半径OC 上的动点,则(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A .92 B .9C .-92D .-9答案:C解析:∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.又|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3≥2√|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⇒|PO⃗⃗⃗⃗ |·|PC ⃗⃗⃗⃗ |≤94,∴(PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ ≥-92.故答案为-92.8.函数f (x )=(1-cos x )sin x 在区间[-π,π]上的图象大致为( )答案:C解析:由函数f (x )为奇函数,排除B;当0≤x ≤π时,f (x )≥0,排除A;又f'(x )=-2cos 2x+cos x+1,令f'(0)=0,得cos x=1或cos x=-12,结合x ∈[-π,π],求得f (x )在区间(0,π]上的极大值点为2π3,靠近π,排除D .9.若复数z 满足2z+题型练2 选择题、填空题综合练(二)一、能力突破训练1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( ) A .⌀ B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}答案:C解析:∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.(2019甘肃、青海、宁夏3月联考)如图,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25 B.35C.2√35D.2√55答案:B 解析:由题意知2b=16.4,2a=20.5,则xx =45,则离心率e=√1-(45)2=35.故选B. 3.已知sin θ=x -3x +5,cos θ=4-2x x +5(π2<x <π),则tan x2等于( ) A .x -39-x B .x -3|9-x | C .13 D .5答案:D解析:利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan x2,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约,m 为一确定的值,进而推知tan x 2也为一确定的值,又π2<θ<π,所以π4<x 2<π2,故tan x2>1.4.将函数f (x )=2sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,然后向左平移π6个单位长度,得到函数y=g (x )的图象.若关于x 的方程g (x )=a 在区间[-π4,π4]上有两个不相等的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-2,2) C.[1,2) D.[-1,2)答案:C解析:将函数f (x )=2sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到y=2sin2x 的图象,然后将其向左平移π6个单位长度,得到g (x )=2sin [2(x +π6)]=2sin (2x +π3)的图象. 因为-π4≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6,所以当2x+π3=5π6时,g (x )=2sin5π6=2×12=1;当2x+π3=π2时,g (x )max =2. 因为关于x 的方程g (x )=a 在区间[-π4,π4]上有两个不相等的实根,所以1≤a<2.故实数a 的取值范围是[1,2),故选C .5.已知等差数列{a n }的通项是a n =1-2n ,前n 项和为S n ,则数列{x xx}的前11项和为( )A .-45B .-50C .-55D .-66答案:D解析:由a n =1-2n ,a 1=-1,S n =x (-1+1-2x )2=-n 2,x x x=-n ,所以数列{xxx }的前11项和为11×(-1-11)2=-66.故选D .6.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足x 2f'(x )>1,f (2)=52,则关于x 的不等式f (e x)<3-1e的解集为( ) A.(0,e 2) B.(e 2,+∞)C.(0,ln 2)D.(-∞,ln 2)答案:D解析:构造函数F (x )=f (x )+1x,依题意可知F'(x )=f'(x )-1x 2=x 2x '(x )-1x 2>0,即函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所求不等式可化为F (e x)=f (e x)+1e x <3,而F (2)=f (2)+12=3,所以e x<2,解得x<ln2.故不等式的解集为(-∞,ln2).7.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A .3√34B .2√33C .3√24D .√32答案:A解析:满足题设的平面α可以是与平面A 1BC 1平行的平面,如图①所示.图①再将平面A 1BC 1平移,得到如图②所示的六边形.图②图③设AE=a ,如图③所示,可得截面面积为S=12×[√2(1-a )+√2a+√2a ]2×√32-3×12×(√2a )2×√32=√32(-2a 2+2a+1),所以当a=12时,S max =√32×(-2×14+2×12+1)=3√34.8.已知a>0,a ≠1,函数f (x )=4x x +2x x +1+x cos x (-1≤x ≤1),设函数f (x )的最大值是M ,最小值是N ,则( )A .M+N=8B .M+N=6C .M-N=8D .M-N=6答案:B解析:f (x )=4x x +2x x +1+x cos x=3+x x -1x x +1+x cos x.设g (x )=x x -1x x +1+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇函数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m (m ≥0),则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3+m ,最小值N=3-m ,得M+N=6,故选B .9.已知(1-i)2x=1+i(i 为虚数单位),则复数z= .答案:-1-i 解析:由已知得z=(1-i)21+i=-2i 1+i =-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i 2=-1-i .10.若a ,b ∈R ,ab>0,则x 4+4x 4+1xx的最小值为 .答案:4解析:∵a ,b ∈R ,且ab>0,∴x 4+4x 4+1xx≥4x 2x 2+1xx=4ab+1xx ≥4(当且仅当{x 2=2x 2,4xx =1xx ,即{x 2=√22,x 2=√24时取等号). 11.已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是 . 答案:y=-2x-1 解析:当x>0时,-x<0, 则f (-x )=ln x-3x.因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x )=ln x-3x ,所以f'(x )=1x -3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.12.已知点B (x 0,2)在曲线y=2sin ωx (ω>0)上,T 是y=2sin ωx 的最小正周期.若点A (1,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,且0<x 0<T ,则T= .答案:4解析:由xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,可得x 0=1.∵点B (x 0,2)在曲线y=2sin ωx (ω>0)上, ∴sin ω=1,即ω=π2+2k π,k ∈N .又T>1,即2πx>1,∴2π>π2+2k π,即k<34.∵k ∈N ,∴k=0,∴ω=π2,即T=2πx =4.13.已知直线y=mx 与函数f (x )={2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是 . 答案:(√2,+∞)解析:作出函数f (x )={2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(13)x(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=12x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即关于x的方程mx=12x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即关于x的方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>√2.故所求实数m的取值范围是(√2,+∞).二、思维提升训练14.复数z=2+ii(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-1答案:B解析:∵z=2+ii =(2+i)ii=1-2i,∴复数z的虚部为-2,故选B.15.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:因为a=243=423>425=b,c=2513=523>423=a,所以b<a<c.16.若实数x,y满足|x-1|-ln1x=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()答案:B解析:已知等式可化为y=(1e )|x-1|={(1e)x-1,x≥1,(1e)-(x-1),x<1,根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.17.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)(x>0,|x|<π2)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6π,φ=π6B.T=6π,φ=π3C.T=6,φ=π6D.T=6,φ=π3答案:C解析:由题图可知A=2,T=6,∴ω=π3.∵图象过点(1,2),∴sin(π3×1+x)=1,∴φ+π3=2kπ+π2,k∈Z,又|φ|<π2,∴φ=π6.18.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为()A .2116 B .32 C .2516 D .3答案:A解析:如图,取AB 的中点F ,连接EF.xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2-(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )24=(2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2-xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-14.当EF ⊥CD 时,|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,即xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值.过点A 作AH ⊥EF 于点H.由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°. 因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°. 在Rt △AFH 中,易知AF=12,HF=14, 所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =(54)2−14=2116.19.在△ABC 中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( ) A .√32 B .3√32C .√3+√62 D .√3+√394答案:B解析:设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB ·sin B=3×√32=3√32.20.已知圆(x-1)2+y 2=34的一条切线y=kx 与双曲线C :x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1,√3) B.(1,2) C.(√3,+∞) D.(2,+∞)答案:D 解析:由已知得=√32,解得k 2=3.由{x =xx ,x 2x 2-x 2x 2=1,消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2. 因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2. 所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .21.已知函数f (x )=cos (2x -π2)+xx 2+1+1,则f (x )的最大值与最小值的和为( ) A.0 B.1 C.2 D.4答案:C解析:因为f (x )=cos (2x -π2)+x x 2+1+1=sin2x+xx 2+1+1, 又因为y=sin2x ,y=xx 2+1都是奇函数, 所以设g (x )=f (x )-1=sin2x+xx 2+1,则g (x )为奇函数,即g (x )的图象关于点(0,0)对称,所以f (x )=g (x )+1的图象关于点(0,1)对称.故f (x )的最大值和最小值也关于点(0,1)对称,因此它们的和为2. 故选C.22.设集合A={x|x+2>0},B={x |x =√3-x},则A ∩B= .答案:{x|-2<x<3}解析:由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3}.23.已知将四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有两个空盒的不同放法共有 种. 答案:84解析:先选两个空盒子,再把4个小球分为(2,2),(3,1)两组,故有C 42(C 43A 22+C 42C 22A 22·A 22)=84.24.已知S n是等比数列{a n}的前n项和.若x5x10=13,则x5x20+x10=.答案:118解析:由题意知等比数列{a n}的公比q≠1.因为S n是等比数列{a n}的前n项和,所以S n=x1(1-x x)1-x.因为x5x10=13,所以1-x51-x10=13,整理得1+q5=3,即得q5=2,所以x5x20+x10=1-x51-x20+1-x10=1-21-24+1-22=1 18 .25.设F是双曲线C:x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案:√5解析:不妨设F(c,0)为双曲线的右焦点,虚轴的一个端点为B(0,b).依题意得点P为(-c,2b).因为点P在双曲线上,所以(-x)2x2−(2x)2x2=1,得x2x2=5,即e2=5.因为e>1,所以e=√5.26.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答). 答案:8027.若函数f(x)=kx-cos x在区间(π3,5π6)内单调递增,则k的取值范围是.答案:[-12,+∞)解析:由函数f(x)=kx-cos x, 可得f'(x)=k+sin x.因为函数f(x)=kx-cos x在区间(π3,5π6)内单调递增,则k+sin x≥0在区间(π3,5π6)内恒成立.当x∈(π3,5π6)时,sin x∈(12,1],-sin x∈[-1,-12).由k≥-sin x,可得k≥-12.题型练3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题1.(2019全国Ⅲ,理18)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sin x +x 2=b sin A.(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 解:(1)由题设及正弦定理得sin A sin x +x 2=sin B sin A.因为sin A ≠0,所以sinx +x 2=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin x +x 2=cos x2,故cos x 2=2sin x 2cos x2.因为cos x 2≠0,故sin x 2=12,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a. 由正弦定理得a=x sin x sin x=sin(120°-x )sin x=√32tan x +12.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°, 故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).2.在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求A ;(2)求AC 边上的高.解:(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π),∴sin B=√1-cos 2x =4√37.由正弦定理,得xsin x =xsin x ⇒7sin x =7,∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314.如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵sin C=xxx ,∴h=BC ·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√32.3.(2019吉林第三次调研)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为√3x 2tan x6sin x. (1)求sin B cos C 的值;(2)若6cos B sin C=√3,a=3,求b+c 的最大值. 解:(1)依题意,得12ab sin C=√3x 2tan x6sin x,即3b sin A cos C=√3a ,由正弦定理,得3sin B sin A cos C=√3sin A.∵A ∈(0,π),∴sin A>0, ∴sin B cos C=√33.(2)∵sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,∴sin A=√33+√36=√32. ∵A 为锐角,∴cos A=12,由余弦定理,得9=b 2+c 2-2bc×12,即9+3bc=(b+c )2,∴(b+c )2≤9+3×(x +x 2)2,整理得14(b+c )2≤9,即b+c ≤6,当且仅当b=c=3时取等号. 故b+c 的最大值为6.4.已知函数f (x )=4tan x sin (π2-x )cos (x -π3)−√3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性.解:(1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2+x π,x ∈Z }.f (x )=4tan x cos x cos (x -π3)−√3 =4sin x cos (x -π3)−√3 =4sin x (12cos x +√32sin x )−√3=2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin2x+√3(1-cos2x )-√3 =sin2x-√3cos2x=2sin (2x -π3),所以,f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是[-π2+2x π,π2+2x π],k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z .设A=[-π4,π4],B={x |-π12+x π≤x ≤5π12+x π,x ∈Z },易知A ∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f (x )在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减. 5.已知函数f (x )=√3a cos2xx2+12a sin ωx -√32a (ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B ,C 为图象与x 轴的两个相邻交点,且△ABC 是边长为4的正三角形.(1)求ω与a 的值; (2)若f (x 0)=8√35,且x 0∈(-103,23),求f (x 0+1)的值.解:(1)由已知可得f (x )=a (√32cos xx +12sin xx )=a sin (xx +π3).∵BC=x2=4, ∴T=8,∴ω=2π8=π4.由题图可知,正三角形ABC 的高即为函数f (x )的最大值a , 得a=√32BC=2√3.(2)由(1)知f (x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35,即sin (π4x 0+π3)=45.∵x 0∈(-103,23),∴π4x 0+π3∈(-π2,π2), ∴cos (π4x 0+π3)=√1-(45)2=35, ∴f (x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3sinπ4x 0+π3cos π4+cos π4x 0+π3sin π4=2√3×(45×√22+35×√22)=7√65.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m =(√22,-√22),n =(sin x ,cos x ),x ∈(0,π2).(1)若m ⊥n ,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值.解:(1)∵m =(√22,-√22),n =(sin x ,cos x ),且m ⊥n ,∴m ·n =(√22,-√22)·(sin x ,cos x ) =√22sin x-√22cos x=sin (x -π4)=0.又x ∈(0,π2),∴x-π4∈(-π4,π4).∴x-π4=0,即x=π4. ∴tan x=tan π4=1.(2)由(1)和已知,得cos π3=x ·x|x |·|x |=sin (x -π4)√(√22)+(-√22)·√sin 2x +cos 2x=sin (x -π4)=12.又x-π4∈(-π4,π4), ∴x-π4=π6,即x=5π12.题型练4 大题专项(二) 数列的通项、求和问题1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=3,S 4=16,数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =n. (1)求{b n }的通项公式; (2)求数列{x x +1x x}的前n 项和T n .解:(1)设首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n , 且a 2=3,S 4=16, 所以{x 1+x =3,4x 1+4×32x =16,解得a 1=1,d=2,所以a n =1+2(n-1)=2n-1. 因为a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =n ,所以1·b 1+3·b 2+…+(2n-1)b n =n ,①所以当n ≥2时,1·b 1+3·b 2+…+(2n-3)b n-1=n-1,②①-②得,(2n-1)b n =1,所以b n =12x -1,当n=1时,b 1=1(首项符合通项), 故b n =12x -1. (2)因为b n =12x -1,所以x x +1xx=12x +12x -1=1(2x -1)(2x +1)=12(12x -1-12x +1), 所以T n =121-13+13−15+…+12x -1−12x +1=12(1-12x +1)=x2x +1.2.已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2x x 2,n ∈N *. (1)证明:数列{1+log 2a n }为等比数列; (2)设b n =x 1+log 2x x,求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明由a n+1=2x x 2,两边取以2为底的对数,得log 2a n+1=1+2log 2a n ,则log 2a n+1+1=2(log 2a n +1),所以{1+log 2a n }为等比数列,首项为2,公比为2,且log 2a n +1=(log 2a 1+1)×2n-1=2n.(2)解由(1)得b n =x2x .因为S n 为数列{b n }的前n 项和,所以S n =12+222+…+x2x ,则12S n =122+223+…+x2x +1.两式相减得12S n =12+122+…+12x −x 2x +1=1-12x −x 2x +1,所以S n =2-x +22x .3.已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式.解:(1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8. 由a 3+a 5=20,得8(x +1x )=20,解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n , 由c n ={x 1,x =1,x x -x x -1,x ≥2,解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1, 所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)x -1.故b n -b n-1=(4n-5)·(12)x -2,n ≥2,b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·(12)x -2+(4n-9)·(12)x -3+…+7·12+3.设T n =3+7·12+11·(12)2+…+(4n-5)·(12)x -2,n ≥2,12T n =3·12+7·(12)2+…+(4n-9)·(12)x -2+(4n-5)·(12)x -1, 所以12T n =3+4·12+4·(12)2+…+4·(12)x -2-(4n-5)·(12)x -1,因此T n =14-(4n+3)·(12)x -2,n ≥2,又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)x -2.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q 的等比数列{b n }的首项是12,且a 1+2q=3,a 2+4b 2=6,S 5=40.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ; (2)求数列{1xx x x +1+1xx x x +1}的前n 项和T n .解:(1)设{a n }公差为d ,由题意得{x 1+2x =8,x 1+2x =3,x 1+x +2x =6,解得{x 1=2,x =3,x =12,故a n =3n-1,b n =(12)x.(2)∵1x x x x +1+1x x x x +1=13(1x x-1xx +1)+1xx x x +1=13(1x x-1xx +1)+22n+1,∴T n =13[(12-15)+15−18+…+13x -1−13x +2)]+8(1-4x )1-4=1312−13x +2+13(22n+3-8)=1322n+3-13x +2-52.5.已知数列{a n }的各项均不为零.设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{x x 2}的前n 项和为T n ,且3x x 2-4S n +T n =0,n ∈N *. (1)求a 1,a 2的值;(2)证明:数列{a n }是等比数列;(3)若(λ-na n )(λ-na n+1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值.(1)解3x x 2-4S n +T n =0,n ∈N *,令n=1,得3x 12-4a 1+x 12=0,因为a 1≠0,所以a 1=1.令n=2,得3(1+a 2)2-4(1+a 2)+(1+x 22)=0,即2x 22+a 2=0,因为a 2≠0,所以a 2=-12.(2)证明因为3x x 2-4S n +T n =0,① 所以3x x +12-4S n+1+T n+1=0,②②-①得,3(S n+1+S n )a n+1-4a n+1+x x +12=0.因为a n+1≠0,所以3(S n+1+S n )-4+a n+1=0,③ 所以3(S n +S n-1)-4+a n =0(n ≥2),④ 当n ≥2时,③-④,得3(a n+1+a n )+a n+1-a n =0, 即a n+1=-12a n .因为a n ≠0,所以x x +1x x=-12. 又由(1)知,a 1=1,a 2=-12,所以x 2x 1=-12, 所以数列{a n }是以1为首项,-12为公比的等比数列. (3)解由(2)知,a n =(-12)x -1.因为对任意的n ∈N *,(λ-na n )(λ-na n+1)<0恒成立,所以λ的值介于n (-12)x -1和n (-12)x之间.因为n (-12)x -1·n (-12)x<0对任意的n ∈N *恒成立,所以λ=0适合.若λ>0,当n 为奇数时,n (-12)x<λ<n (-12)x -1恒成立,从而有λ<x2x -1恒成立.记p (n )=x 22x (n ≥4),因为p (n+1)-p (n )=(x +1)22x +1−x 22x =-x 2+2x +12x +1<0,所以p (n )≤p (4)=1,即x 22x ≤1,所以x2x ≤1x ,(*) 从而当n ≥5,且n ≥2x时,有λ≥2x≥x 2x -1,所以λ>0不符合题意.若λ<0,当n 为奇数时,n (-12)x<λ<n (-12)x -1恒成立,从而有-λ<x2x 恒成立.由(*)式知,当n ≥5,且n ≥-1x 时,有-λ≥1x ≥x2x , 所以λ<0不符合题意. 综上,实数λ的所有值为0.6.已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x2-x 2x x2=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4x -3x 3x -1.(1)解由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1, 两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2, 即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)证明由(1)可知,a n =q n-1. 所以双曲线x2-x 2x x2=1的离心率e n =√1+x x 2=√1+x2(x -1).由e 2=√1+x 2=53,解得q=43.因为1+q2(k-1)>q 2(k-1),所以√1+x 2(x -1)>q k-1(k ∈N *).于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=x x -1x -1, 故e 1+e 2+…+e n >4x -3x 3x -1.题型练5 大题专项(三) 统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手两名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有两名种子选手,且这两名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解:(1)由已知,有P (A )=C 22C 32+C 32C 32C 84=635.所以,事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X=k )=C 5x C 34-xC 84(k=1,2,3,4).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=1×114+2×37+3×37+4×114=52. 2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk={0,第x类电影没有得到人们喜欢, 1,第x类电影得到人们喜欢,则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影:ξ1 1 0P0.4 0.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;第二类电影:ξ2 1 0P0.2 0.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ3 1 0P0.15 0.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四类电影:ξ4 1 0P0.25 0.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五类电影:ξ5 1 0P0.2 0.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ6 1 0P0.1 0.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.2018年在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在[25,85]之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如下:(1)求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(60<X<73.4);②央视媒体平台从年龄在[45,55]和[65,75]的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.附:√180≈13.4,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P (μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5.解:(1)这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x =30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,s 2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.(2)①由(1)知,X~N (60,180),从而P (60<X<73.4)=12P (60-13.4<X<60+13.4)≈0.34135.②根据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在[45,55]内有3人,在[65,75]内有4人.故Y 可能的取值为0,1,2,3.P (Y=0)=C 30C 43C 73=435,P (Y=1)=C 31C 42C 73=1835,P (Y=2)=C 32C 41C 37=1235,P (Y=3)=C 33C 4C 73=135.所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为E (Y )=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97.4.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望; ②设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X=k )=C 4x ·C 33-xC 73(k=0,1,2,3).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.②设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B+C ,且B 与C 互斥.由①知,P (B )=P (X=2),P (C )=P (X=1),故P (A )=P (B+C )=P (X=2)+P (X=1)=67.所以,事件A 发生的概率为67.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解:(1)X 可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,得P (X=10)=C 31×(12)1×(1-12)2=38, P (X=20)=C 32×(12)2×(1-12)1=38, P (X=100)=C 33×(12)3×(1-12)0=18, P (X=-200)=C 30×(12)0×(1-12)3=18.所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i=1,2,3), 则P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P (A 1A 2A 3)=1-(18)3=1-1512=511512. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为E (X )=10×38+20×38+100×18-200×18=-54. 这表明,获得分数X 的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.在某个春晚分会场,演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服,在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜,再把石墨烯发热膜铺到衣服内.(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择,研究人员对附着在A 材料上再结晶做了30次试验,成功28次;对附着在B 材料上再结晶做了30次试验,成功20次.用2×2列联表判断:能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关?(2)研究人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有四个环节:①透明基底及UV 胶层;②石墨烯层;③银浆线路;④表面封装层.前三个环节每个环节生产合格的概率均为12,每个环节不合格需要修复的费用均为200元;第四环节生产合格的概率为23,此环节不合格需要修复的费用为100元,问:一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用? 附:K2=x (xx -xx )2(x +x )(x +x )(x +x )(x +x ),其中n=a+b+c+d.解:(1)列表合 计 3030 60K 2的观测值k=60×(28×10-2×20)230×30×48×12≈6.7<7.879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下,不能认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关.(2)设X 为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用,则X 的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700.∵P (X=0)=(12)3×23=112, P (X=100)=(12)3×13=124,P (X=200)=C 31(1-12)×(12)2×23=14,P (X=300)=C 31(1-12)×(12)2×13=18,P (X=400)=C 32(1-12)2×12×23=14, P (X=500)=C 32(1-12)2×12×13=18, P (X=600)=(1-12)3×23=112, P (X=700)=(1-12)3×13=124,∴E (X )=0×112+100×124+200×14+300×18+400×14+500×18+600×112+700×124=33313.题型练6 大题专项(四) 立体几何综合问题1.如图,矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G 为BE 的中点.(1)求证:AG ⊥平面ADF ;(2)若AB=√3BC ,求二面角D-CA-G 的余弦值.(1)证明∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直,∴AD ⊥AB.∵矩形ABCD ∩菱形ABEF=AB , ∴AD ⊥平面ABEF.∵AG ⊂平面ABEF ,∴AD ⊥AG.∵菱形ABEF 中,∠ABE=60°,G 为BE 的中点, ∴AG ⊥BE ,即AG ⊥AF. ∵AD ∩AF=A ,∴AG ⊥平面ADF.(2)解由(1)可知AD ,AF ,AG 两两垂直,以A 为原点,AG 所在直线为x 轴,AF 所在直线为y 轴,AD 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系, 设AB=√3BC=√3,则BC=1,AG=32,故A (0,0,0),C 32,-√32,1,D (0,0,1),G (32,0,0), 则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,-√32,1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,0),设平面ACD 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1), 则{x 1·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x 1-√32x 1+x 1=0,x 1·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1=0,取y 1=√3,得n 1=(1,√3,0),设平面ACG 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2), 则{x 2·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x 2-√32x 2+x 2=0,x 2·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x 2=0,取y 2=2,得n 2=(0,2,√3).设二面角D-CA-G 的平面角为θ,则cos θ=x 1·x 2|x 1||x 2|=√3=√217, 易知θ为钝角,∴二面角D-CA-G 的余弦值为-√217. 2.如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点.(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值; (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.解:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以{xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA 1=2,所以A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),A 1(0,-1,2),B 1(√3,0,2),C 1(0,1,2). (1)因为P 为A 1B 1的中点, 所以P (√32,-12,2), 从而xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,-12,2),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2), 故|cos <xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=3√1020.因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为3√1020.(2)因为Q 为BC 的中点,所以Q (√32,12,0),因此xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量,则{xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,即{√32x +32x =0,2x +2x =0.不妨取n =(√3,-1,1).设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,则sin θ=|cos <xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x ||xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||x |=√5×2=√55,.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为√553.在四棱锥P-ABCD中,BC=BD=DC=2√3,AD=AB=PD=PB=2.(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD.(2)当平面PBD⊥平面ABCD时,求二面角C-PD-B的余弦值.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM.由已知得,△BCD为等边三角形,BM⊥CD.∵AD=AB=2,BD=2√3,∴∠ADB=∠ABD=30°,∴∠ADC=90°,∴BM∥AD.又BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD.∵EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.∵BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解连接AC,交BD于点O,连接PO,由对称性知,O为BD的中点,且AC⊥BD,PO⊥BD.∵平面PBD ⊥平面ABCD ,PO ⊥BD , ∴PO ⊥平面ABCD ,PO=AO=1,CO=3.以O 为坐标原点,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 则D (0,-√3,0),C (3,0,0),P (0,0,1). 易知平面PBD 的一个法向量为n 1=(1,0,0). 设平面PCD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ), 则n 2⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 2·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,x 2·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1), ∴{3x +√3x =0,√3x +x =0.令y=√3,得x=-1,z=-3,∴n 2=(-1,√3,-3),∴cos <n 1,n 2>=x 1·x 2|x 1||x 2|=√13=-√1313.设二面角C-PD-B 的大小为θ, 则cos θ=√1313.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A 1B 1C 1D 1是一个长方体,P-ABCD 是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P ∈平面CC 1D 1D ,且PD=PC=√2.(1)证明:PD ⊥平面PBC ;(2)求PA 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)当AA 1的长为何值时,PC ∥平面AB 1D ?。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版(跟踪检测)：解答题分类特训解答题分类特训1含答案
＝ sin 2ωx＋ (2cos2ωx－1)
＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx
＝sin (ω＞0)、
由它的最小正周期为 ＝π、得ω＝1、
所以f(x)＝sin 、
由2kπ－ ≤2x＋ ≤ ＋2kπ、k∈Z、得kπ－ ≤x≤kπ＋ 、k∈Z.
所以1＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc、
所以bc≤1、当且仅当b＝c时、等号成立．
所以△ABC的面积S△ABC＝ bcsinA≤ 、
故△ABC面积的最大值为 .
4．(20xx·四川绵阳模拟)在△ABC中、a、b、c分别为内角A、B、C的对边、且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．
3．(20xx·山东德州联考)已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋ cos2ωx－ (ω＞0)的最小正周期为π、将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度、再向下平移 个单位长度、得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中、内角A、B、C的对边分别为a、b、c、若g ＝0、a＝1、求△ABC面积的最大值．
2．已知在△ABC中、内角A、B、C所对的边分别为a、b、c、且2acosC－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝ 、角B的平分线BD＝ 、求a.
解析(1)因为2acosC－c＝2b、所以2sinAcosC－sinC＝2sinB＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC、
所以－sinC＝2cosAsinC、
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1、试判断△ABC的形状．
解析(1)由已知、结合正弦定理、得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c、即a2＝b2＋c2＋bc.
(通用版)2020高考数学二轮复习单科标准练3理
单科标准练(三)(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数b ＋i2＋i为纯虚数，则实数b 等于( )A ．3B ．－12C.13D ．－1B [∵b ＋i 2＋i ＝(b ＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2b ＋15＋2－b 5i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋1＝02－b ≠0，即b ＝－12.故选B.]2．已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝l n (1－x 2)}，B ＝{y |y ＝4x －2}，则A ∩(R B )＝( )A ．(－1,0)B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(－1,0]D [∵A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{y |y ＞0}，∴R B ＝{y |y ≤0}，∴A ∩(R B )＝(－1,0]，故选D.]3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知f (x )＝2 019x2 018＋2 018x2 017＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是f (x )的值，在M 处应填的执行语句是( )A ．n ＝iB ．n ＝2 019－iC ．n ＝i ＋1D ．n ＝2 018－iB [由题意，n 的值为多项式的系数，由2 019,2 018,2 017，直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n ＝2 019－i .故选B.]4.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点，则落在曲线C 下方(曲线C 为正态分布N (1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683,0.954,0.997.A ．4 985B ．8 185C ．9 970D ．24 555B [由题意P (0＜X ＜3)＝0.683＋12(0.954－0.683)＝0.818 5，∴落在曲线C 下方的点的个数的估计值为30 000×0.818 5×13＝8 185.]5．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1，且y ＝f (x )的图象平移m 个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则|m |的最小值为( )A.π3B.π6C.π12D.5π12C [∵函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，y ＝f (x )的图象平移m 个单位后所得的图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6±2m ，关于坐标原点对称，则－π6±2m ＝k π，k ∈Z ，令k ＝0，得|m |的最小值为π12，故选C.]6．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是( ) A ．k ＞12或k ≤－5B ．－5≤k ＜12C ．－5≤k ≤12D ．k ≥12或k ≤－5A [由变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －6＝0，解得A (2,4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内动点与定点D (3，－1)连线的斜率． ∵k DA ＝4＋12－3＝－5，x －2y ＋4＝0的斜率为12，∴k ＝y ＋1x －3的取值范围是k ＞12或k ≤－5.故选A.] 7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，若BD →＝23BC →，则AD →·BD →＝( )A.229 B ．－229C.169D ．－89A [由题意，如图所示：则BD →＝23BC →＝23(AC →－AB →)＝－23AB →＋23AC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →－23AB →＋23AC →＝13AB →＋23AC →.∴AD →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23AB →＋23AC →＝－29|AB →|2＋49|AC →|2－29AB →·AC →＝－29×4＋49×9－29|AB →||AC →|cos∠BAC＝－89＋4－29×2×3cos π3＝229.故选A.]8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为( )A.455π2B.1355π2C ．1805πD ．905πA [根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示. 其中AC ＝AB ＝32，BC ＝6，∴AC ⊥AB .三棱锥P ABC 的外接球即为以AB 、AC 、AP 为共顶点的长方体的外接球，则该外接球的直径为(2R )2＝AB 2＋AC 2＋AP 2＝18＋18＋9＝45，∴R ＝352，∴外接球的体积为V ＝4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫3523＝455π2.故选A.]9．设函数f (x )＝a cos x sin x ＋x －(a －1)x 2，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝3xC ．y ＝2xD ．y ＝2x 或y ＝－2xC [函数f (x )＝a cos x sin x ＋x －(a －1)x 2，若f (x )为奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，则－a cos x sin x －x －(a －1)x 2＝－a cos x sin x －x ＋(a －1)x 2，即为(a －1)x 2＝0恒成立，故a ＝1，即f (x )＝sin x cos x ＋x ，∴f ′(x )＝cos 2x －sin 2x ＋1，可得f (x )在x ＝0处的斜率为k ＝2，则f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝2x .故选C.]10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，以A 为圆心，OA (O 为坐标原点)为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥PA ，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为( )A ．1＋ 5B ．1＋ 3 C. 5D. 3A[由题意，圆心A(a,0)，所以|PA|＝a，|AF2|＝c－a，∵PF2⊥PA，∴|PF2|＝(c－a)2－a2＝c2－2ac.∵|PF1|＝2|PF2|，∴由双曲线的性质得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a，∴c2－2ac＝2a，即c2－2ac＝4a2，即e2－2e＋1＝5，解得e＝1＋5(e＝1－5舍去)，故选A.]11．在△ABC中，已知AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABC 沿BD折叠，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是( )A．(0,23) B．(3，6)C．(6，23) D．(23，26)C[将△ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，且点A在底面BCD的射影M在线段BC上，如图2, AM⊥平面BCD，则AM⊥BD，过M作MN⊥BD，连接AN，则AN⊥BD，因此，折叠前在图1中，AM⊥BD，垂足为N.在图1中，过A作AM1⊥BC于M1，运动点D，当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近；在图2中，由于AB是Rt△ABM的斜边，BM是直角边，∴BM＜AB.图1 图2由此可得：BM1＜BM＜AB，∵△ABC中，AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，由余弦定理可得AC＝23，∴BM1＝(23)2－(6)2＝6，∴6＜BM＜23，由BM＝x可得x的取值范围为(6，23)．故选C. ]12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0)，则S△AOB＝( ) A．2 2 B. 3C. 6 D．3 6A[如图所示，F(1,0)．设直线l的方程为：y＝k(x－1)，(k≠0)，则线段AB 的垂直平分线的方程为：y ＝－1k(x －5)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，整理得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点E (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 0＝12(y 1＋y 2)＝2k ，x 0＝y 0k ＋1＝2k2＋1，把E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1，2k 代入线段AB 的垂直平分线的方程：y ＝－1k(x －5)．可得：2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－5，解得k 2＝1.S △OAB ＝12×1×|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1216k2＋16＝2 2.故选A. ]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝________.72 [设样本中A 型号车为x 辆，则B 型号为(x ＋8)辆，则xx ＋8＝23，解得x ＝16，即A 型号车16辆，则22＋3＋4＝16n，解得n ＝72.]14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝________. 45 [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435， 可得cos αcos π3＋sin αsin π3＋cos α＝435，即32cos α＋32sin α＝435，可得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435， 即cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.] 15．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式中x 5的系数为3，则⎠⎛0a x d x ＝________.23 [二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式中x 5的系数为C 16·a 5·36＝3，∴a ＝1， ∴⎠⎛0a x d x ＝⎠⎛01x d x ＝23·x 3210＝23.]16．函数f (x )＝e x－ax 2在(0，＋∞)上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞ [∵f (x )＝e x －ax 2，∴f ′(x )＝e x －2ax ，若f (x )在(0，＋∞)上有两个极值点x 1，x 2(0＜x 1＜x 2)， 则y ＝e x和y ＝2ax 在(0，＋∞)上有2个交点，设直线y ＝2ax 和y ＝e x相切时切点是A(m ，e m)，则y ′＝e x，y ′|x ＝m ＝e m， 故y －e m＝e m(x －m )，即y ＝e mx ＋(1－m )e m＝2ax ， 故(1－m )e m ＝0，解得m ＝1， 故A(1，e)，故2a ＝e ，a ＝e 2，故直线y ＝2ax 和y ＝e x相交时，a ＞e 2.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞.] 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －11，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值及取得最小值时n 的值． [解] (1)数列{a n }满足S n ＝2a n －2，①当n ＝1时，有S 1＝2a 1－2＝a 1，变形可得a 1＝2， 当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－2，②，①－②可得：a n ＝2a n －2a n －1，变形可得：a n ＝2a n －1，则数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列，故a n ＝2n. (2)根据题意，b n ＝2log 2a n －11＝2log 22n－11＝2n －11， 当n ＝1时，b 1＝2－11＝－9，数列{b n }为等差数列，且首项b 1＝－9，公差d ＝2， 则T n ＝n ×(b 1＋b 2)2＝n (－9＋2n －11)2＝n 2－10n ，则当n ＝5时，T n 取得最小值，且其最小值为－25.18. (本小题满分12分)如图，在圆柱W 中，点O 1、O 2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE 是轴截面，点H 在上底面圆周上(异于N 、F )，点G 为下底面圆弧ME 的中点，点H 与点G 在平面MNFE 的同侧，圆柱W 的底面半径为1，高为2.(1)若平面FNH ⊥平面NHG ，证明：NG ⊥FH ； (2)若直线NH 与平面NFG 所成线面角α的正弦值等于155，证明：平面NHG 与平面MNFE 所成锐二面角的平面角大于π3. [证明] (1)由题知：平面FNH ⊥平面NHG ，平面FNH ∩平面NHG ＝NH . 因为NH ⊥FH ，FH平面FHN ，所以FH ⊥平面NHG ， 所以FH ⊥NG .(2)以点O 2为坐标原点，分别以O 2G ，O 2E ，O 2O 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O 2xyz 所以N (0，－1，2)，G (1,0,0)，F (0,1,2)，设H (m ，n ,2)(由图知m ＞0)，则m 2＋n 2＝1， NH →＝(m ，n ＋1,0)，设平面N FG 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 因为⎩⎪⎨⎪⎧n 1·NG →＝0，n 1·NF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧(x 1，y 1，z 1)·(1，1，－2)＝0，(x 1，y 1，z 1)·(0，2，0)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1－2z 1＝0，2y 1＝0，即法向量n 1＝(2,0,1)．因此sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪NH →·n 1|NH →||n 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 5×m 2＋(n ＋1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 5×m 2＋n 2＋2n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 5×2n ＋2＝155， 所以2m 2＝3n ＋3，解得n ＝－12，m ＝32，所以点H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2.设平面NHG 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 因为⎩⎪⎨⎪⎧n 2·NG →＝0，n 2·NH →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧(x 2，y 2，z 2)·(1，1，－2)＝0，(x 2，y 2，z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2z 2＝0，32x 2＋12y 2＝0，即法向量n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，1－32，因为平面MNFE 的法向量n 3＝(1,0,0)，所以cos θ＝|n 2·n 3||n 2|·|n 3|＝14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－322＜12. 所以平面NHG 与平面MNFE 所成锐二面角的平面角大于π3. 19．(本小题满分12分)已知B (－1,0)，C (1,0)，且△ABC 的周长为2＋22，记点A 的轨迹为曲线E .直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线E 交于不同两点M ，N . (1)求曲线E 的方程；(2)是否存在直线l 使得|BM |＝|BN |？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由． [解] (1)由题意知|AB |＋|AC |＝22，可得曲线的轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆， 根据题设可知a ＝2，c ＝1，故椭圆方程为：x 22＋y 2＝1(y ≠0)．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 2＋2y 2＝2得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＞0，得：2k 2＋1＞m 2， ① 设MN 的中点为P ，由根与系数的关系可知点P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1，∴MN 的垂直平分线l ′方程为：y －m 2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－2km 2k 2＋1，若l ′过B (－1,0)，把B (－1,0)代入l ′得：2k 2＋1＝mk ， ② 联立①②，消去m 可得，k 2＜－1，此方程无解，∴k 不存在． 故这样的直线不存在．20．(本小题满分12分)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%把握认为选历史是否与性别有关？(3)量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，2名男生选考方案不同1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E ξ.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋d )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2836×3660×840＝392人．(2)列联表为：由列联表中数据得K 2的观测值k ＝20×16×20×16＝100＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0,1.P (ξ＝1)＝C 28＋C 24＋C 22＋C 22C 216＝310， P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)＝710，(或P (ξ＝0)＝C 18C 18＋C 14C 14＋C 12C 12C 216＝710) 所以ξ的分布列为E ξ＝0×710＋1×10＝10.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 2＋x )l n 1x －ax ，g (x )＝23x 3＋(1－a )x 2－2ax ＋b ，a ，b ∈R .(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求b －2a 的最小值． [解] (1)函数的定义域是R ，g ′(x )＝(2x ＋2)(x －a )，令g ′(x )＝0，解得：x ＝－1或x ＝a ，①a ＜－1时，令g ′(x )＞0，解得：x ＞－1或x ＜a ， 令g ′(x )＜0，解得：a ＜x ＜－1，故g (x )在(－∞，a )上递增，在(a ，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，②a ＝－1时，g ′(x )≥0，g (x )在R 上递增，③当a ＞－1时，令g ′(x )＞0，解得：x ＞a 或x ＜－1， 令g ′(x )＜0，解得：－1＜x ＜a ，故g (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1，a )上递减，在(a ，＋∞)上递增． (2)f (x )≤g (x )⇔g (x )－f (x )≥0， 设F (x )＝g (x )－f (x )，则F ′(x )＝(2x ＋1)l n x ＋(x 2＋x )1x＋2x 2＋2(1－a )x －a ＝(2x ＋1)(l n x ＋x ＋1－a )，∵x ∈(0，＋∞)，令F ′(x )＝0，得l n x ＋x ＋1－a ＝0， 设h (x )＝l n x ＋x ＋1－a ，由于h (x )在(0，＋∞)上递增， 当x →0时，h (x )→－∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞， 故存在唯一x 0∈(0，＋∞) ，使得h (x 0)＝0， 即a ＝x 0＋l n x 0＋1，当0＜x ＜x 0时，F ′(x )＜0，故F (x )在(0，x 0)上递减， 当x ＞x 0时，F ′(x )＞0，F (x )在(x 0，＋∞)上递增， 当x ∈(0，＋∞)时，F (x )mi n ＝F (x 0)＝(x 20＋x 0)l n x 0＋23x 30＋(1－a )x 20－ax 0＋b ＝(x 20＋x 0)l n x 0＋23x 30＋(－x 0－l nx 0)x 20－(x 0＋l n x 0＋1)x 0＋b ＝－13x 30－x 20－x 0＋b ，∵f (x )≤g (x )恒成立，故F (x )mi n ＝－13x 30－x 20－x 0＋b ≥0，即b ≥13x 30＋x 20＋x 0，故b －2a ≥13x 30＋x 20＋x 0－2a ＝13x 30＋x 20－x 0－2l n x 0－2，设t (x )＝13x 3＋x 2－x －2l n x －2，x ∈(0，＋∞)，则t ′(x )＝(x －1)(x 2＋3x ＋2)x，令t ′(x )＝0，解得：x ＝1，故t (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增， 故t (x )mi n ＝t (1)＝－2，故x 0＝1即a ＝1＋x 0＋l n x 0＝2，b ＝13x 30＋x 20＋x 0＝73时，(b －2a )mi n ＝－53.请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋si n α(α为参数)，P 是曲线C 1上的动点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90°得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)在(1)的条件下，若射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点(除极点外)，且有定点M (4,0)，求△MAB 的面积．[解] (1)由题设，得C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，故C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＝0， 即ρ＝2sin θ.设点Q (ρ，θ)(ρ≠0)，则由已知得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ＋π2， 代入C 1的极坐标方程得ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，即C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ(ρ≠0)．(2)将θ＝π3代入C 1，C 2的极坐标方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3.又∵M (4,0)，所以S △MOA ＝12|OA |·|OM |sin π3＝3，S △MOB ＝12|OB |·|OM |sin π3＝3，∴S △MAB ＝S △MOA －S △MOB ＝3－ 3.23．(本小题满分10分)[选修4－5不等式选讲]已知函数f (x )＝|ax ＋1|，若不等式f (x )≤a 的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12. (1)求a 的值；(2)若存在x ∈R ，使得不等式f (x )＜a |x |＋a ＋k 成立，求k 的取值范围． [解] (1)∵f (x )＝|ax ＋1|，∴f (x )≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，|ax ＋1|≤a ，解得－a －1a ≤x ≤a －1a，又∵不等式f (x )≤a 的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12，∴a ＝2， (2)依题意，f (x )＝|2x ＋1|，故不等式f (x )＜a |x |＋a ＋k 可化为|2x ＋1|＜2|x |＋2＋k .要使不等式存在解，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＜|x |＋1＋k 2存在解，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |－1＜k 2存在解， 令g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，x ≥0，2x －12，0＞x ≥－12，－32，x ＜－12，∴g (x )的最小值为－32，依题意得k 2＞－32，∴k ＞－3.。
(全国通用版)2020高考数学二轮复习 12+4标准练1 文
12＋4标准练11．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 答案 C解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)．2．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ＋z |的值为( ) A ．3 2 B ．2 C ．1 D ．2 2 答案 B解析 ∵z ＋z ＝2，∴|z ＋z |＝2. 3．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立．4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．26盏 D ．27盏 答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝－x3＋y 的最大值为( )A ．－143B ．－2 C.43 D ．4答案 C解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝－x 3＋y 改写为y ＝x3＋z ，当且仅当动直线y ＝x3＋z 过点(2,2)时，z 取得最大值43.6．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.7．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a12＋12＝1，即22a ＝1，所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x22－y22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.8．已知数据x 1，x 2，…，x 10，2的平均数为2，方差为1，则数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定 D ．稳定性不可以判断答案 C解析 因为数据x 1，x 2，…，x 10，2的平均数为2， 所以数据x 1，x 2，…，x 10的平均数也为2， 因为数据x 1，x 2，…，x 10，2的方差为1，所以111⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤∑i ＝110(x i －2)2＋(2－2)2＝1， 所以∑i ＝110(x i －2)2＝11，所以数据x 1，x 2，…，x 10的方差为110∑i ＝110 (x i －2)2＝1.1.因为1.1>1，所以数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据变得比较不稳定．9．设a n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么21n S -等于( ) A ．2n ＋1－n －2 B ．2n －1＋23·4n －1－23C ．2n－n D ．2n＋n －2答案 B解析 由已知得，当n 为偶数时，a n ＝2n a ，当n 为奇数时，a n ＝1＋n2.因为21n S －＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋21n a －， 所以121n S ＋－＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋121n a ＋－＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋121n a ＋－)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋122n a ＋－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＋32＋1＋52＋…＋1＋2n ＋1－12＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋21n a －)＝(1＋2＋3＋ (2))＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋21n a －)＝(1＋2n )2n2＋21n S －＝12(2n ＋4n)＋21n S －， 即121n S ＋－＝12(2n ＋4n)＋21n S －，所以21n S －＝12(4n －1＋2n －1)＋12(4n －2＋2n －2)＋…＋12(41＋21)＋121S －＝2n －1＋23·4n －1－23. 10．过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为y 2＝mx ，所以焦点到准线的距离p ＝m2，设P ，Q 的横坐标分别是x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.因为|PQ |＝54m ，所以x 1＋x 2＋p ＝54m ，即6＋m 2＝54m ，解得m ＝8.11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,1，12，则此三棱锥外接球的表面积为( )A.174πB.214π C．4π D．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1， 且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2,1，12，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径R ＝22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝214，所以三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2142＝214π. 12．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则下列一定成立的为( ) A ．k <－1 B ．k <0 C ．k <1 D ．k ≥1答案 C解析 任意取x 为一正实数， 一方面y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1， 另一方面容易证ln x ＋1≤x 成立， 所以y ＝sin x ＋ln x ≤x .因为y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1与ln x ＋1≤x 中两个等号成立的条件不一样， 所以y ＝sin x ＋ln x <x 恒成立， 所以k <1，所以排除D ；当π2≤x <π时，y ＝sin x ＋ln x >0， 所以k >0，所以排除A ，B.13．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________． 答案 0或52解析 因为向量a ∥b ，所以(2m －1)(2－m )＝－2， 所以m ＝0或m ＝52.14．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为________． 答案 12解析 从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的有5个，所以取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为510＝12.15．设函数f (x )＝x a －x 2－12对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则实数a ＝________.答案 1 解析 一方面，由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立，得a ≥1； 另一方面，由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0，得a ≤1，所以a ＝1.16．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，①所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， 所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.。
通用版2020高考数学二轮复习单科标准练一文
单科标准练(一)(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 A [由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2)．故选A.]2．已知复数z ＝2＋i 1＋i ，则|z |＝( )A.52B.10C.102D.5C [z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )1－i 2＝3－i 2，所以|z |＝102，故选C.] 3．已知向量a ＝(1,2－λ)，b ＝(－2,3)，a∥b ，则实数λ＝( ) A ．3 B.72 C ．4D.92B [由a∥b 得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝72，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＜e )，ln x (x ≥e )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( ) A.1e B ．e C ．1D ．－1C [由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (e)＝ln e ＝1，故选C.] 5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A ．0.16B ．0.17C ．0.18D ．0.19B [设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.] 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－1D [执行程序框图，n ＝1，a ＝f (2)＝1－12＝12，n ＝2，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1，n ＝3，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2，n ＝4，a ＝f (2)＝12，…，易知a 的取值以3为周期，所以当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时，退出循环．输出的a ＝－1，故选D.]7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，2x ＋y ≥0，x ＋y －1≤0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，4B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4D [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B (－1,2)，作出直线y ＝2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时，目标函数取得最小值，z min ＝－2×12＋12＝－12，当直线经过点B (－1,2)时，目标函数取得最大值，z max ＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4，故选D.]8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32A [如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]9．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝4k π＋2π5，k ∈ZB ．x ＝4k π＋7π10，k ∈ZC ．x ＝2k π＋2π5，k ∈ZD ．x ＝2k π＋7π5，k ∈ZD [法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T 4＝9π20－π5＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象．令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D. 法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .]10．设函数f (x )＝ln x ＋1－ax x，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，若函数f (x )的极小值不大于a ，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B [易知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，则1a ＞a ＞0，得0＜a ＜1.由f ′(x )＝1x －1x2＝0，得x ＝1，当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的极小值为f (1)＝1－a ，由题可知1－a ≤a ，所以a ≥12，又0＜a ＜1，所以12≤a ＜1，故选B.] 11．已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1 B.x 236＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 C [法一：由|AF |＝4得a －c ＝4，设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又A (a,0)，所以线段AN 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF ＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n2－0a －m 2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.法二：如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.]12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ac cos C ，a cos C ＋3c cos A ＝0，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ac cos C ，可得b ＝c 或cos C ＝0.易知cos C ≠0，从而B ＝C .由正弦定理得，sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，从而sin(π－B )＋2sin B cos A ＝0，所以cos A ＝－12，所以在△ABC 中，A ＝120°，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．设函数f (x )＝sin x ＋x cos xax2(a ∈R ，a ≠0)，若f (－2 018)＝2，则f (2 018)＝________. －2 [易知函数f (x )＝sin x ＋x cos x ax2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )a (－x )2＝－sin x ＋x cos xax 2＝－f (x )，所以函数f (x )是定义域上的奇函数，所以f (2 018)＝－f (－2 018)＝－2.]14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．73[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC A 1B 1C 1，易知AC ＝BC ＝1，A 1C 1＝B 1C 1＝CC 1＝2.因为CC 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，A 1C 1⊥B 1C 1，所以V 棱台ABC A 1B 1C 1＝13CC 1·(S △ABC ＋S △A 1B 1C 1＋S △ABC ·S △A 1B 1C 1)＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋12×2＝73.] 15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．3 [若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]16．已知直线l ：x ＋2y －5＝0与定点A (1,2)，动点P 到点A 距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上的一点，|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________．5 [由题可知点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 与直线l 垂直的直线，则点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，由题知|FQ |的最小值恰为b ，那么直线y ＝2x 为双曲线的一条渐近线，从而ba＝2，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝38，21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 2，并证明n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n； (2)求S 2 019.[解] (1)令n ＝1，则2(a 1－a 2)＝－a 22，即a 22－2a 2＋34＝0，解得a 2＝12或a 2＝32，均符合题意．由21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，得21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n －1(a n －1－a n )＝－a 2n ，n ≥2.两式相减得2n(a n －a n ＋1)＝a 2n －a 2n ＋1， ∵a n －a n ＋1≠0，∴a n ＋a n ＋1＝2n，n ≥2.(2)由(1)得S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝38＋22＋24＋…＋22 018＝38＋4×1－41 0091－4＝41 0103－2324.18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ ②计算高一年级观看人数的样本方差．(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．[解] (1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ，y ， 那么x ＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋3210＝20.2，y ＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510＝20.9，所以高二年级平均观看人数较多．②由①知x ＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s 2＝110×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a ，b ，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C ，D ，E .从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a ，b )，(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种，设所求事件为事件A ，则事件A 包含(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，共6种不同的结果， 由古典概型概率计算公式得，P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B ACDE 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，DC ⊥平面ABC ，DC ＝1，EA ⊥平面ABC ，EA ＝ 2.(1)若在EB 上存在点F ，使得BE ⊥平面AFC ，试探究点F 的位置； (2)在(1)的条件下，求三棱锥F BCD 的体积．[解] (1)由AB ⊥AC ，EA ⊥平面ABC ，得AC ⊥平面EAB ，所以AC ⊥BE ， 若BE ⊥平面AFC ，只需BE ⊥AF ， 在直角△ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2＝6，由射影定理AB 2＝BF ·BE ，可知BF ＝46＝263＝23BE ，所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处．(2)由题可知S 四边形AEDC ＝12×(1＋2)×2＝1＋2，则V B AEDC ＝13×S 四边形AEDC ×AB ＝2＋223，由(1)知，F 在BE 上靠近E 的三等分点处，因而V F AEDC ＝13V B AEDC ＝2＋229，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以V F ABC ＝13×S △ABC ×23EA ＝13×2×223＝429，所以V F BCD ＝V B AEDC －V F AEDC －V F ABC ＝49.20．(本小题满分12分)已知定点N (6,8)与圆O ：x 2＋y 2＝4，动点M 在圆O 上，MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC 的垂直平分线上，是否存在点Q ，过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ，B )，使得|QA |＝|QB |，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，设P (x ，y )，则M (2x －6,2y －8)，因为点M 在圆O ：x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －6)2＋(2y －8)2＝4，从而可得圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1. (2)假设存在，设Q (x ，y )，若|QA |＝|QB |，则QC 2－1＝QO 2－4，即QO 2－QC 2＝3， 从而x 2＋y 2－(x －3)2－(y －4)2＝3，整理得，3x ＋4y －14＝0，故点Q 在直线3x ＋4y －14＝0上，而OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，k OC ＝43，因而OC 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，整理得，6x ＋8y －25＝0，易知直线3x ＋4y －14＝0与直线6x ＋8y －25＝0平行， 因此不存在满足题意的点Q .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2＋b (a ＞0)，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值； (2)若函数f (x )有两个零点，求a 的值．[解] (1)由题可知f (0)＝1＋b ，f ′(x )＝e x－ax ，f ′(0)＝1，则函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y －1－b ＝x ，即y ＝x ＋1＋b ，由已知条件可得b ＝0，当a ＝1时，在[0,2]上，f ′(x )＝e x－x ＞0，函数f (x )在[0,2]上单调递增， 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)＝1，最大值为f (2)＝e 2－2.(2)法一：由(1)知f (x )＝e x－12ax 2，设g (x )＝f ′(x )＝e x－ax ，则g ′(x )＝e x－a ，令g ′(x )＝0，可得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．因而g (x )的最小值为g (ln a )＝a －a ln a ，若a －a ln a ≥0，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )不会有两个零点，不合题意，因而a －a ln a ＜0，即a ＞e.因为g (0)＝1＞0，g (1)＝e －a ＜0，所以f ′(x )＝0在(0,1)内有解，即存在x 1∈(0,1)使f ′(x 1)＝0，同时存在x 2∈(1，＋∞)，使得f ′(x 2)＝0，即0＜x 1＜1＜x 2，e x 1＝ax 1，e x 2＝ax 2，当x ∈(－∞，x 1)时f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时f (x )单调递增，f (x )的大致图象如图所示．由于f (x 1)＝e x 1－12ax 21＝ax 1－12ax 21＝12ax 1(2－x 1)＞0，所以，若函数f (x )有两个零点，则函数f (x )的极小值f (x 2)＝0，f (x 2)＝e x 2－12ax 22＝ax 2－12ax 22＝12ax 2(2－x 2)＝0，得x 2＝2.由e x 2－12ax 22＝0，即e 2－12a ×22＝0，得a ＝e 22.法二：由(1)知，b ＝0，则函数f (x )＝e x－12ax 2，显然x ＝0不是零点，令f (x )＝0，分离参数，则a ＝2exx2，设h (x )＝2e x x 2(x ≠0)，则h ′(x )＝2e x(x －2)x3，令h ′(x )＝0，则x ＝2. 易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)及x ∈(2，＋∞)时h (x )单调递增， 则h (x )的极小值为h (2)＝e 22，而当x ∈(－∞，0)时，h (x )＝2e xx 2＞0，数形结合可知，当a ＝e22时函数f (x )有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3. (1)写出曲线C 的普通方程以及直线l 的直线坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．[解] (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1， 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3可化为3ρcos θ－ρsin θ＝3， 由极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得，直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＝0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d ＝32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，x 24＋y 23＝1整理得，5x 2－8x ＝0，解得x ＝0或85，不妨令x 1＝0，x 2＝85， 从而得A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，由两点间距离公式得|AB |＝165， 所以S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×165×32＝435. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解不等式f (x )≤|x |＋1；(2)若存在实数m ，使得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＜m 有解，求m 的取值范围． [解] (1)由已知得，f (x )≤|x |＋1，即|2x －1|≤|x |＋1，所以当x ＜0时，1－2x ≤－x ＋1，得x ≥0，此时无解；当0≤x ＜12时，1－2x ≤x ＋1，得x ≥0，此时0≤x ＜12； 当x ≥12时，2x －1≤x ＋1，得x ≤2，此时12≤x ≤2. 从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则g (x )＝|2x －1|－|x －1|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤12，3x －2，12＜x ＜1，x ，x ≥1，作出函数g (x )的大致图象(图略)，数形结合可知，g (x )的最小值为－12，从而m ＞－12. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。
通用版2020高考数学二轮复习单科标准练2理
单科标准练(二)(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{－1,0,1},N ＝{x |x ＝2a ,a ∈M },则集合M ∪N ＝( ) A ．{－1,0,1} B ．{－2,0,2} C ．{0}D ．{－2,－1,0,1,2}D [∵集合M ＝{－1,0,1},N ＝{x |x ＝2a ,a ∈M }＝{－2,0,2},∴集合M ∪N ＝{－2,－1,0,1,2}故选D.]2．已知a ,b ∈R ,a －i ＝b －2ii,则a ＋b i 的共轭复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋iA [因为a －i ＝b －2ii＝－(b －2i)i ＝－2－b i,所以a ＝－2,b ＝1,因此a ＋b i ＝－2＋i 的共轭复数为－2－i.故选A.]3．高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示,其中两竖线之间是得分的十位数,两边分别是甲、乙得分的个位数．则下列结论正确的是( )A ．甲得分的中位数是78B ．甲得分的平均数等于乙得分的平均数C ．乙得分的平均数和众数都是75D ．乙得分的方差大于甲得分的方差C [由甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图,得：在A 中,甲得分的中位数是76,故A 错误；在B 中,甲得分的平均数x 1＝15(56＋64＋76＋78＋86)＝72,乙得分的平均数x 2＝15(62＋75＋75＋81＋82)＝75,∴甲得分的平均数不等于乙得分的平均数,故B 错误；在C 中,乙得分的众数是75,平均数是75,故C 正确；在D 中,由茎叶图的甲得分的分布相对分散,∴乙得分的方差小于甲得分的方差,故D 错误．故选C.]4．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和,a 2＝3,S 3＝13,则a 6＝( ) A ．243或127B ．81或181C ．243D.127A [∵a 2＝3,S 3＝13,∴3q ＋3＋3q ＝13,解得q ＝3或q ＝13,∴a 6＝a 2q 4＝243或127,故选A.]5.如图,在△ABC 中,D ,E ,F 分别为线段BC ,AD ,BE 的中点,则AF →＝( )A.18AB →＋58AC →B.58AB →－18AC →C.18AB →－58AC →D.58AB →＋18AC → D [∵AF →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋12×12AD →＝12AB →＋14×12(AB →＋AC →)＝58AB →＋18AC →,故选D.]6．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3,[3.1]＝3,已知函数f (x )＝2x＋31＋2x ＋1,则函数y ＝[f (x )]的值域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(0,2] C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}C [因为f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1,所以f (x )＝12×2x ＋1＋61＋2x ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋51＋2x ＋1, 又1＋2x ＋1∈(1,＋∞),所以f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3,由高斯函数的定义可得：函数y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2},故选C.]7.如图,用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为( )A.22B.33C.32D.13A [设圆柱底面圆的方程为x 2＋y 2＝R 2,∵与底面成45°角的平面截圆柱,∴椭圆的半长轴长是2R ,半短轴长是R ,∴c ＝R ,∴e ＝c a＝R2R＝22.故选A.] 8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个单位分数和的形式,例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包,要平均分给5个人,若每人分得一个面包的12,不够,若每人分得一个面包的13,还余13,再将这13分成5份,每人分得115,这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11,…)的分数的分解：25＝13＋115,27＝14＋128,29＝15＋145,按此规律,2n＝( )A.2n ＋1＋2n (n ＋1)B.1n ＋1＋1n (n ＋1)C.1n ＋2＋1n (n ＋2)D.12n ＋1＋1(2n ＋1)(2n ＋3)A [根据分面包原理知,等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半,第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积,两个数的原始分子都是1,即2n＝1n ＋12＋1n (n ＋1)2＝2n ＋1＋2n (n ＋1).故选A.] 9．甲、乙二人约定7：10在某处会面,甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达,乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是( )A.18B.14C.38D.58C [由题意知本题是一个几何概型,设甲和乙到达的分别为7时＋x 分、7时＋y 分,则10≤x ≤20,5≤y ≤20,甲至少需等待乙5分钟,即y －x ≥5,则试验包含的所有区域是Ω＝{(x ,y )|0≤x ≤20,5≤y ≤20},甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A ＝{(x ,y )|0≤x ≤20,5≤y ≤20,y －x ≥5},如图：正方形的面积为20×15＝300,阴影部分的面积为12×15×15＝2252,∴甲至少需等待乙5分钟的概率是2252300＝225600＝38,故选C.]10．已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的极小值点是x ＝－1,则a ＝( ) A ．0或－1 B ．－3或－1 C ．－1D ．－3D [∵函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x ,∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2,∵f (x )极小值点是x ＝－1, ∴f ′(－1)＝3＋4a ＋a 2＝0,解得a ＝－3或a ＝－1, 当a ＝－1时,f (x )＝x 3＋2x 2＋x ,f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1, 由f ′(x )＞0,得x ＜－1或x ＞－13,由f ′(x )＜0,得－1＜x ＜－13,f (x )增区间为(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞,减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13,∴x ＝－1是f (x )的极大值点．当a ＝－3时,f (x )＝x 3＋6x 2＋9x ,f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9, 由f ′(x )＞0,得x ＜－3或x ＞－1, 由f ′(x )＜0,得－3＜x ＜－1,f (x )增区间为(－∞,－3),(－1,＋∞),减区间为(－3,－1),∴x ＝－1是f (x )的极小值点．综上,函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的极小值点是x ＝－1,则a ＝－3.故选D.]11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0),x ∈[0,π]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1,则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，53 D ．(0,＋∞)C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0),x ∈[0,π], 则ωx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，ωπ－π3,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1, 所以ωx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3,解得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，53,故选C.] 12．已知正三棱锥P ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形,若过A 的截面与棱PB ,PC 分别交于点D 和点E ,则截面△ADE 周长的最小值是( )A. 2 B ．2 3 C. 3D ．2 2D [此正三棱锥的侧面展开图如图所示． 则△ADE 的周长为AD ＋DE ＋EA 1, 由于两点之间线段最短,∴当D 、E 处于如图位置时,截面△ADE 的周长最小,即为AA 1的长；又∠APB ＝30°,则∠APA 1＝90°,在等腰三角形PAB 中,PA ＝PB ＝2, ∴PA ＝PA 1＝2,∠APA 1＝90°, ∴截面△ADE 周长的最小值是：AA 1＝PA 2＋PA 21＝4＋4＝2 2.故选D.] 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22～23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值和最大值的和为________．14 [作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .平移直线y ＝－2x ＋z ,由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (3,4)时,直线y ＝－2x ＋z 的截距最大,z ＝10.直线y ＝－2x ＋z 经过点B (1,2)时,直线y ＝－2x ＋z 的截距最小,此时z 最小．即z ＝2x ＋y 的最小值为：z ＝4.则z ＝2x ＋y 的最小值和最大值的和为14.]14．以抛物线y 2＝8x 的焦点为圆心,且与直线y ＝x 相切的圆的方程为________． (x －2)2＋y 2＝2 [依题意可知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0),到直线y ＝x 的距离即圆的半径为22＝2,故圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.]15．分别标有1,2,3,4的4张卡片,放入分别标号为1,2,3,4的4个盒中,每盒不空,且3号卡片不能放入3号盒中,则有________种不同的方法．18 [根据题意,分2步进行分析：①3号卡片不能放入3号盒中,则3号卡片可以放入1、2、4号盒子中,有3种放法； ②将剩下的3张卡片全排列,放入剩下的3个盒子中,有A 33＝6种放法；故有3×6＝18种不同的放法．]16. S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n ＞0,4S n ＝(a n ＋3)(a n －1),(n ∈N *),则{a n }的首项a 1＝________,通项公式a n ＝________.3 2n ＋1 [由4S n ＝(a n ＋3)(a n －1)＝a 2n ＋2a n －3, 可知4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3,两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1, 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ), ∵a n ＞0,∴a n ＋1－a n ＝2,又∵a 21＋2a 1＝4a 1＋3, ∴a 1＝－1(舍)或a 1＝3 ,∴数列{a n }是首项为3,公差d ＝2的等差数列, ∴数列{a n }的通项公式a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.]三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c b －a＋sin Bsin C ＋sin A＝－1.(1)求∠A 的大小；(2)若a ＝413,c ＝12.求△ABC 的面积S . [解] (1)因为cb －a ＋sin B sin C ＋sin A＝－1, 所以由正弦定理得cb －a ＋bc ＋a＝－1整理得b 2＋c 2－a 2＝－bc ,所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12,因为0＜A ＜π,所以A ＝2π3.(2)因为a ＝413,c ＝12,A ＝2π3.所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A , 得208＝b 2＋144－2×12b cos 2π3,解得b ＝4或b ＝－16(舍)．所以S ＝12bc sin A ＝12×12×4×sin 2π3＝12 3.18. (本小题满分12分)如图,等腰直角△ABC 中,∠B ＝90°,平面ABEF ⊥平面ABC,2AF ＝AB ＝BE ,∠FAB ＝60°,AF ∥BE .(1)求证：BC ⊥BF ；(2)求二面角F CE B 的正弦值．[解] (1)证明：∵在等腰直角△ABC 中,∠B ＝90°,∴BC ⊥AB , ∵平面ABEF ⊥平面ABC ,平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ,∴BC ⊥平面ABEF , ∵BF ⊂平面ABEF ,∴BC ⊥BF . (2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ,故以B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B xyz , 设2AF ＝AB ＝BE ＝2,∵∠FAB ＝60°,AF ∥BE .∴B (0,0,0),C (0,2,0),F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32,E (－1,0,3),EC →＝(1,2,－3),EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，－32,BC →＝(0,2,0),设平面CEF 的一个法向量n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3z ＝0，52x －32z ＝0，令x ＝3,得n ＝(3,23,5), 设平面BCE 的一个法向量m ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·EC →＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0，2y ＝0，取x ＝3,得m ＝(3,0,1), 设二面角F CE B 的平面角为θ. 则|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m |·|n |＝82×210＝105,∴s in θ＝155, ∴二面角F CE B 的正弦值为155. 19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝4y ,过点(2,3)的直线l 交C 于A 、 B 两点,抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P .(1)当点A 的横坐标为4时,求点P 的坐标；(2)若Q 是抛物线C 上的动点,当|PQ |取最小值时,求点Q 的坐标及直线l 的方程． [解] (1)∵点A 的横坐标为4,∴A (4,4),易知此时直线l 的方程为y ＝12x ＋2 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴B (－2,1)．由y ＝x 24得y ′＝x2,所以k PA ＝2,所以直线PA 的方程为y ＝2x －4, 同理可得直线PB 的方程为y ＝－x －1,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝－x －1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，故点P 的坐标为(1,－2).(2)设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224,由y ＝x 24得y ′＝x 2,所以k PA ＝x 12, 所以直线PA 的方程为y －x 214＝x 12(x －x 1),即y ＝x 12x －x 214,同理PB 的方程为y ＝x 22x －x 224,联立解得P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24, 依题意直线l 的斜率存在,不妨设直线l 的方程为y －3＝k (x －2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －2＝k (x －2)，得x 2－4kx ＋8k －12＝0,易知Δ＞0,因此x 1＋x 2＝4k ,x 1x 2＝8k －12, ∴P (2k,2k －3),∴点P 在直线x －y －3＝0上,当|PQ |取得最小值时,即抛物线C ：x 2＝4y 上的点Q 到直线x －y －3＝0的距离最小.设Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 204,Q 到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－x 204－32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－12＋22＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－122,所以当x 0＝2时,d 取最小值2,此时Q (2,1),易知过点Q 且垂直于x －y －3＝0的直线方程为y ＝－x ＋3,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x －y －3＝0，解得P (3,0),k ＝32,所以直线l 的方程为y ＝32x ,综上,点Q 的坐标为(2,1),直线l 的方程为y ＝32x .20．(本小题满分12分)某医药公司研发生产一种新的保健产品,从一批产品中随机抽取200盒作为样本,测量产品的一项质量指标值,该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求a ,并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；(2)①由样本估计总体,结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布N (μ,102),计算该批产品该项指标值落在(180,220]上的概率；②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格,且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级,其中(180,220]为优良,不高于180为合格,高于220为优秀,在①在条件下,设该公司生产该产品的1万盒的成本为15万元,市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表,求该公司每万盒的平均利润．等级 合格 优良 优秀 售价102030附：若ξ～N (μ,δ2,P (μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5.[解] (1)由10×(2×0.002＋0.008＋0.009＋0.022＋0.024＋a )＝1,解得a ＝0.033, 则平均值x ＝10×0.002×170＋10×0.009×180＋10×0.022×190＋10×0.033×200＋10×0.024×210＋10×0.008×220＋10×0.002×230＝200,即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.(2)①由题意可得μ＝x ＝200,δ＝10,则P (μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝P (180＜ξ≤220)≈0.954 5,则该批产品指标值落在(180,220]上的概率为0.954 5.②设每盒该产品的售价为X 元,由①可得X 的分布列为X 10 20 30P0.022 75 0.954 5 0.022 7520,故每万盒的平均利润为20－15＝5(万元)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 2＋a )e kx,e ＝2.718…为自然对数的底数． (1)若k ＝－1,a ∈R ,判断函数f (x )在(0,＋∞)上的单调性；(2)令a ＝0,k ＝1,若0＜m ≤2e ,求证：方程f (x )－m (x ＋1)ln x ＝0无实根． [解] (1)由已知k ＝－1,所以f (x )＝(x 2＋a )e －x ＝x 2＋aex,所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a e x ′＝2x e x －(x 2＋a )e xe 2x＝－x 2＋2x －aex. ①若a ≥1,在R 上恒有u (x )＝－(x －1)2＋1－a ≤0, 所以f ′(x )＝－(x －1)2＋1－ae x≤0, 所以f (x )在(0,＋∞)上为单调递减,②若a ＜1,u (x )＝－(x －1)2＋1－a 图象与x 轴有两个不同交点．设u (x )＝－(x －1)2＋1－a ＝0的两根分别为x 1＝1－1－a ,x 2＝1＋1－a . (ⅰ)若0＜a ＜1,0＜x 1＜1,x 2＞1,所以当0＜x ＜x 1时,u (x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时,u (x )≥0；当x ＞x 2时,u (x )＜0. 所以,此时f (x )在(0,x 1)上和(x 2,＋∞)上分别单调递减；在(x 1,x 2)上单调递增； (ⅱ)若a ≤0,x 1＝1－1－a ≤0,x 2＝1＋1－a ≥2. 所以,x ∈(0,x 2)上总有u (x )＞0；在当x ＞x 2上,u (x )＜0, 所以此时f (x )在(0,x 2)上单调递增,在(x 2,＋∞)上单调递减． 综上：若a ≥1,f (x )在(0,＋∞)上为单调递减；若0＜a ＜1,f (x )在(0,1－1－a )上和(1＋1－a ,＋∞)上分别单调递减,在(1－1－a ,1＋1－a )上单调递增；若a ≤0,f (x )在(0,1＋1－a )上单调递增,在(1＋1－a ,＋∞)上单调递减． (2)证明：由题知a ＝0,k ＝1,所以f (x )＝x 2e x, 令g (x )＝e x－(x ＋1),对任意实数x ＞0,g ′(x )＝e x－1＞0恒成立, 所以g (x )＝e x －(x ＋1)＞g (0)＝0,即e x＞x ＋1＞0,则x 2e x－m (x ＋1)ln x ＞x 2(x ＋1)－m (x ＋1)ln x ＝(x ＋1)(x 2－m ln x )． 令h (x )＝x 2－m ln x ,所以h ′(x )＝(x 2－m ln x )′＝2x －m x ＝2x 2－mx.因为0＜m ≤2e ,所以h ′(x )＝2x 2－mx＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m 2⎝⎛⎭⎪⎫x －m 2x.所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2时,h ′(x )＜0,h ′⎝⎛⎭⎪⎫m 2＝0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫m2，＋∞时,h ′(x )＞0,所以h (x )＝x 2－m ln x 在(0,＋∞)上有最小值, 所以h ⎝⎛⎭⎪⎫m 2＝m2－m ln m 2＝m 2⎝⎛⎭⎪⎫1－ln m 2因为0＜m2≤e ,所以ln m2≤1,所以1－ln m2≥0,所以m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln m 2≥0,即0＜m ≤2e 时,对任意x ＞0,h (x )＝x 2－m ln x ≥0.所以x 2e x－m (x ＋1)ln x ≥0,所以方程f (x )－m (x ＋1)ln x ＝0无实根．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知平面直角坐标系xOy ,直角l 过点P (0,3),且倾斜角为α,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；(2)设直线l 与圆C 交于M 、N 两点,若|PM |－|PN |＝2,求直线l 的倾斜角的α值． [解] (1)因为直线l 过点P (0,3),且倾斜角为α,所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．因为圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0,所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0, 所以圆C 的普通方程为：x 2＋y 2－2x －23y －1＝0, 圆C 的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝5.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，代入圆C 的标准方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝5,整理得t 2－2t cos α－4＝0.设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则t 1＋t 2＝2cos α,所以|PM |－|PN |＝|t 1＋t 2|＝|2cos α|＝2,即cos α＝±22. 因为0≤α＜π,所以α＝π4或3π4.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知a ＞0,b ＞0,c ＞0,函数f (x )＝|a －x |＋|x ＋b |＋c . (1)当a ＝b ＝c ＝2时,求不等式f (x )＜8的解集； (2)若函数f (x )的最小值为1,证明：a 2＋b 2＋c 2≥13.[解] (1)当a ＝b ＝c ＝2时,f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|＋2,所以f (x )＜8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－22－2x ＜8或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜26＜8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x ＋2＜8，所以不等式的解集为{x |－3＜x ＜3}． (2)因为a ＞0,b ＞0,c ＞0,所以f (x )＝|a －x |＋|x ＋b |＋c ≥|a －x ＋x ＋b |＋c ＝|a ＋b |＋c ＝a ＋b ＋c . 因为f (x )的最小值为1,所以a ＋b ＋c ＝1. 所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝1, 因为2ab ≤a 2＋b 2,2bc ≤b 2＋c 2,2ac ≤a 2＋c 2,所以1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤3(a 2＋b 2＋c 2), 所以a 2＋b 2＋c 2≥13.。
通用版2020高考数学二轮复习单科标准练三文
D[法一：∵a＋c＝－b、∴(a＋c)2＝(－b)2、设a与c的夹角为θ、则|a|2＋|c|2＋2|a||c|cosθ＝|b|2、∴cosθ＝ ＝－ 、易知0°≤θ≤180°、∴θ＝120°.故选D.
法二：在△ABC中、设 ＝a、 ＝c、 ＝b、∵|a|∶|b|∶|c|＝1∶ ∶2、∴C＝90°、A＝60°、∴a与c的夹角为120°.故选D.]
4．函数f(x)＝ 的大致图象是( )
A B C D
A[易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}、ex＞0.因为当x∈(－∞、－1)∪(1、＋∞)时、ln|x|＞0、所以f(x)＞0、由此可以排除选项C、D；又f(x)不是偶函数、所以排除选项B.故选A.]
5．设m、n是两条不同的直线、α、β是两个不同的平面、下列命题中正确的是( )
18．(本小题满分12分)如图、已知菱形ABCD的边长为6、AC∩BD＝O、∠BAD＝60°、将菱形ABCD沿对角线AC折起、使BD＝3 、得到三棱锥BACD.
(1)M为线段BC上任意一点、求证：平面OMC⊥平面ODC；
(2)设点N是线段BD上一个动点、试确定N点的位置、使得三棱锥NOCD的体积为3 、求CN的长．
由a3＝ 、得a1＝ ＝ 、a2＝ ＝ 、
由S3＝ 、得a1＋a2＋a3＝ 、
所以 ＋ ＋ ＝ 、解得q＝1或q＝－ .
(2)当q＝1时、a1＝ 、Sn＝ n、Sn＋1＝ (n＋1)、Sn＋2＝ (n＋2)、2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2、所以Sn、Sn＋1、Sn＋2成等差数列．
所以当q＝1时、数列{Sn}中任意连续的三项Sn、Sn＋1、Sn＋2成等差数列．
(2)设三棱锥NOCD的高为h、则VNOCD＝3 ＝ ×S△COD×h＝ × ×3×3 ×h、
2020新课标高考数学(理)二轮总复习能力练1 Word版含解析
姓名，年级：时间：能力练(一）空间想象能力一、选择题1．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F,H，K分别为AC′,CB′，A′B′,B′C′的中点，G为△ABC的重心,从K，H，G，B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（)A．K B．HC．G D．B′答案：C解析：取A′C′的中点M,连接EM,MK，KF，EF，则EM綊错误!CC′綊KF，则四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF,故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H 或P＝B′,则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面,与平面EFB′A′平行的棱只有AB。
2．（2019春·南昌期中）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为( ）A．三角形B．梯形C．平行四边形D．长方形答案:C解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH,∴EF∥GH.同理，FG∥EH,∴四边形EFGH为平行四边形．3．（2019·四川模拟)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（0，0,0)，(1,2，0)，（0，2，1），(1,0，1），则该四面体在yOz平面内的投影为( ）A。
B．C。
D．答案：D解析：依题意，建立空间直角坐标系，如图所示．所以该四面体在平面yOz平面内的射影为矩形,其中AC的射影为实线，OB为虚线．4.已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧视图如图所示．当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( ）A．8 B．8＋82C．8错误!D．4＋8错误!答案：B解析:由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示．其正视图与侧视图相同,设正四棱锥的高为h,则a2＋h2＝4.故正视图的面积为S＝错误!×2a×h＝ah≤错误!＝2，当且仅当a＝h＝错误!时，S最大．故该正四棱锥的表面积为S表＝(2a)2＋4×错误!×2a×2＝8＋8错误!。
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单科标准练(一)(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 A [由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2)．故选A.]2．已知复数z ＝2＋i 1＋i ，则|z |＝( )A.52B.10C.102D.5C [z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )1－i 2＝3－i 2，所以|z |＝102，故选C.] 3．已知向量a ＝(1,2－λ)，b ＝(－2,3)，a∥b ，则实数λ＝( ) A ．3 B.72 C ．4D.92B [由a∥b 得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝72，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＜e )，ln x (x ≥e )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( ) A.1e B ．e C ．1D ．－1C [由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (e)＝ln e ＝1，故选C.] 5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A ．0.16B ．0.17C ．0.18D ．0.19B [设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.] 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－1D [执行程序框图，n ＝1，a ＝f (2)＝1－12＝12，n ＝2，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1，n ＝3，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2，n ＝4，a ＝f (2)＝12，…，易知a 的取值以3为周期，所以当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时，退出循环．输出的a ＝－1，故选D.]7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，2x ＋y ≥0，x ＋y －1≤0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，4B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4D [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B (－1,2)，作出直线y ＝2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时，目标函数取得最小值，z min ＝－2×12＋12＝－12，当直线经过点B (－1,2)时，目标函数取得最大值，z max ＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4，故选D.]8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32A [如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]9．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝4k π＋2π5，k ∈ZB ．x ＝4k π＋7π10，k ∈ZC ．x ＝2k π＋2π5，k ∈ZD ．x ＝2k π＋7π5，k ∈ZD [法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T 4＝9π20－π5＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象．令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D. 法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .]10．设函数f (x )＝ln x ＋1－ax x，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，若函数f (x )的极小值不大于a ，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B [易知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，则1a ＞a ＞0，得0＜a ＜1.由f ′(x )＝1x －1x2＝0，得x ＝1，当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的极小值为f (1)＝1－a ，由题可知1－a ≤a ，所以a ≥12，又0＜a ＜1，所以12≤a ＜1，故选B.] 11．已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1 B.x 236＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 C [法一：由|AF |＝4得a －c ＝4，设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又A (a,0)，所以线段AN 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF ＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n2－0a －m 2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.法二：如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.]12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ac cos C ，a cos C ＋3c cos A ＝0，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ac cos C ，可得b ＝c 或cos C ＝0.易知cos C ≠0，从而B ＝C .由正弦定理得，sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，从而sin(π－B )＋2sin B cos A ＝0，所以cos A ＝－12，所以在△ABC 中，A ＝120°，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．设函数f (x )＝sin x ＋x cos xax2(a ∈R ，a ≠0)，若f (－2 018)＝2，则f (2 018)＝________. －2 [易知函数f (x )＝sin x ＋x cos x ax2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )a (－x )2＝－sin x ＋x cos xax 2＝－f (x )，所以函数f (x )是定义域上的奇函数，所以f (2 018)＝－f (－2 018)＝－2.]14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．73[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC A 1B 1C 1，易知AC ＝BC ＝1，A 1C 1＝B 1C 1＝CC 1＝2.因为CC 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，A 1C 1⊥B 1C 1，所以V 棱台ABC A 1B 1C 1＝13CC 1·(S △ABC ＋S △A 1B 1C 1＋S △ABC ·S △A 1B 1C 1)＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋12×2＝73.] 15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．3 [若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]16．已知直线l ：x ＋2y －5＝0与定点A (1,2)，动点P 到点A 距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上的一点，|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________．5 [由题可知点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 与直线l 垂直的直线，则点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，由题知|FQ |的最小值恰为b ，那么直线y ＝2x 为双曲线的一条渐近线，从而ba＝2，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝38，21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 2，并证明n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n； (2)求S 2 019.[解] (1)令n ＝1，则2(a 1－a 2)＝－a 22，即a 22－2a 2＋34＝0，解得a 2＝12或a 2＝32，均符合题意．由21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，得21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n －1(a n －1－a n )＝－a 2n ，n ≥2.两式相减得2n(a n －a n ＋1)＝a 2n －a 2n ＋1， ∵a n －a n ＋1≠0，∴a n ＋a n ＋1＝2n，n ≥2.(2)由(1)得S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝38＋22＋24＋…＋22 018＝38＋4×1－41 0091－4＝41 0103－2324.18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ ②计算高一年级观看人数的样本方差．(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．[解] (1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ，y ， 那么x ＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋3210＝20.2，y ＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510＝20.9，所以高二年级平均观看人数较多．②由①知x ＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s 2＝110×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a ，b ，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C ，D ，E .从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a ，b )，(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种，设所求事件为事件A ，则事件A 包含(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，共6种不同的结果， 由古典概型概率计算公式得，P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B ACDE 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，DC ⊥平面ABC ，DC ＝1，EA ⊥平面ABC ，EA ＝ 2.(1)若在EB 上存在点F ，使得BE ⊥平面AFC ，试探究点F 的位置； (2)在(1)的条件下，求三棱锥F BCD 的体积．[解] (1)由AB ⊥AC ，EA ⊥平面ABC ，得AC ⊥平面EAB ，所以AC ⊥BE ， 若BE ⊥平面AFC ，只需BE ⊥AF ， 在直角△ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2＝6，由射影定理AB 2＝BF ·BE ，可知BF ＝46＝263＝23BE ，所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处．(2)由题可知S 四边形AEDC ＝12×(1＋2)×2＝1＋2，则V B AEDC ＝13×S 四边形AEDC ×AB ＝2＋223，由(1)知，F 在BE 上靠近E 的三等分点处，因而V F AEDC ＝13V B AEDC ＝2＋229，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以V F ABC ＝13×S △ABC ×23EA ＝13×2×223＝429，所以V F BCD ＝V B AEDC －V F AEDC －V F ABC ＝49.20．(本小题满分12分)已知定点N (6,8)与圆O ：x 2＋y 2＝4，动点M 在圆O 上，MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC 的垂直平分线上，是否存在点Q ，过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ，B )，使得|QA |＝|QB |，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，设P (x ，y )，则M (2x －6,2y －8)，因为点M 在圆O ：x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －6)2＋(2y －8)2＝4，从而可得圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1. (2)假设存在，设Q (x ，y )，若|QA |＝|QB |，则QC 2－1＝QO 2－4，即QO 2－QC 2＝3， 从而x 2＋y 2－(x －3)2－(y －4)2＝3，整理得，3x ＋4y －14＝0，故点Q 在直线3x ＋4y －14＝0上，而OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，k OC ＝43，因而OC 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，整理得，6x ＋8y －25＝0，易知直线3x ＋4y －14＝0与直线6x ＋8y －25＝0平行， 因此不存在满足题意的点Q .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2＋b (a ＞0)，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值； (2)若函数f (x )有两个零点，求a 的值．[解] (1)由题可知f (0)＝1＋b ，f ′(x )＝e x－ax ，f ′(0)＝1，则函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y －1－b ＝x ，即y ＝x ＋1＋b ，由已知条件可得b ＝0，当a ＝1时，在[0,2]上，f ′(x )＝e x－x ＞0，函数f (x )在[0,2]上单调递增， 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)＝1，最大值为f (2)＝e 2－2.(2)法一：由(1)知f (x )＝e x－12ax 2，设g (x )＝f ′(x )＝e x－ax ，则g ′(x )＝e x－a ，令g ′(x )＝0，可得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．因而g (x )的最小值为g (ln a )＝a －a ln a ，若a －a ln a ≥0，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )不会有两个零点，不合题意，因而a －a ln a ＜0，即a ＞e.因为g (0)＝1＞0，g (1)＝e －a ＜0，所以f ′(x )＝0在(0,1)内有解，即存在x 1∈(0,1)使f ′(x 1)＝0，同时存在x 2∈(1，＋∞)，使得f ′(x 2)＝0，即0＜x 1＜1＜x 2，e x 1＝ax 1，e x 2＝ax 2，当x ∈(－∞，x 1)时f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时f (x )单调递增，f (x )的大致图象如图所示．由于f (x 1)＝e x 1－12ax 21＝ax 1－12ax 21＝12ax 1(2－x 1)＞0，所以，若函数f (x )有两个零点，则函数f (x )的极小值f (x 2)＝0，f (x 2)＝e x 2－12ax 22＝ax 2－12ax 22＝12ax 2(2－x 2)＝0，得x 2＝2.由e x 2－12ax 22＝0，即e 2－12a ×22＝0，得a ＝e 22.法二：由(1)知，b ＝0，则函数f (x )＝e x－12ax 2，显然x ＝0不是零点，令f (x )＝0，分离参数，则a ＝2exx2，设h (x )＝2e x x 2(x ≠0)，则h ′(x )＝2e x(x －2)x3，令h ′(x )＝0，则x ＝2. 易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)及x ∈(2，＋∞)时h (x )单调递增， 则h (x )的极小值为h (2)＝e 22，而当x ∈(－∞，0)时，h (x )＝2e xx 2＞0，数形结合可知，当a ＝e22时函数f (x )有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3. (1)写出曲线C 的普通方程以及直线l 的直线坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．[解] (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1， 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3可化为3ρcos θ－ρsin θ＝3， 由极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得，直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＝0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d ＝32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，x 24＋y 23＝1整理得，5x 2－8x ＝0，解得x ＝0或85，不妨令x 1＝0，x 2＝85， 从而得A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，由两点间距离公式得|AB |＝165， 所以S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×165×32＝435. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解不等式f (x )≤|x |＋1；(2)若存在实数m ，使得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＜m 有解，求m 的取值范围． [解] (1)由已知得，f (x )≤|x |＋1，即|2x －1|≤|x |＋1，所以当x ＜0时，1－2x ≤－x ＋1，得x ≥0，此时无解；当0≤x ＜12时，1－2x ≤x ＋1，得x ≥0，此时0≤x ＜12； 当x ≥12时，2x －1≤x ＋1，得x ≤2，此时12≤x ≤2. 从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则g (x )＝|2x －1|－|x －1|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤12，3x －2，12＜x ＜1，x ，x ≥1，作出函数g (x )的大致图象(图略)，数形结合可知，g (x )的最小值为－12，从而m ＞－12. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。