江西省宜春中学、丰城中学-度高二数学上学期期末考试卷(理)

1江西省宜春中学、丰城中学2008-2009学年度高二数学上学期
期末考试卷（理）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．直线0y =与直线20x y +-=的夹角 （ ）
A ．
4π B ．3
π
C ．
2
π
D ．
4
3π
2．已知x 、y 满足约束条件22,0220
11y x y x y x x +⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+--≥+-≤则的最小值为 （ ）
A ． 5
B ．1
C ． 255
D ．52
3．若k R ∈，则“23k <<”是“方程
22
123x y k k
+=--表示椭圆”的 （ ） A ．充分而不必要条件. B ．必要而不充分条件. C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，点S R Q P N M ,,,,,分别1
11111,,,,,AB BC CC C D D A A A 的中点，则MN PQ +化简的结果为 （ ）
A ．0
B ．RS
C ．NQ
D ．SR
5．已知AB 为过双曲线22
221x y a b
-=的右焦点F 的弦, 则以AB 为直径的圆与双曲线右准线的
位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不确定
6. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 （ ）
A ．,,m n m n αα若则‖‖‖
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
7. 已知点A （3，1）是直线l 被双曲线22
143
x y -=所截得的弦的中点，则直线l 的方程是（ ） A ．94230x y --= B ．94310x y +-= C ．410x y -+= D ．470x y +-=
8. 已知抛物线2
2y px =(0)p >的焦点F 恰好是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点，且两
条曲线的公共点的连线过F 点，则该椭圆的离心率为 ( )
A ．
B ．1
C
D ． 2
9．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =CC 1=4，BC =3，则直线BC 1和平面ACC 1A 1所成角的 正弦值为（ ）
A ．
112 B ．1225 C ．4
D ．
10
10．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为
定值，则动点P 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）一条直线 （C ）椭圆 （D ）两条平行直线
11．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，将ΔABD 和ΔACD 折起，使
折起后的ΔABC 成等边三角形，则二面角C -AB -D 的余弦值等于（ ）
A B ．
C ．13
D ．3
12. 在圆225x y x +=内过点53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项1a ，最长弦长为n a ，若公差11,63d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，那么n 的最大取值为（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分）
13．抛物线22x y =上点到直线240x y --=距离的最小值为_______________.
14．已知四棱锥V ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，侧棱VA 与底面垂直，若异面直线AC 与VD 所成的角为θ
，且cos θ=
V ABCD -的体积为____________.
15．如图，目标函数y kx z +=的可行域为四边形OABC （含边界），(1,0)A 、
(0,1)C ，若)3
2
,43(B 为目标函数取最大值的最优解，则k 的取值范围是
16．如图，在正方形1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，
① 四边形1BFD E 一定是平行四边形； ② 四边形1BFD E 有可能是正方形；
③ 四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④ 四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D 。

其中真命题的序号为_________________（将符合条件的命题序号全填上）.
三、解答题（本大题共6道小题，共74分）
17．(本小题12分)如图，已知线段AB 、BD 在平面α内，线段
0,120AC ABD α⊥∠=, 如果AB=a ,AC BD b ==,求C 、D 两点间
的距离.
D C B
A
b
a
a
A
B
A
A 1
B
C
D B 1
C 1
D 1
E
F 18．(本小题12分)设F 1、F 2分别为椭圆C ：22
22b
y a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点.
（Ⅰ）若椭圆上的点A （1，2
3）到点F 1、F 2的距离之和等于4，求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是（Ⅰ）中所得椭圆C 上的动点，求线段1F P 的中点M 的轨迹方程.
19. (本小题12分)如图，在长方体AC 1中，AB =BC =2，AA 1=2,
E 、
F 分别是面A 1C 1、面BC 1的中心. 求:（Ⅰ）AF 和BE 所成的角; （Ⅱ）锐二面角F -BC -E 的余弦值.
20. (本小题12分)
已知两点1(F
2F 满足条件221=-PF PF 的动点P 的轨迹是曲线E ，
直线 l ： y = kx －1与曲线E 交于A 、B 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）如果AB =求直线l 的方程.
21．(本小题12分)在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=°， 3,2,11===AA BC AB ;点D 在棱1BB 上，且
11
3
BD BB =；11B E A D ⊥，垂足为E .求：
（Ⅰ）异面直线1A D 与11B C 的距离； （Ⅱ）点E 到平面ADC 的距离．
22．(本小题14分) 已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
13.
14. 12 15. 48,93⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
16. ①③④ 三、解答题（本大题共6道小题，共74分）
17．解：,AC AC AB AC BD α⊥⊥⊥由可知,, 4分
2222
2()2CD CD CD CA AB BD CA AB BD CA AB =∙=++=+++∙
222022222cos602CA BD AB BD b a b ab a b ab
+∙+∙=+++=++
10分
CD ∴
12分 18．解：（Ⅰ）由椭圆上的点A 到点F 1、F 2的距离之和是4，可得2a = 4，即a =2. 2分
又点A （1，2
3）在椭圆上，因此22
2)23(21b +=1，解得b 2=3，于是c 2=1. 4分 所以椭圆C 的方程为3
42
2y x +=1. 6分
（Ⅱ）设椭圆C 上的动点P 的坐标为（x 1，y 1），点M 的坐标为（x ，y ）.
由（Ⅰ）知，点F 1的坐标为(1,0)-，则2,2111y y x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 10
分
因此3)2(4)12(22y x ++=1，即13
4)21(2
2
=++y x 为所求的轨迹方程. 12
分
19．解：（1）以D 为坐标原点DA 、DC 、DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.
则A （2，0，0），F （1，2，
2
2
）,B （2，2，0），E （1，1，2） 2分 )2,1,1(),2
2,2,1(--=-=→
→
BE AF ，AF BE ⋅=1-2+1=0 4分
所以AF 和BE 所成的角为900 6分 （2）平面FBC 的一个法向量为→
m =（0，1，0） 7分 设平面EBC 的一个法向量为(,,),n x y z =
则20n BC x ⋅=-=, 0n BE x y ⋅=--= 9分 x =0,令z =1,则y =2, 所以(0,2,1)n = 10分
2cos ,
3m n ∴<>=
=
12分
20．解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，
曲线E
是以(
))
12
,F F 为焦点的双曲线的右支， 1分
且1c a =，易知1b =. 2分 故曲线E 的方程为()2210x y x -=> 3分
设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22
11y kx x y =-⎧⎨-=⎩
消去y ，得()
221220k x kx -+-= 4分 又已知直线与双曲线右支交于两点,A B ，则
()()222
12
212210
281020120
1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪
-⎨+=>⎪-⎪
-⎪=>⎪-⎩
解得1k <<即k
的取值范围是1k < 6分
（Ⅱ）∵12AB x x
-
=
= 7分
依题意得
整理后得422855250k k -+=，解得257k =或25
4
k =
又1k <
, ∴k =
10分 故直线AB 10x y --=. 12分 21．解：(Ⅰ)解法一：由已知可得A 1B 111111,C B BB C B ⊥⊥,且11111B C B B A =
,,1111111D B A E B D B A C B 平面又平面⊂⊥∴ E B C B 111⊥∴, 又11B E A D ⊥且E D A
E B =11 ∴ B 1E 是A 1D 与B 1C 1的公垂线段 2分 在Rt ∆A 1B 1D 中，A 1B 1=1，DB 1=2, 故A 1D =5 所以B 1E =
55
2
4分 解法二：如图，以B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz -，
则A (0,1,0), A 1(0,1,3), B (0,0,0), B 1(0,0,3), C (2,0,0),C 1(2,0,3),D (0,0,1)
∴)0,0,2(11=C B ，()102A D =-1-，，
设与11C B 、A 1均垂直的向量是),,(z y x = 则0,0111==⋅A n C B ，即20,20x y z =--=
0,1,2,(0,2,1)x z y n ∴===-∴=-令则
又)0,1,0(11-=B A ，设异面直线1A D 与11B C 的距离为d ,
则1125
||
A B n d n ⋅=
=
即异面直线1A D 与11B C 的距离为
5
（Ⅱ）以B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz -，
由已知可得A (0,1,0), A 1(0,1,3), B (0,0,0), B 1(0,0,3),
C (2,0,0),C 1(2,0,3),
D (0,0,1) .设(0,,)
E y z 5分
则1(0,1
,2)A D =--, 1(0,,3)B E y z =-,又E B D A 11⊥ 1102(3)0A D B E z ∴⋅=-=，即-y- ① 6分
y
x
又A 1、E 、D 三点共线，且1(0,1
,3)A E y z =-- 11(0,1,3)(0,1,2)A E A D y z λλ∴=--=--，即 ② 7分
解①，②得，413413
(0,,)5555
y z E =
=，，即 8分 设平面ADC 的一个法向量),,(c b a =
0,0,(,,)(2,1,0)0,(,,)(0,1,1)0n AC n AD a b c a b c ∴⋅=⋅=⋅-=⋅-=即 9
分
∴2a-b =0，-b+c =0，令b =2，则a =1，c =2 ∴ 48
(1,2,2),(0,,)55
n ED ==--又 10分
设点E 到平面ADC 的距离d
，则583258254=⨯-⨯-==
d 所以，E 到平面ADC 的距离为
5
8
. 12分
22．解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ，
由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，…………………………（2分）
所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12
2
2
=+y x ．……（4分）
（Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2
2
2
2
2
2
2
++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA
22)(22+++-=a a x ， ………………………………………
…（6分）
令22)()(2
2
+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，
当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ；
当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],
1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；
当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ．
所以，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,
1)(2
a a a a a a a d ． ………………………………………………
（9分）
（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22
1
21a a S -=
,2222+=a S , 若正数m 满足条件，则)22()1(2212
2+≤-a m a a ，即)
1(4)1(222+-≥a a a m ，………………
（10分）
22222
)1(8)1(+-≥a a a m ，令2
222)
1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12
-=t a ， 于是641
431411328123818)2)(1()(2
2222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641
)]([max =a f ，
即6412
≥m ，8
1≥m ．所以，m 存在最小值81． ……………………………………………
（14分）。